Cho một số có hai chữ số . Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho
là $63$. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng $99$. Tổng các chữ số của số đó là
-
A
$9$
-
B
$8$
-
C
$7$
-
D
$6$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\), $a,b \le 9$.
Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là \(\overline {ba} \)
Ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}\overline {ba} - \overline {ab} = 63\\\overline {ba} + \overline {ab} = 99\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\overline {ab} = 36\\\overline {ba} + \overline {ab} = 99\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overline {ab} = 18\\\overline {ba} = 81\end{array} \right.\,\)(thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là $18$ nên tổng các chữ số là $1 + 8 = 9$.
Cho một số có hai chữ số . Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là $5$. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng $\dfrac{3}{8}$ số ban đầu. Tìm tích các chữ số của số ban đầu.
-
A
$12$
-
B
$16$
-
C
$14$
-
D
$6$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb{N}^*}\), $a,b \le 9$.
Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là \(\overline {ba} \)
Ta có hệ phương trình :
$\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\\overline {ba} = \dfrac{3}{8}\overline {ab} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 5\\b.10 + a = \dfrac{3}{8}\left( {a.10 + b} \right)\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 5\\80b + 8\left( {b + 5} \right) = 30\left( {b + 5} \right) + 3b\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 5\\55b = 110\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 7\end{array} \right.$(thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là $72$ nên tích các chữ số là $2.7 = 14$.
Một ô tô đi quãng đường $AB$ với vận tốc $50\,\,km/h$ , rồi đi tiếp quãng đường $BC$ với vận tốc $45km/h.$ Biết quãng đường tổng cộng dài $165\,\,km$ và thời gian ô tô đi trên quãng đường $AB$ ít hơn thời gian đi trên quãng đường $BC$ là $30$ phút. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường $AB$.
-
A
$2$ giờ
-
B
$1,5$ giờ
-
C
$1$ giờ
-
D
$3$ giờ
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường $AB$ và $BC$ lần lượt là $x,y$
($x>0;y>0,5$ ; đơn vị : giờ). Ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}50.x + 45.y = 165\\y - x = 0,5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1,5\\y = 2\end{array} \right.\) (Thỏa mãn)
Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường $AB$ là $1,5$ giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường $BC$ là $2$ giờ.
Trên một cánh đồng cấy $60$ ha lúa giống mới và $40$ ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả $460$ tấn thóc. Hỏi năng suất lúa mới trên $1$ ha là bao nhiêu, biết rằng $3$ ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn $4$ ha trồng lúa cũ là $1$ tấn.
-
A
$5$ tấn
-
B
$4$ tấn
-
C
$6$ tấn
-
D
$3$ tấn
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Gọi năng suất lúa mới và lúa cũ trên $1$ ha lần lượt là $x;y\,\,\left( {x,y > 0} \right)$ đơn vị: tấn/ha
Vì cấy $60$ ha lúa giống mới và $40$ ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả $460$ tấn thóc nên ta có
$60x + 40y = 460$
Vì $3$ ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn $4$ ha trồng lúa cũ là $1$ tấn nên ta có phương trình
$4y - 3x = 1$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4y - 3x = 1\\60x + 40y = 460\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 30x + 40y = 10\\60x + 40y = 460\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4\end{array} \right.$ (thỏa mãn)
Vậy năng suất lúa mới trên $1$ ha là $5$ tấn.
Một ôtô dự định đi từ \(A\) đến \(B\) trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn \(10\,km\) thì đến nơi sớm hơn dự định $3$ giờ, còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ \(10\,km\) thì đến nơi chậm mất $5$ giờ. Tính vận tốc của xe lúc ban đầu.
-
A
$40\,{\rm{km/h}}$
-
B
$35\,{\rm{km/h}}$
-
C
$50\,{\rm{km/h}}$
-
D
$60\,{\rm{km/h}}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Gọi vận tốc lúc đầu của xe là $x\,\,\left( {{\rm{km/h}};x > 10} \right)$, thời gian theo dự định là $y$ $(y>3)$ (giờ)
Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn \(10\,km\) thì đến nơi sớm hơn dự định $3$ giờ nên ta có hương trình
$\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right) = xy$
Nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ \(10\,km\) thì đến nơi chậm mất $5$ giờ nên ta có phương trình
$\left( {x - 10} \right)\left( {y + 5} \right) = xy$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 10} \right)\left( {y + 5} \right) = xy\\\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right) = xy\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x + 10y = 30\\5x - 10y = 50\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 15\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)
Vậy vận tốc ban đầu là $40\,{\rm{km/h}}$.
Một canô chạy trên sông trong $7$ giờ, xuôi dòng \(108\,km\) và ngược dòng \(63\,km\) . Một lần khác cũng trong 7 giờ canô xuôi dòng \(81\,km\) và ngược dòng \(84\,km\) . Tính vận tốc nước chảy.
-
A
$4\,{\rm{km/h}}$
-
B
$3\,{\rm{km/h}}$
-
C
$2\,{\rm{km/h}}$
-
D
$2,5\,{\rm{km/h}}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Giải bài toán chuyển động bằng cách lập hệ phương trình.
Chú ý: Công thức liên quan đến chuyển động của tàu, cano.. trên dòng nước
Vận tốc xuôi dòng $ = $ vận tốc ca nô (tàu) $ + $ vận tốc dòng nước
Vận tốc ngược dòng $ = $ vận tốc ca nô (tàu) $ - $ vận tốc dòng nước
Gọi vận tốc thực của canô là $x\,\,\left( {{\rm{km/h}},x > 0} \right)$, vận tốc dòng nước là $y\,\,\left( {{\rm{km/h}},0 < y < x} \right)$
Vận tốc cano khi xuôi dòng là $x + y\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$, vận tốc cano khi ngược dòng là $x - y\,\,\left( {{\rm{km/h}}} \right)$
Canô chạy trên sông trong $7$ giờ, xuôi dòng \(108\,km\) và ngược dòng \(63\,km\) nên ta có phương trình
$\dfrac{{108}}{{x + y}} + \dfrac{{63}}{{x - y}} = 7$
Canô chạy trên sông trong $7$ giờ canô xuôi dòng \(81\,km\) và ngược dòng \(84\,km\) nên ta có phương trình
$\dfrac{{81}}{{x + y}} + \dfrac{{84}}{{x - y}} = 7$
Ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{108}}{{x + y}} + \dfrac{{63}}{{x - y}} = 7\\\dfrac{{81}}{{x + y}} + \dfrac{{84}}{{x - y}} = 7\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{432}}{{x + y}} + \dfrac{{252}}{{x - y}} = 28\\\dfrac{{243}}{{x + y}} + \dfrac{{252}}{{x - y}} = 21\end{array} \right.$\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{432}}{{x + y}} + \dfrac{{252}}{{x - y}} - \left( {\dfrac{{243}}{{x + y}} + \dfrac{{252}}{{x - y}}} \right) = 28 - 21\\
\dfrac{{81}}{{x + y}} + \dfrac{{84}}{{x - y}} = 7
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{189}}{{x + y}} = 7\\
\dfrac{{81}}{{x + y}} + \dfrac{{84}}{{x - y}} = 7
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 27\\
\dfrac{{81}}{{27}} + \dfrac{{84}}{{x - y}} = 7
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 27\\
\dfrac{{84}}{{x - y}} = 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 27\\
x - y = 21
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y + x - y = 27 + 21\\
x + y = 27
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x = 48\\
y = 27 - x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 24\\
y = 27 - 24
\end{array} \right.
