Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\3x + 2y = 18\end{array} \right.$có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tích $x.y$ là
-
A
$5$
-
B
$\dfrac{84}{25}$
-
C
$\dfrac{25}{84}$
-
D
$\dfrac{84}{5}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\3x + 2y = 18\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 5\\3.\left( {y + 5} \right) + 2y = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 5\\3y + 15 + 2y = 18\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 5\\5y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{5}\\x = 5 + \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{1}x = \dfrac{28}{5}\\y = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{28}{5};\dfrac{3}{5}} \right) \Rightarrow x.y = \dfrac{84}{25}$
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 7y = 8\\10x + 3y = 21\end{array} \right.$có nghiệm $\left( {x;y} \right)$. Tổng $x + y$ là
-
A
$\dfrac{5}{4}$
-
B
$\dfrac{9}{2}$
-
C
$\dfrac{3}{2}$
-
D
$\dfrac{7}{4}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2x - 7y = 8\\10x + 3y = 21\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{8 + 7y}}{2}\\10.\left( {\dfrac{{8 + 7y}}{2}} \right) + 3y = 21\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{8 + 7y}}{2}\\40 + 35y + 3y = 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{8 + 7y}}{2}\\38y = - 19\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{8 + 7y}}{2}\\y = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{9}{4}\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{9}{4}; - \dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow x + y = \dfrac{7}{4}$
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 12\\2x + 3y = 3\end{array} \right.$. Số nghiệm của hệ phương trình là
-
A
1
-
B
0
-
C
2
-
D
3
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 12\\2x + 3y = 3\end{array} \right.\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12+ 2y\\2\left( {12 + 2y} \right) +3y = 3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 12 +2y\\ 7y = -21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = -3\\x = 12 +2.(-3)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 3\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( 6;-3\right)$
Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - x - \sqrt 2 y = \sqrt 3 \\\sqrt 2 x + 2y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$là
-
A
$1$
-
B
$0$
-
C
$2$
-
D
Vô số.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} - x - \sqrt 2 y = \sqrt 3 \\\sqrt 2 x + 2y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\\sqrt 2 \left( { - \sqrt 2 y - \sqrt 3 } \right) + 2 y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\ - 2y - \sqrt 6 + 2 y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\ - \sqrt 6 = - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \in \mathbb{R}\\x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.
Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy - 1\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 3\end{array} \right.$ là
-
A
$1$
-
B
$0$
-
C
$2$
-
D
Vô số.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Đưa hệ phương trình về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải bằng phương pháp thế.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy - 1\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 3\end{array} \right..$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy - x + y - 1 = xy - 1\\xy - 3x - 3y + 9 = xy - 3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + y = 0\\ - 3x - 3y = -12\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\ - 3y - 3y = -12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\ - 6y = -12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =2\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { 2; 2} \right)$
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + by = - 1\\bx - 2ay = 1\end{array} \right.$. Biết rằng hệ phương trình có nghiệm là $\left( {1; - 2} \right)$, tính $a - b$.
-
A
$\dfrac{{13}}{8}$
-
B
$ - \dfrac{{13}}{8}$
-
C
$\dfrac{5}{8}$
-
D
$ - \dfrac{5}{8}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm $\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{x_0} + b{y_0} = c\\a'{x_0} + b'{y_0} = c'\end{array} \right..$
Thay $x = 1;y = - 2$ vào hệ ta được
$\left\{ \begin{array}{l}2.1 + b.\left( { - 2} \right) = - 1\\b.1 - 2a.\left( { - 2} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2b = - 3\\b + 4a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{2}\\\dfrac{3}{2} + 4a = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{2}\\a = - \dfrac{1}{8}\end{array} \right. \Rightarrow a - b = - \dfrac{{13}}{8}$
Vậy $a - b = - \dfrac{{13}}{8}$.
Cho hai đường thẳng:
${d_1}:mx - 2\left( {3n + 2} \right)y = 6$ và ${d_2}:\left( {3m - 1} \right)x + 2ny = 56.$
Tìm tích $m. n$ để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $I\left( { - 2;3} \right)$.
-
A
$0$
-
B
$1$
-
C
$2$
-
D
$ - 2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Sử dụng: đường thẳng $d:ax + by = c$ đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ để có được hai phương trình ẩn $m$ và $n$.
Bước 2: Giải hệ hai phương trình ẩn $m$ và $n$ bằng phương pháp thế để tìm $m$ và $n$. Từ đó suy ra tích $m.n$
+) Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình ${d_1}$ ta được $m.\left( { - 2} \right) - 2\left( {3n + 2} \right).3 = 6 \Leftrightarrow - 2m - 18n = 18 \Leftrightarrow m + 9n = - 9$
+) Thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình ${d_2}$ ta được $\left( {3m - 1} \right).\left( { - 2} \right) + 2n.3 = 56 \Leftrightarrow - 6m + 2 + 6n = 56 \Leftrightarrow m - n = - 9$
Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}m + 9n = - 9\\m - n = - 9\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 9 + n\\ - 9 + n + 9n = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 9 + n\\10n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = 0\\m = - 9\end{array} \right. \Rightarrow m.n = 0.$
Vậy $m.n = 0$.
