Cho phương trình $ax + by = c$ với $a \ne 0,b \ne 0$. Nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi
-
A
$\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$
-
B
$\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = - \dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$
-
C
$\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$
-
D
$\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = - \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Ta có với $a \ne 0,b \ne 0$ thì $ax + by = c$$ \Leftrightarrow by = - ax + c \Leftrightarrow y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$
Nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$
Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?
-
A
$2{x^2} + 2 = 0$
-
B
$3y - 1 = 5\left( {y - 2} \right)$
-
C
$2x + \dfrac{y}{2} - 1 = 0$
-
D
$3\sqrt x + {y^2} = 0$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ ax+ by = c$
(trong đó $a, b, c$ là những số cho trước $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$).
Phương trình $2x + \dfrac{y}{2} - 1 = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Phương trình nào dưới đây nhận cặp số $\left( { - 2;4} \right)$ làm nghiệm
-
A
$x - 2y = 0$
-
B
$2x + y = 0$
-
C
$x - y = 2$
-
D
$x + 2y + 1 = 0$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Nếu cặp số thực $({x_0},\,{y_0})$ thỏa mãn ${\rm{ax}} + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$.
Thay $x = - 2;y = 4$ vào từng phương trình ta được
+) $x - 2y = - 2 - 2.4 = - 10 \ne 0$ nên loại A.
+) $x - y = - 2 - 4 = - 6 \ne 0$ nên loại C.
+) $x + 2y + 1 = - 2 + 2.4 + 1 = 7 \ne 0$ nên loại D.
+) $2x + y = - 2.2 + 4 = 0$ nên chọn B.
Phương trình $x - 5y + 7 = 0$ nhận cặp số nào sau đây làm nghiệm?
-
A
$\left( {0;1} \right)$
-
B
$\left( { - 1;2} \right)$
-
C
$\left( {3;2} \right)$
-
D
$\left( {2;4} \right)$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Nếu cặp số thực $({x_0},\,{y_0})$thỏa mãn ${\rm{ax}} + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$
+) Thay $x = 0;y = 1$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $0 - 5.1 + 7 = 0 \Leftrightarrow 2 = 0$ (vô lý) nên loại A.
+) Thay $x = - 1;y = 2$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $ - 1 - 5.2 + 7 = 0 \Leftrightarrow - 4 = 0$ (vô lý) nên loại B.
+) Thay $x = 2;y = 4$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $2 - 5.4 + 7 = 0 \Leftrightarrow - 11 = 0$ (vô lý) nên loại D.
+) Thay $x = 3;y = 2$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $3 - 5.2 + 7 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$ (luôn đúng) nên chọn C.
Tìm $m $ để phương trình $\sqrt {m - 1} x - 3y = - 1$ nhận cặp số $\left( {1;1} \right)$làm nghiệm.
-
A
$m = 5$
-
B
$m = 2$
-
C
$m = - 5$
-
D
$m = - 2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Nếu cặp số thực $({x_0},\,{y_0})$thỏa mãn ${\rm{ax}} + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$.
Thay $x = 1;y = 1$ vào phương trình ta được
$\sqrt {m - 1} .1 - 3.1 = - 1 $ ĐK: $ m\ge -1$
$\Leftrightarrow \sqrt {m - 1} = 2 \Leftrightarrow m - 1 = 4 $
$\Leftrightarrow m = 5$ (TM)
Vậy $m = 5$.
Công thức nghiệm tổng quát của phương trình $3x + 0y = 12$
-
A
$\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = - 4\end{array} \right.$
-
B
$\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = 4\end{array} \right.$
-
C
$\left\{ \begin{array}{l}y \in \mathbb{R}\\x = - 4\end{array} \right.$
-
D
$\left\{ \begin{array}{l}y \in \mathbb{R}\\x = 4\end{array} \right.$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn $x$ theo $y$
( hoặc $y$ theo $x$) rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát.
Ta có $3x + 0y = 12$$ \Leftrightarrow x = 4$
Nghiệm tổng quát của phương trình $\left\{ \begin{array}{l}y \in \mathbb{R}\\x = 4\end{array} \right.$
Trong các cặp số $(0;2),\,( - 1; - 8),\,(1;1),\,(3; 2),\,(1; - 6)$ có bao nhiêu cặp số là nghiệm của phương trình $3x - 2y = 13$.