\end{array}\)
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 3\end{array} \right.$ ( thỏa mãn)
Vậy vận tốc dòng nước là $3\,\,{\rm{km/h}}.$
Hai người đi xe đạp xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau \(38\,km\) . Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau $2$ giờ. Hỏi vận tốc của người thứ nhất, biết rằng đến khi gặp nhau, người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai \(2\,km\) ?
-
A
$7\,{\rm{km/h}}$
-
B
$8\,{\rm{km/h}}$
-
C
$9\,{\rm{km/h}}$
-
D
$10\,{\rm{km/h}}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Gọi vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là $x,y\,\,\,\left( {{\rm{km/h}},\,\,x,y > 0} \right)$
Quãng đường người thứ nhất đi được khi gặp nhau là $2x$ $\left( {km} \right)$
Quãng đường người thứ hai đi được đến khi gặp nhau là $2y\,\,\left( {km} \right)$
Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 38\\2x - 2y = 2\end{array} \right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 9\end{array} \right.$ (thỏa mãn)
Vậy vận tốc của người thứ nhất là $10\,\,\left( {{\mathop{\rm km}\nolimits} /h} \right)$.
Một khách du lịch đi trên ôtô $4$ giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong $7$ giờ được quãng đường dài \(640\,km\). Hỏi vận tốc của tàu hỏa , biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô \(5\,km\) ?
-
A
$40\,{\rm{km/h}}$
-
B
$50\,{\rm{km/h}}$
-
C
$60\,{\rm{km/h}}$
-
D
$65\,{\rm{km/h}}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Gọi vận tốc của tàu hỏa và ô tô lần lượt là $x,y\,\,\left( {{\rm{km/h}},x > y > 0; x>5} \right)$
Vì khách du lịch đi trên ôtô $4$ giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong $7$ giờ được quãng đường dài \(640\,km\) nên ta có phương trình $7x + 4y = 640$
Và mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô \(5\,km\) nên ta có phương trình $x - y = 5$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\7x + 4y = 640\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 5\\7\left( {y + 5} \right) + 4y = 640\end{array} \right. $
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 55\\x = 60\end{array} \right.$ (thỏa mãn)
Vậy vận tốc tàu hỏa là $60\,\,{\rm{km/h}}$.
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau $4$ giờ $48$ phút bể đầy. Nếu vòi I chảy riêng trong $4$ giờ, vòi II chảy riêng trong $3$ giờ thì cả hai vòi chảy được $\dfrac{3}{4}$ bể. Tính thời gian vòi I một mình đầy bể.
-
A
$6$ giờ
-
B
$8$ giờ
-
C
$10$ giờ
-
D
$12$ giờ
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Giải bài toán công việc (vòi nước) bằng cách lập hệ phương trình
Chúng ta vẫn sử dụng cách làm như bài toán làm chung công việc và coi bể nước là một công việc.
Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là $x,y\,\,\left( {x,y > \dfrac{{24}}{5}} \right)$ (đơn vị: giờ)
Mỗi giờ vòi I chảy được $\dfrac{1}{x}$ (bể), vòi II chảy được $\dfrac{1}{y}$ bể nên cả hai vòi chảy được $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$ bể
Vì hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau $4$ giờ $48$ phút $\left( { = \dfrac{{24}}{5}h} \right)$ bể đầy nên ta có phương trình
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}$
Nếu vòi I chảy riêng trong $4$ giờ, vòi II chảy riêng trong $3$ giờ thì cả hai vòi chảy được $\dfrac{3}{4}$ bể nên ta có phương trình $\dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{3}{4}$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{3}{4}\\\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{3}{4}\\\dfrac{3}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{5}{8}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{8}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 12\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)
Vậy thời gian vòi I một mình đầy bể là $8\,\,h$.
Hai bạn $A$ và $B$ cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau $6$ ngày. Hỏi nếu $A$ làm một nửa công việc rồi nghỉ thì $B$ hoàn thành nốt công việc trong thời gian bao lâu? Biết rằng nếu làm một mình xong công việc thì $B$ làm lâu hơn $A$ là $9$ ngày.
-
A
$9$ ngày
-
B
$18$ ngày
-
C
$10$ ngày
-
D
$12$ ngày
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Gọi thời gian $A,B$ làm một mình xong công việc lần lượt là $x,y$ ($y>x>6$ , đơn vị : ngày).
Mỗi ngày các bạn $A,B$ lần lượt làm được \(\dfrac{1}{x}\)và \(\dfrac{1}{y}\)(công việc ).
Vì hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau $6$ ngày nên ta có :
\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6}\) (1)
Do làm một mình xong công việc thì $B$ làm lâu hơn $A$ là $9$ ngày nên ta có phương trình :
\(y - x = 9\) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
\(\)\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{6}\\y - x = 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 18\end{array} \right.\)(thỏa mãn)
Vậy $B$ hoàn thành cả công việc trong $18$ ngày.
Suy ra sau khi $A$ làm một mình xong nửa công việc rồi nghỉ$,B$ hoàn thành công việc còn lại trong $9$ ngày.
Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng $360$ dụng cụ. Trên thực tế, xí nghiệp $1$ vượt mức $12\% $ , xí nghiệp $2$ vượt mức $10\% $ , do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng $400$ dụng cụ. Tính số dụng cụ xí nghiệp $2$ phải làm theo kế hoạch
-
A
\(160\) dụng cụ
-
B
\(200\) dụng cụ.
-
C
\(120\) dụng cụ.
-
D
\(240\) dụng cụ.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Gọi số dụng cụ cần làm của xí nghiệp $1$ và xí nghiệp $2$ lần lượt là : \(x,y\),
(\(x,y \in {N^*}\) \(x,y < 360\), dụng cụ).
Số dụng cụ xí nghiệp $1$ và xí nghiệp $2$ làm được khi vượt mức lần lượt là \(112\% x\) và \(110\% y\) ( dụng cụ).
Ta có hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\112\% x + 110\% y = 400\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 200\\y = 160\end{array} \right.\).
Vậy xí nghiệp $1$ phải làm \(200\) dụng cụ, xí nghiệp $2$ phải làm \(160\) dụng cụ.
Trong tháng đầu hai tổ sản xuất được $800$ sản phẩm. Sang tháng thứ $2$ , tổ $1$ sản xuất vượt mức $12\% $ , tổ $2$ giảm $10\% $ so với tháng đầu nên cả hai tổ làm được $786$ sản phẩm. Tính số sản phẩm tổ $1$ làm được trong tháng đầu.
-
A
\(500\) sản phẩm.
-
B
\(300\) sản phẩm
-
C
\(200\) sản phẩm.
-
D
\(400\) sản phẩm.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Gọi số sản phẩm tổ $1$ và tổ $2$ làm được trong tháng đầu lần lượt là \(x,y\),(\(x,y \in {N^*}\) \(x,y < 800\), sản phẩm).
Số sản phẩm tổ $1$ và tổ $2$ làm được trong tháng hai là $112\% .x$ và $90\% .y$ sản phẩm
Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 800\\112\% x + 90\% y = 786\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 800 - y\\112\% \left( {800 - y} \right) + 90\% .y = 786\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 500\\x = 300\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy số sản phẩm tổ $1$ làm được trong tháng đầu là \(300\) sản phẩm.
Một tam giác có chiều cao bằng $\dfrac{3}{4}$ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm $3$ $dm$ và cạnh đáy giảm đi $3$ $dm$ thì diện tích của nó tăng thêm $12$ $d{m^2}$ . Tính diện tích của tam giác ban đầu.
-
A
$700\,\,d{m^2}$
-
B
$678\,\,d{m^2}$
-
C
$627\,\,d{m^2}$
-
D
$726\,\,d{m^2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Giải bài toán có nội dung hình học bằng cách lập hệ phương trình.
Chú ý các công thức: Diện tích tam giác $ = $ (cạnh đáy$.$Chiều cao) $:2$
Gọi chiều cao của tam giác là \(h\), cạnh đáy tam giác là \(a\). \(\left( {h,a \in {N^*}, a>3,dm} \right)\).
Diện tích tam giác ban đầu là $\dfrac{1}{2}ah$ ($d{m^2}$)
Vì chiều cao bằng $\dfrac{3}{4}$ cạnh đáy nên ta có phương trình \(h = \dfrac{3}{4}a\)
Nếu chiều cao tăng thêm $3$ $dm$ và cạnh đáy giảm đi $3$ $dm$ thì diện tích của nó tăng thêm $12$ $d{m^2}$
Nên ta có hương trình \(\dfrac{1}{2}\left( {h + 3} \right)\left( {a - 3} \right) - \dfrac{1}{2}ah = 12\)
Ta có hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{3}{4}a\\\dfrac{1}{2}\left( {h + 3} \right)\left( {a - 3} \right) - \dfrac{1}{2}ah = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{3}{4}a\\\dfrac{{ - 3h}}{2} + \dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{33}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 44\\h = 33\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy chiều cao của tam giác bằng \(44dm\), cạnh đáy tam giác bằng \(33dm\).
Suy ra diện tích tam giác ban đầu là $\dfrac{1}{2}.44.33 = 726\,\,\left( {d{m^2}} \right)$.
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $48$ $m.$ Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và tăng chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là $162$ $m$. Tìm diện tích của khu vườn ban đầu.
-
A
$24\,\,{m^2}$
-
B
$153\,\,{m^2}$
-
C
$135\,\,{m^2}$
-
D
$14\,\,{m^2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Giải bài toán có nội dung hình học bằng cách lập hệ phương trình.
Chú ý các công thức: Chu vi hình chữ nhật $ = $ ( Chiều dài $ + $ chiều rộng) $.2$
Diện tích hình chữ nhật $ = $ chiều dài $.$ Chiều rộng
Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật lần lượt là $x,y\,\,\left( {24 > x > y > 0;\,m} \right)$
Vì khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $48$ $m$nên ta có $\left( {x + y} \right).2 = 48$
Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là $162$ $m$
Nên ta có phương trình $(4y + 3x).2 = 162$
Suy ra hệ hương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right).2 = 48\\(4y + 3x).2 = 162\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 24\\3x + 4y = 81\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 15\\y = 9\end{array} \right.$ (thỏa mãn)
Vậy diện tích khu vườn ban đầu là $15.9 = 135\,{m^2}$.
Hai giá sách có $450$ cuốn. Nếu chuyển $50$ cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng $\dfrac{4}{5}$ số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách trên giá thứ hai.
-
A
$150$ cuốn
-
B
$300$ cuốn
-
C
$200$ cuốn
-
D
$250$ cuốn
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Gọi số sách trên hai giá lần lượt là \(x,y\)
( \(0 < x,y < 450\), cuốn ).
Vì hai giá sách có $450$ cuốn nên ta có phương trình $x + y = 450$ (cuốn)
Nếu chuyển $50$ cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng $\dfrac{4}{5}$ số sách ở giá thứ nhất nên ta có phương trình $y + 50 = \dfrac{4}{5}\left( {x - 50} \right)$
Suy ra hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 450\\y + 50 = \dfrac{4}{5}\left( {x - 50} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 450\\\dfrac{4}{5}x - y = 90\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 300\\y = 150\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy số sách trên giá thứ nhất là \(300\) cuốn, số sách trên giá thứ hai là \(150\) cuốn.
Trong một kì thi, hai trường $A,B$ có tổng cộng $350$ học sinh dự thi. Kết quả hai trường đó có $338$ học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường $A$ có \(97\% \) và trường $B$ có \(96 \% \) số học sinh trúng tuyển. Hỏi trường $B$ có bao nhiêu học sinh dự thi.