-
A
$1$
-
B
$2$
-
C
$3$
-
D
$4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Nếu cặp số thực $({x_0},\,{y_0})$thỏa mãn ${\rm{ax}} + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$.
Thay từng cặp số vào phương trình ta thấy
Ta thấy có một cặp số $\left( { - 1; - 8} \right)$ thỏa mãn phương trình (vì
$3.(-1)-2.(-8)=13$).
Cho đường thẳng $d$ có phương trình $(m - 2)x + (3m - 1)y = 6m - 2$
Tìm các giá trị của tham số m để $d$ song song với trục hoành.
-
A
$m = 1$
-
B
$m = 2$
-
C
$m = 3$
-
D
$m = 4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng nhận xét
+ Nếu a=0 và b≠0 thì phương trình đường thẳng ${\rm{d: ax}} + by = c$ có dạng $d:y = \dfrac{c}{b}$. Khi đó d song song hoặc trùng với Ox. Như vậy để d song song với trục hoành thì ta cần thêm điều kiện c≠0.
Để $d$ song song với trục hoành thì $\left\{ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\3m - 1 \ne 0\\6m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\m \ne \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2$
Vậy $m = 2$
Cho đường thẳng $d$ có phương trình $(m - 2)x + (3m - 1)y = 6m + 2$
Tìm các giá trị của tham số $m$ để $d$ song song với trục tung.
-
A
$m = \dfrac{1}{3}$
-
B
$m = \dfrac{2}{3}$
-
C
$m \ne 2$
-
D
$m \ne \dfrac{1}{3}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng nhận xét
Nếu $a≠0$ và $b=0$ thì phương trình đường thẳng $d:ax + by = c$ có dạng $d:x = \dfrac{c}{a}$. Khi đó d song song hoặc trùng với $Oy$.
Để $d$ song song với trục tung thì $\left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\3m - 1 = 0\\6m + 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = \dfrac{1}{3}\\m \ne - \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3}$
Vậy $m = \dfrac{1}{3}$.
Cho đường thẳng $d$ có phương trình $(m - 2)x + (3m - 1)y = 6m - 2$
Tìm các giá trị của tham số $m$ để $d$ đi qua gốc tọa độ.
-
A
$m = \dfrac{1}{3}$
-
B
$m = \dfrac{2}{3}$
-
C
$m \ne 2$
-
D
$m \ne \dfrac{1}{3}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng nhận xét
Đường thẳng $d:{\rm{ }}ax + by = c$ đi qua điểm $M({x_0},\,{y_0})$ khi và chỉ khi $a{x_0} + b{y_0} = c$.
Để $d$ đi qua gốc tọa độ thì $\left( {m - 2} \right).0 + \left( {3m - 1} \right).0 = 6m - 2 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3}$
Vậy $m = \dfrac{1}{3}$.
Chọn khẳng định đúng. Đường thẳng $d$ biểu diễn tập nghiệm của phương trình $3x - y = 3$ là
-
A
Đường thẳng song song với trục hoành
-
B
Đường thẳng song song với trục tung
-
C
Đường thẳng đi qua gốc tọa độ
-
D
Đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1;0} \right)$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+) Viết nghiệm dưới dạng tổng quát
+) Dựa vào tính chất nghiệm để kết luận.
Ta có $3x - y = 3$$ \Leftrightarrow y = 3x - 3$
Nghiệm tổng quát của phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{R}\\y = 3x - 3\end{array} \right.$
Biểu diễn hình học của tập nghiệm là đường thẳng $y = 3x - 3$ đi qua điểm $A\left( {1;0} \right)$ và $B\left( {0; - 3} \right)$.
Cho đường thẳng nào dưới đây có biểu diễn hình học là đường thẳng song song với trục hoành?
-
A
$5y = 7$
-
B
$3x = 9$
-
C
$x + y = 9$
-
D
$6y + x = 7$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng $d:{\rm{ }}ax + by = c.$
+) Nếu a≠0 và b=0 thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{c}{a}\\y \in R\end{array} \right.$
và đường thẳng d song song hoặc trùng với trục tung.
+) Nếu a=0 và b≠0 thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$
và đường thẳng d song song hoặc trùng với trục hoành.