-
A
$200$ học sinh
-
B
$150$ học sinh
-
C
$250$ học sinh
-
D
$225$ học sinh
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Gọi số học sinh dự thi của hai trường $A,B$ lần lượt là $x,y$ $ (350>x,y>0)$ (học sinh)
Vì hai trường $A,B$ có tổng cộng $350$ học sinh dự thi nên ta có phương trình $x + y = 350$ (học sinh)
Vì trường $A$ có $97\% $ và trường B có $96\% $ số học sinh trúng tuyển và cả hai trường có $338$ học sinh trúng tuyển nên ta có phương trình $97\% .x + 96\% .y = 338$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 350\\97\% .x + 96\% .y = 338\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 350 - y\\97\left( {350 - y} \right) + 96y = 33800\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 150\\x = 200\end{array} \right.$ (thỏa mãn)
Vậy trường $B$ có 150 học sinh dự thi.
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng $42$ m. Đường chéo hình chữ nhật dài $15$ m. Tính độ dài chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật.
-
A
$10\,\,m$
-
B
$12\,\,m$
-
C
$9\,\,m$
-
D
$8\,\,m$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Giải bài toán có nội dung hình học bằng cách lập hệ phương trình.
Chú ý các công thức:
+ Chu vi hình chữ nhật $ = $ ( Chiều dài $ + $ chiều rộng)$.2$
+ Định lý Pitago: " Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông"
Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là $x,y\,\,\left( {21 > x > y > 0;\,m} \right)$
Vì khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng $42$ $m$nên ta có $\left( {x + y} \right).2 = 42$
Đường chéo hình chữ nhật dài $15$$m$ nên ta có phương trình ${x^2} + {y^2} = {15^2}$
Suy ra hệ hương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + y} \right).2 = 42\\{x^2} + {y^2} = 225\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 21\\{x^2} + {y^2} = 225\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 21 - x\\{x^2} + {\left( {21 - x} \right)^2} = 225\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.$
Giải phương trình $\left( 1 \right)$ ta được
$2{x^2} - 42x + 216 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 21x + 108 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 12} \right)\left( {x - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 12 \Rightarrow y = 9\,\left( N \right)\\x = 9 \Rightarrow y = 12\,\,\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy chiều rộng mảnh đất ban đầu là $9\,\,m$.
Một người đi xe máy từ A đến B với thời gian và vận tốc đã dự định. Nếu người đó đi nhanh hơn dự định trong mỗi giờ là 10km thì đến đích sớm hơn dự định là 36 phút. Nếu người đó đi chậm hơi dự định trong mỗi giờ là 10km thì đến đích muộn hơn dự định là 1 giờ. Tính vận tốc dự định của người đó và chiều dài quãng đường AB.
-
A
120 km
-
B
100 km
-
C
150 km
-
D
130 km
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
- Gọi vận tốc dự định và thời gian dự định đi hết quãng đường AB lần lượt là \(x\,\,\left( {km/h} \right)\) và \(y\,\,\left( h \right)\) (ĐK: \(x,y > 0\)).
- Từ mối liên hệ: Quãng đường = Vận tốc \( \times \) Thời gian, lập 2 phương trình liên quan đến \(x;y\).
- Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số và kết luận.
Gọi vận tốc dự định và thời gian dự định đi hết quãng đường AB lần lượt là \(x\,\,\left( {km/h} \right)\) và \(y\,\,\left( h \right)\) \(\left( {x,y > 0} \right).\)
Khi đó độ dài quãng đường AB là \(xy\,\,\left( {km} \right)\).
+) Nếu người đó đi nhanh hơn dự định trong mỗi giờ là 10km, tức là đi với vận tốc \(x + 10\,\,\left( {km/h} \right)\) thì người đó đến đích sớm hơn dự định 36 phút = \(\dfrac{{36}}{{60}} = \dfrac{3}{5}\,\,\left( h \right)\), tức là đi hết quãng đường trong \(y - \dfrac{3}{5}\,\,\left( h \right)\).
Khi đó độ dài quãng đường AB là \(\left( {x + 10} \right)\left( {y - \dfrac{3}{5}} \right) = xy\).
\( \Leftrightarrow xy - \dfrac{3}{5}x + 10y - 6 = xy \Leftrightarrow - \dfrac{3}{5}x + 10y - 6 = 0\) \( \Leftrightarrow - 3x + 50y - 30 = 0\,\,\left( 1 \right)\)
+) Nếu người đó đi chậm hơn dự định trong mỗi giờ là 10km, tức là đi với vận tốc \(x - 10\,\,\left( {km/h} \right)\) thì người đó đến đích muộn hơn dự định \(1\,\,\left( h \right)\), tức là đi hết quãng đường trong \(y + 1\,\,\left( h \right)\).
Khi đó độ dài quãng đường AB là \(\left( {x - 10} \right)\left( {y + 1} \right) = xy\).
\( \Leftrightarrow xy + x - 10y - 10 = xy \Leftrightarrow x - 10y - 10 = 0\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 50y - 30 = 0\\x - 10y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 50y = - 30\\3x - 30y = 30\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 20y = - 60\\x - 10y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 3\,\,\left( {tm} \right)\\x - 30 - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 3\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\).
Vậy vận tốc dự định và thời gian dự định đi hết quãng đường AB lần lượt là \(40\,\,km/h\) và \(3h\), độ dài quãng đường AB là \(xy = 40.3 = 120\,\,\left( {km} \right)\).
Để tổ chức đi tham quan hướng nghiệp cho 435 người gồm học sinh khối lớp 9 và giáo viên phụ trách, nhà trường đã thuê 11 chiếc xe gồm hai loại: loại 30 chỗ ngồi và loại 45 chỗ ngồi (không kể tài xế). Hỏi nhà trường cần thuê bao nhiêu xe mỗi loại? Biết rằng không có xe nào còn trống chỗ.
-
A
\(4\) xe loại \(30\) chỗ và \(7\) xe loại \(45\) chỗ
-
B
\(7\) xe loại \(30\) chỗ và \(4\) xe loại \(45\) chỗ
-
C
\(6\) xe loại \(30\) chỗ và \(5\) xe loại \(45\) chỗ
-
D
\(5\) xe loại \(30\) chỗ và \(6\) xe loại \(45\) chỗ
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Gọi số xe 30 chỗ và 45 chỗ mà trường thuê lần lượt là \(x\) và \(y\) (chiếc xe), \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*},\,\,\,x,\,\,y < 11} \right).\)
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết và các ẩn vừa gọi.
Dựa vào giả thiết của bài để lập hệ phương trình.
Giải hệ phương trình để tìm các ẩn, đối chiều với điều kiện rồi kết luận.
Gọi số xe 30 chỗ và 45 chỗ mà trường thuê lần lượt là \(x\) và \(y\) (chiếc xe), \(\left( {x,y \in {\mathbb{N}^*},\,\,\,x,\,\,y < 11} \right).\)
Tổng số xe là 11 chiếc nên ta có phương trình: \(x + y = 11\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Số học sinh ngồi trên xe 30 chỗ là: \(30x\) học sinh.
Số học sinh ngồi trên xe 45 chỗ là: \(45y\) học sinh.
Có tất cả 435 học sinh đi tham quan nên ta có phương trình: \(30x + 45y = 435\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 11\\30x + 45y = 435\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}45x + 45y = 495\\30x + 45y = 435\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15x = 60\\y = 11 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 11 - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 7\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nhà trường cần thuê 4 xe loại 30 chỗ và 7 xe loại 45 chỗ.
Mẹ bạn Lan mua trái cây ở siêu thị gồm hai loại cam và nho. Biết rằng \(1kg\) cam có giá \(150\) nghìn đồng, \(1kg\) nho có giá \(200\) nghìn đồng. Mẹ bạn Lan mua \(4kg\) cả hai loại trái cây hết tất cả \(700\) nghìn đồng. Hỏi mẹ bạn Lan đã mua bao nhiêu kg cam, bao nhiêu kg nho?
-
A
\(1kg\) cam và \(3kg\) nho
-
B
\(3kg\) cam và \(1kg\) nho
-
C
\(2kg\) cam và \(2kg\) nho
-
D
\(0,5kg\) cam và \(3,5kg\) nho
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Gọi số kg cam và số kg nho mẹ bạn Lan mua là: \(x;\,\,\,y\,\,\,\left( {kg} \right)\,\,\,\left( {0 < x,\,\,y < 4} \right).\)
Biểu diễn các đại lượng chưa biết và theo ẩn vừa gọi và các đại lượng đã biết.
Từ đó lập hệ phương trình, giải hệ phương trình.
Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Gọi số kg cam và số kg nho mẹ bạn Lan mua là: \(x;\,\,\,y\,\,\,\left( {kg} \right)\,\,\,\left( {0 < x,\,\,y < 4} \right).\)
Vì mẹ bạn Lan mua \(4kg\) cả hai loại nên ta có phương trình: \(x + y = 4\,\,\,\left( 1 \right)\)
Và mẹ mua hết \(700\) nghìn đồng nên ta có phương trình: \(150x + 200y = 700\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\150x + 200y = 700\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 4\\3x + 4y = 14\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 12\\3x + 4y = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy mẹ Lan mua \(2kg\) cam và \(2kg\) nho.
Sau Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2019 – 2020, học sinh hia lớp 9A và 9B tặng lại thư viện trường 738 quyển sách gồm hai loại sách giáo khoa và sách tham khảo. Trong đó, mỗi học sinh lớp 9A tặng 6 quyển sách giáo khoa và 3 quyển sách tham khảo; mỗi học sinh lớp 9B tặng 5 quyển sách giáo khoa và 4 quyển sách tham khảo. Biết số sách giao khoa nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển. Tính số học sinh của mỗi lớp.
-
A
Số học sinh lớp 9A có 40 học sinh, lớp 9B có 42 học sinh.
-
B
Số học sinh lớp 9A có 42 học sinh, lớp 9B có 42 học sinh.
-
C
Số học sinh lớp 9A có 42 học sinh, lớp 9B có 40 học sinh.
-
D
Số học sinh lớp 9A có 40 học sinh, lớp 9B có 40 học sinh.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Gọi số học sinh lớp 9A là \(x\) (học sinh) \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right).\)
Gọi số học sinh lớp 9A là \(y\) (học sinh) \(\left( {y \in \mathbb{N}*} \right).\)
Biểu diễn số sách giáo khoa và sách tham khảo mỗi lớp tặng lại cho trường rồi lập hệ phương trình.
Giải hệ phương trình, đối chiếu với điều kiện của\(x,\,\,y\) rồi kết luận.
Gọi số học sinh lớp 9A là \(x\) (học sinh) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)
Gọi số học sinh lớp 9B là \(y\) (học sinh) \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*}} \right).\)
Số sách giáo khảo lớp 9A tặng cho trường là: \(6x\) (quyển sách).
Số sách tham khảo lớp 9A tặng cho trường là: \(3x\) (quyển sách).
Số sách giáo khảo lớp 9B tặng cho trường là: \(5y\) (quyển sách).
Số sách tham khảo lớp 9B tặng cho trường là: \(4y\) (quyển sách).
Tổng số sách cả hai lớp tặng cho trường là 738 quyển nên ta có phương trình:
\(6x + 3x + 5y + 4y = 738 \Leftrightarrow 9x + 9y = 738 \Leftrightarrow x + y = 82\,\,\,\left( 1 \right)\)
Tổng số sách giáo khoa nhiều hơn số sách tham khảo là 166 quyển nên ta có phương trình:
\(6x + 5y - \left( {3x + 4y} \right) = 166 \Leftrightarrow 3x + y = 166\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 82\\3x + y = 166\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 84\\y = 82 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 42\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 40\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy số học sinh lớp 9A có 42 học sinh, lớp 9B có 40 học sinh.
Nhân ngày sách Việt Nam, 120 học sinh khối 8 và 100 học sinh khối 9 cùng tham gia phong trào xây dựng “Tủ sách nhân ái”. Sau một thời gian phát động, tổng số sách cả hai khối đã quyên góp được là 540 quyển. Biết rằng mỗi học sinh khối 9 quyên góp nhiều hơn nhiều hơn mỗi học sinh khối 8 một quyển. Hỏi mỗi khối đã quyên góp được bao nhiêu quyển sách? (Mỗi học sinh trong cùng một khối quyên góp số lượng sách như nhau).
-
A
khối 9 là 240 quyển, khối 8 là 300 quyển.
-
B
khối 9 là 280 quyển, khối 8 là 260 quyển.
-
C
khối 9 là 260 quyển, khối 8 là 280 quyển.