+) Nếu a≠0 và b≠0 thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$
và đường thẳng d là đồ thị hàm số $y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$
Ta thấy phương trình $5y = 7$ có $a = 0;b = 5$ và $c = 7 \ne 0$ nên biểu diễn nghiệm của phương trình là đường thẳng $y = \dfrac{7}{5}$ song song với trục hoành.
Tìm nghiệm tất cả nghiệm nguyên của phương trình $3x - 2y = 5.$
-
A
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2t\\y = - 5 - 3t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
B
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = 5 - 3t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
C
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - 2t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)
-
D
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Bước 1: Rút gọn phương trình (nếu cần thiết), chú ý đến tính chia hết của các ẩn.
Bước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$ ) theo ẩn kia.
Bước 3: Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của $x.$
Bước 4: Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của $x$ bằng một số nguyên \(t\), ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và \(t.\)
- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên.
Ta có \(3x - 2y = 5 \)
\(\Rightarrow y = \dfrac{{3x - 5}}{2} = \dfrac{{2x + x - 5}}{2} \)\(= \dfrac{{2x}}{2} + \dfrac{{x - 5}}{2}= x + \dfrac{{x - 5}}{2}.\)
Hay \(y= x + \dfrac{{x - 5}}{2}.\)
Đặt \(\dfrac{{x - 5}}{2} = t \, (t \in Z)\, \Rightarrow x = 2t + 5 \)
\(\Rightarrow y = 2t + 5 + t \Leftrightarrow y = 3t + 5 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)
Tìm nghiệm nguyên âm lớn nhất của phương trình $ - 5x + 2y = 7$.
-
A
\(\left( { - 7; - 14} \right)\)
-
B
\(\left( { - 1; - 2} \right)\)
-
C
\(\left( { - 3; - 4} \right)\)
-
D
$\left( { - 5; - 9} \right)$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn $ ax + by = c$, ta làm như sau:
Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
Bước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$ ) theo ẩn kia.
Bước 3: Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của
Bước 4: Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của bằng một số nguyên , ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và $t$.
- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên
+ Dựa vào điều kiện nguyên âm để tìm được $x;y$.
Ta có \( - 5x + 2y = 7 \Leftrightarrow 2y = 7 + 5x \)
\(\Leftrightarrow y = \dfrac{{5x + 7}}{2} \Leftrightarrow y = 2x + \dfrac{{x + 7}}{2}\)
Đặt \(\dfrac{{x + 7}}{2} = t \Rightarrow x = 2t - 7 \)
\(\Rightarrow y = 2.\left( {2t - 7} \right) + t \)
\(\Leftrightarrow y = 5t - 14\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)
Nên nghiệm nguyên của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t - 7\\y = 5t - 14\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$
Vì $x,y$ nguyên âm nên $\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2t - 7 < 0\\5t - 14 < 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t < \dfrac{7}{2}\\t < \dfrac{{14}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow t < \dfrac{{14}}{5}$ mà $t \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \le 2$.
Nghiệm nguyên âm lớn nhất nhất của phương trình đạt được khi \(t = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2.2 - 7\\y = 5.2 - 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 4\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm cần tìm là \(\left( { - 3; - 4} \right)\)
Gọi $\left( {x;y} \right)$ là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình $-4x + 3y = 8$ . Tính $x + y$
-
A
$5$
-
B
$6$
-
C
$7$
-
D
$4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
Bước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$ ) theo ẩn kia.
Bước 3: Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của
Bước 4: Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của bằng một số nguyên , ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và $t$.
- Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên
Ta có \( - 4x + 3y = 8 \Leftrightarrow y = \dfrac{{4x + 8}}{3} \Leftrightarrow y = x + \dfrac{{x + 8}}{3}\)
Đặt \(\dfrac{{x + 8}}{3} = t \Rightarrow x = 3t - 8 \Rightarrow y = 3t - 8 + t \Rightarrow y = 4t - 8\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)
Nên nghiệm nguyên của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 8\\y = 4t - 8\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$
Vì $x,y$ nguyên dương nên $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t - 8 > 0\\4t - 8 > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t > \dfrac{8}{3}\\t > 2\end{array} \right. \Rightarrow t > \dfrac{8}{3}$ mà $t \in \mathbb{Z} \Rightarrow t \ge 3$.
Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3.3 - 8\\y = 4.3 - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\end{array} \right.$
$\Rightarrow x + y = 5$.