-
D
khối 9 là 300 quyển, khối 8 là 240 quyển.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Gọi số sách khối 8 và khối 9 quyên góp được lần lượt là \(x,\;y\) (quyển sách), \(\left( {0 < x,\;y < 540,\;x,\;y \in \mathbb{N}} \right).\)
Dựa vào giả thiết của bài toán để lập hệ phương trình và giải hệ phương trình.
+) Phương trình thứ nhất: Số sách lớp 8 + số sách lớp 9 quyên góp được = 540.
+) Phương trình thứ hai: Số sách mỗi học sinh khối 9 – số sách mỗi học sinh khối 8 = 1.
Giải hệ phương trình vừa lập để tìm \(x,\;y\) và kết luận.
Gọi số sách khối 8 và khối 9 quyên góp được lần lượt là \(x,\;y\) (quyển sách), \(\left( {0 < x,\;y < 540,\;x,\;y \in \mathbb{N}} \right).\)
Số sách cả hai khối quyên góp được là: \(x + y = 540\;\;\;\;\left( 1 \right).\)
Số sách một bạn học sinh khối 8 quyên góp là: \(\dfrac{x}{{120}}\) (quyển)
Số sách một bạn học sinh khối 9 quyên góp là: \(\dfrac{y}{{100}}\) (quyển)
Mỗi học sinh khối 9 quyên góp nhiều hơn nhiều hơn mỗi học sinh khối 8 một quyển nên ta có phương trình:
\(\dfrac{y}{{100}} - \dfrac{x}{{120}} = 1 \Leftrightarrow - 5x + 6y = 600\;\;\;\left( 2 \right).\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 540\\ - 5x + 6y = 600\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x + 5y = 2700\\ - 5x + 6y = 600\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11y = 3300\\x = 540 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 300\;\;\left( {tm} \right)\\x = 240\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy khối 9 đã quyên góp được 300 quyển sách, khối 8 đã quyên góp được 240 quyển sách.
Tìm một số có hai chữ số biết rằng: Hiệu của số ban đầu với số đảo ngược của nó bằng 18 (số đảo ngược của một số là số thu được bằng cách viết các chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại) và tổng của số ban đầu với bình phương số đảo ngược của nó bằng 618.
-
A
42
-
B
44
-
C
46
-
D
48
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Gọi số có hai chữ số cần tìm là: \(\overline {ab} \left( {a \in {\mathbb{N}^*},b \in \mathbb{N},\;\;0 < a \le 9,\;0 \le b \le 9} \right).\)
Số đảo ngược của số ban đầu là: \(\overline {ba} \;\;\left( {b \ne 0} \right)\)
Từ các giả thiết bài toán, lập hệ phương trình và suy ra các số cần tìm.
Gọi số có hai chữ số cần tìm là: \(\overline {ab} \left( {a \in {\mathbb{N}^*},b \in \mathbb{N},\;\;0 < a \le 9,\;0 \le b \le 9} \right).\)
Số đảo ngược của số ban đầu là: \(\overline {ba} \;\;\left( {b \ne 0} \right)\)
Theo đề bài, hiệu của số ban đầu với số đảo ngược của nó bằng 18 nên ta có:
\(\begin{array}{l}\overline {ab} - \overline {ba} = 18\,\,\\ \Leftrightarrow 10a + b - \left( {10b + a} \right) = 18\\ \Leftrightarrow 10a + b - 10b - a = 18\\ \Leftrightarrow a - b = 2\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Tổng của số ban đầu với bình phương số đảo ngược của nó bằng 618 nên ta có:
\(\begin{array}{l}\overline {ab} + {\left( {\overline {ba} } \right)^2} = 618\\ \Leftrightarrow 10a + b + {\left( {10b + a} \right)^2} = 618\\ \Leftrightarrow 10a + b + 100{b^2} + 20ab + {a^2} = 618\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a - b = 2\\10a + b + 100{b^2} + 20ab + {a^2} = 618\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 2\\10\left( {b + 2} \right) + b + 100{b^2} + 20\left( {b + 2} \right)b + {\left( {b + 2} \right)^2} = 618\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 2\\10b + 20 + b + 100{b^2} + 20{b^2} + 40b + {b^2} + 4b + 4 = 618\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 2\\121{b^2} + 55b - 594 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 2\\\left[ \begin{array}{l}b = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\b = - \dfrac{{27}}{{11}}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 4\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy số cần tìm là: 42.
Một trường học A có tổng số giáo viên là 80. Hiện tại, tuổi trung bình của giáo viên là 35. Trong đó, tuổi trung bình của giáo viên nữ là 32 và tuổi trung bình của giáo viên nam là 38. Hỏi trường học đó có bao nhiêu giáo viên nữ và bao nhiêu giáo viên nam?
-
A
38 giáo viên nam và 42 giáo viên nữ.
-
B
39 giáo viên nam và 41 giáo viên nữ.
-
C
42 giáo viên nam và 38 giáo viên nữ.
-
D
40 giáo viên nam và 40 giáo viên nữ.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Gọi số giáo viên nam của trường là \(x\) (giáo viên), \(\left( {0 < x < 80,\;x \in \mathbb{N}} \right).\)
Gọi số giáo viên nữ của trường là \(y\) (giáo viên), \(\left( {0 < y < 80,\;y \in \mathbb{N}} \right).\)
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn đã gọi và các đại lượng đã biết.
Lập hệ phương trình, giải hệ phương trình tìm các ẩn đã gọi.
Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Gọi số giáo viên nam của trường là \(x\) (giáo viên), \(\left( {0 < x < 80,\;x \in \mathbb{N}} \right).\)
Gọi số giáo viên nữ của trường là \(y\) (giáo viên), \(\left( {0 < y < 80,\;y \in \mathbb{N}} \right).\)
Khi đó ta có: \(x + y = 80.\;\;\;\;\left( 1 \right)\)
Tuổi trung bình của giáo viên nam là \(38\) nên tổng số tuổi của \(x\) giáo viên nam là: \(38x\) (tuổi).
Tuổi trung bình của giáo viên nam là \(32\) nên tổng số tuổi của \(y\) giáo viên nữ là: \(32y\) (tuổi).
Tổng số tuổi của giáo viên toàn trường là: \(80.35 = 2800\) (tuổi).
Theo đề bài ta có phương trình: \(38x + 32y = 2800 \Leftrightarrow 19x + 16y = 1400\;\;\;\left( 2 \right).\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 80\\19x + 16y = 1400\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16x + 16y = 1280\\19x + 16y = 1400\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 120\\y = 80 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\;\;\left( {tm} \right)\\y = 80 - 40 = 40\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy trường đó có 40 giáo viên nam và 40 giáo viên nữ.
Người ta trộn 2 loại quặng sắt với nhau, loại 1 chứa 72% sắt, loại 2 chứa 58% sắt được 1 loại quặng chứa 62% sắt. Nếu tăng khối lượng của mỗi loại quặng thêm 15 tấn thì được loại quặng chứa 63,25% sắt. Tìm khối lượng mỗi loại quặng đã trộn.
-
A
khối lượng quặng loại 1 đem trộn là 12 tấn, khối lượng quặng loại 2 đem trộn là 30 tấn.
-
B
khối lượng quặng loại 1 đem trộn là 30 tấn, khối lượng quặng loại 2 đem trộn là 12 tấn.
-
C
khối lượng quặng loại 1 đem trộn là 14 tấn, khối lượng quặng loại 2 đem trộn là 30 tấn.
-
D
khối lượng quặng loại 1 đem trộn là 12 tấn, khối lượng quặng loại 2 đem trộn là 20 tấn.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Gọi khối lượng quặng loại 1 đem trộn là \(x\) tấn, khối lượng quặng loại 2 đem trộn là \(y\) tấn \(\left( {x,\,\,y > 0} \right).\)
Dựa vào các giả thiết, lập hệ phương trình.
Giải hệ phương trình vừa lập được rồi đối chiếu với điều kiện và kết luận.
Gọi khối lượng quặng loại 1 đem trộn là \(x\) tấn, khối lượng quặng loại 2 đem trộn là \(y\) tấn \(\left( {x,\,\,y > 0} \right).\)
Khi trộn loại 1 chứa 72% sắt, loại 2 chứa 58% sắt được 1 loại quặng chứa 62% sắt nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,72\% x + 58\% y = 62\% (x + y)\\ \Leftrightarrow 72x + 58y = 62x + 62y\\ \Leftrightarrow 10x - 4y = 0\\ \Leftrightarrow 5x - 2y = 0\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}\end{array}\)
Khi tăng khối lượng của mỗi loại quặng thêm 15 tấn thì được loại quặng chứa 63,25% sắt nên ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,72\% (x + 15) + 58\% (y + 15) = 63,25\% (x + y + 30)\\ \Leftrightarrow 72x + 72.15 + 58y + 58.15 = 63,25x + 63,25y + 63,25.30\\ \Leftrightarrow 8,75x - 5,25y = - 52,5\\ \Leftrightarrow 5x - 3y = - 30\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y = 0\\5x - 3y = - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 30\\5x - 3y = - 30\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 30\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy khối lượng quặng loại 1 đem trộn là 12 tấn, khối lượng quặng loại 2 đem trộn là 30 tấn.
Người ta cho thêm 1 kg nước vào dung dịch A thì được dung dịch B có nồng độ axit là 20%. Sau đó lại cho thêm 1 kg axit vào dung dịch B thì được dung dịch C có nồng độ axit là \(\dfrac{{100}}{3}\% \). Tính nồng độ axit trong dung dịch A.
-
A
30%
-
B
40%
-
C
25%
-
D
20%
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Gọi khối lượng axit trong dung dịch A là là \(x;\) khối lượng nước trong dung dịch A là \(y\,\,\left( {kg,\,\,x,\,\,y > 0} \right).\)
Dựa vào các giả thiết, lập hệ phương trình.
Giải hệ phương trình vừa lập được rồi đối chiếu với điều kiện và kết luận.
Gọi khối lượng axit trong dung dịch A là là \(x;\) khối lượng nước trong dung dịch A là \(y\,\,\left( {kg,\,\,x,\,\,y > 0} \right).\)
Người ta cho thêm 1 kg nước vào dung dịch A thì được dung dịch B có nồng độ axit là 20% nên ta có:
\(\dfrac{x}{{x + y + 1}} = 20\% \Leftrightarrow 0.8x - 02y = 0,2\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(1)}\end{array}\)
Lại cho thêm 1 kg axit vào dung dịch B thì được dung dịch C có nồng độ axit là \(\dfrac{{100}}{3}\% \) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x + 1}}{{x + y + 2}} = \dfrac{{100}}{3}\% \Leftrightarrow \dfrac{{x + 1}}{{x + y + 2}} = \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow 2x - y = - 1\begin{array}{*{20}{c}}{}&{(2)}\end{array}\end{array}\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0,8x - 0,2y = 0,2\\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - y = 1\\2x - y = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 2\\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy nồng độ axit trong dung dịch A là : \(\dfrac{1}{{3 + 1}}.100\% = 25\% .\)
Bạn Nam mua hai món hàng và phải trả tổng cộng 480000 đồng, trong đó đã tính cả 40000 đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là thuế VAT). Biết rằng thuế VAT đối với mặt hàng thứ nhất là 10%, thuế VAT đối với mặt hàng thứ hai là 8%. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì bạn Nam phải trả mỗi món hàng là bao nhiêu tiền?
(Trong đó: Thuế VAT là thuế mà người mua hàng phải trả, người bán hàng thu và nộp cho Nhà nước. Giả sử thuế VAT đối với mặt hàng A được quy là 10%. Khi đó nếu giá bán của mặt hàng A là x đồng thì kể cả thuế VAT, người mua phải trả tổng cộng là \(x + 10\% x\) đồng).
-
A
Món hàng thứ nhất là 240 000 đồng, món hàng thứ hai là 200 000 đồng.
-
B
Món hàng thứ nhất là 220 000 đồng, món hàng thứ hai là 220 000 đồng.
-
C
Món hàng thứ nhất là 200 000 đồng, món hàng thứ hai là 240 000 đồng.
-
D
Món hàng thứ nhất là 260 000 đồng, món hàng thứ hai là 210 000 đồng.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Gọi số phải trả cho món hàng thứ nhất không kể thuế VAT là \(x\) đồng, \(\left( {0 < x < 480000} \right).\)
Gọi số phải trả cho món hàng thứ nhất không kể thuế VAT là \(y\) đồng, \(\left( {0 < y < 480000} \right).\)
Dựa vào các giả thiết bài toán, biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập hệ phương trình, giải hệ phương trình và đối chiếu với điều kiện của các ẩn rồi kết luận.
Gọi số phải trả cho món hàng thứ nhất không kể thuế VAT là \(x\) đồng, \(\left( {0 < x < 480000} \right).\)
Gọi số phải trả cho món hàng thứ nhất không kể thuế VAT là \(y\) đồng, \(\left( {0 < y < 480000} \right).\)
Số tiền phải trả cho hai món hàng không mất thuế là: \(x + y = 480000 - 40000 = 440000.\;\;\;\;\left( 1 \right)\)
Số tiền thuế phải trả cho món hàng thứ nhất là: \(x.10\% = \dfrac{x}{{10}}\) (đồng)
Số tiền thuế phải trả cho món hàng thứ hai là: \(y.8\% = \dfrac{{2y}}{{25}}\) (đồng).
Số tiền thuế phải trả cho hai món hàng là: \(\dfrac{x}{{10}} + \dfrac{{2y}}{{25}} = 40000 \Leftrightarrow 5x + 4y = 2000000\;\;\;\;\;\left( 2 \right).\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 440000\\5x + 4y = 2000000\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 4y = 1760000\\5x + 4y = 2000000\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 240000\;\;\;\left( {tm} \right)\\y = 200000\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy số tiền phải trả cho món hàng thứ nhất không phải thuế là 240 000 đồng, món hàng thứ hai là 200 000 đồng.
Hai đại biểu của trường A và trường B tham dự một buổi hội thảo. Mỗi đại biểu của trường A lân lượt bắt tay với từng đại biểu của trường B một lần. Tính số đại biểu của mỗi trường, biết số cái bắt tay bằng ba lần tổng số đại biểu của cả hai trường và số đại biểu của trường A nhiều hơn số đại biểu của trường B.
-
A
trường A là 14 đại biểu và trường B là 2 đại biểu.
-
B
trường A là 9 đại biểu và trường B là 7 đại biểu.
-
C
trường A là 12 đại biểu và trường B là 4 đại biểu.
-
D
trường A là 8 đại biểu và trường B là 8 đại biểu.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Gọi số đại biểu của trường A là \(x\) (đại biểu) và số đại biểu của trường B là \(y\) (đại biểu) \(\left( {x,y \in \mathbb{N}*;x > y} \right)\).
Từ đó biểu diễn số cái bắt tay của các đại biểu hai trường.
Dựa vào điều kiện \(x,y \in \mathbb{N}*;x > y\) để biện luận và tìm số đại biểu các trường.
Gọi số đại biểu của trường A là \(x\) (đại biểu) và số đại biểu của trường B là \(y\) (đại biểu) \(\left( {x,y \in \mathbb{N}^*;x > y} \right)\).
Mỗi đại biểu của trường A bắt tay với lần lượt từng đại biểu của trường B nên số cái bắt tay là \(xy\).
Vì số cái bắt tay bằng 3 lần tổng số đại biểu của cả hai trường nên \(xy = 3\left( {x + y} \right)\)
\( \Rightarrow xy = 3x + 3y \Leftrightarrow x\left( {y - 3} \right) = 3y\)
TH1: \(y = 3 \Leftrightarrow x.0 = 9\) (vô lí)
TH2: \(y \ne 3 \Rightarrow y = \dfrac{{3y}}{{y - 3}} = \dfrac{{3y - 9 + 9}}{{y - 3}} = 3 + \dfrac{9}{{y - 3}}\)
Do \(x \in \mathbb{N}^* \Rightarrow y - 3 \in Ư\left( 9 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3; \pm 9} \right\}\)
Ta có bảng sau:
Vậy số đại biểu của trường A là 12 đại biểu và số đại biểu của trường B là 4 đại biểu.
Bạn N tiết kiệm bằng cách mỗi ngày bỏ tiền vào heo đất và chỉ dùng hai loại tiền giấy là tờ \(1000\) đồng và \(2000\) đồng. Hưởng ứng đợt vận động ủng hộ đồng bào bị lụt, bão nên N đập heo đất thu được \(160\,000\) đồng. Khi đó mẹ cho thêm bạn N số tờ tiền loại \(1000\) và số tờ tiền loại \(2000\) đồng lần lượt gấp 2 lần và 3 lần số tờ tiền cùng loại của bạn N có do tiết kiệm, vì vậy bạn N đã ủng hộ được tổng số tiền là \(560\,000\) đồng. Tính số tờ tiền mỗi loại của bạn N có do tiết kiệm.
-
A
Số tờ tiền mệnh giá \(1000\) đồng: \(60\) tờ
Số tờ tiền mệnh giá \(2000\) đồng: \(40\) tờ
-
B
Số tờ tiền mệnh giá \(1000\) đồng: \(40\) tờ
Số tờ tiền mệnh giá \(2000\) đồng: \(60\) tờ
-
C
Số tờ tiền mệnh giá \(1000\) đồng: \(40\) tờ
Số tờ tiền mệnh giá \(2000\) đồng: \(80\) tờ
-
D
Số tờ tiền mệnh giá \(1000\) đồng: \(80\) tờ
Số tờ tiền mệnh giá \(2000\) đồng: \(40\) tờ
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Gọi \(x,y\) lần lượt là số tờ tiền mệnh giá \(1000\) và \(2000\) đồng mà bạn N có do tiết kiệm \(\left( {x,y \in {\rm N}*} \right).\)
Biểu diễn các đại lượng chưa biết và theo ẩn vừa gọi và các đại lượng đã biết.
Từ đó lập hệ phương trình, giải hệ phương trình.
Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Gọi \(x,y\) lần lượt là số tờ tiền mệnh giá \(1000\) và \(2000\) đồng mà bạn N có do tiết kiệm \(\left( {x,y \in {\rm N}*} \right).\)
Vì N để dành được \(160\,000\) nên ta có phương trình: \(1000x + 2000y = 160\,000\, \Rightarrow x + 2y = 160\,\,\,\left( 1 \right)\)
Sau khi mẹ cho N thêm, ta có:
+) Số tờ tiền mệnh giá \(1000\) đồng là: \(x + 2x = 3x\) đồng.
+) Số tờ mệnh giá \(2000\)đồng là: \(y + 3y = 4y\) đồng.
Do số tiền N ủng hộ là \(560\,000\) đồng nên ta có phương trình:
\(1000.3x + 2000.4y = 560\,000\)\( \Rightarrow 3x + 8y = 560\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 160\\3x + 8y = 560\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x + 8y = 640\\3x + 8y = 560\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 80\\80 + 2y = 160\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 80\,\,\,\left( {tm} \right)\\y = 40\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy số tờ tiền mệnh giá \(1000\) đồng là \(80\) và mệnh giá\(2000\) đồng là \(40.\)