Tìm a, b để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(M(3; - 5),N\left( {1;2} \right)\)
-
A
$a = \dfrac{7}{2};b = \dfrac{-11}{2}$
-
B
$a = \dfrac{-7}{2};b = \dfrac{-11}{2}$
-
C
$a = \dfrac{7}{2};b = \dfrac{11}{2}$
-
D
$a = \dfrac{-7}{2};b = \dfrac{11}{2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Bước 1: Sử dụng đường thẳng $d:ax + by = c$ đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$$ \Leftrightarrow a{x_0} + b{y_0} = c$ để có được hai phương trình ẩn $a$ và $b$.
Bước 2: Giải hệ hai phương trình ẩn $a$ và $b$ bằng phương pháp thế.
Thay tọa độ điểm $M$ vào phương trình đường thẳng ta được $3a + b = - 5$
Thay tọa độ điểm $N$ vào phương trình đường thẳng ta được $a + b = 2$
Từ đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\3a + b = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\3a + 2 - a = -5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2 - a\\2a = -7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{-7}{2}\\b = \dfrac{11}{2}\end{array} \right.$
Vậy $a = \dfrac{-7}{2};b = \dfrac{11}{2}$
Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{2y - 1}} = 2\\\dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{2y - 1}} = 1\end{array} \right.$là
-
A
$1$
-
B
$0$
-
C
$2$
-
D
Vô số.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Điều kiện: $x \ne 2;y \ne \dfrac{1}{2}$
Đặt $\dfrac{1}{{x - 2}} = a;\dfrac{1}{{2y - 1}} = b$ khi đó ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\2a - 3b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\2\left( {2 - b} \right) - 3b = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\ - 5b = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{5}\\a = 2 - b\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{5}\\a = 2 - \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{7}{5}\\b = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$
Trả lại biến ta được
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{{2y - 1}} = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - 14 = 5\\6y - 3 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{19}}{7}\\y = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.$(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{19}}{7};\dfrac{4}{3}} \right)$.
Tìm các giá trị của \(m\) và \(n\) sao cho đa thức \(P\left( x \right) = m{x^3} + \left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {3n - 5} \right)x - 4n\) đồng thời chia hết cho \(x + 1\) và \(x - 3\).
-
A
\(m = - \dfrac{{22}}{9};n = 7\)
-
B
\(m = \dfrac{{22}}{9};n = - 7\)
-
C
\(m = - \dfrac{{22}}{9};n = - 7\)
-
D
\(m = - 7;n = - \dfrac{{22}}{9}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Ta sử dụng: Đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(P\left( a \right) = 0\)
+ Tính \(P\left( { - 1} \right);P\left( 3 \right)\)
+ Từ giả thiết ta giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}P\left( { - 1} \right) = 0\\P\left( 3 \right) = 0\end{array} \right.\) để tìm \(m;n.\)
Ta sử dụng: Đa thức \(P\left( x \right)\) chia hết cho đa thức \(x - a\) khi và chỉ khi \(P\left( a \right) = 0\)
Áp dụng mệnh đề trên với \(a = - 1,\) rồi với \(a = 3,\) ta có
\(P\left( { - 1} \right) = m{\left( { - 1} \right)^3} + \left( {m - 2} \right).{\left( { - 1} \right)^2} - \left( {3n - 5} \right).\left( { - 1} \right) - 4n = - n - 7\)
\(P\left( 3 \right) = m{.3^3} + \left( {m - 2} \right){.3^2} - \left( {3n - 5} \right).3 - 4n = 36m - 13n - 3\)
Theo giả thiết, \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x + 1\) nên \(P\left( { - 1} \right) = 0\) tức là \( - n - 7 = 0\)
Tương tự, vì \(P\left( x \right)\) chia hết cho \(x - 3\) nên \(P\left( 3 \right) = 0\) tức là \(36m - 13n - 3 = 0\)
Vậy ta phải giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - n - 7 = 0\\36m - 13n - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\36m - 13.\left( { - 7} \right) - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - 7\\m = - \dfrac{{22}}{9}\end{array} \right.\)
Trả lời: Vậy \(m = - \dfrac{{22}}{9};n = - 7\).
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{2x + y}} + \dfrac{5}{{x + 2y}} = \dfrac{5}{6}\\\dfrac{3}{{2x + y}} - \dfrac{4}{{x + 2y}} = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$.
Nếu đặt $\dfrac{1}{{2x + y}} = a;\dfrac{1}{{x + 2y}} = b$ ta được hệ phương trình mới là:
-
A
$\left\{ \begin{array}{l}2a + 5b = \dfrac{5}{6}\\3a - 4b = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$
-
B
$\left\{ \begin{array}{l}2a + 5b = \dfrac{6}{5}\\3a - 4b = - \dfrac{5}{3}\end{array} \right.$
-
C
$\left\{ \begin{array}{l}2a - 5b = \dfrac{5}{6}\\3a + 4b = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$
-
D
$\left\{ \begin{array}{l}-2a - 5b = \dfrac{5}{6}\\3a - 4b = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{{2x + y}} + \dfrac{5}{{x + 2y}} = \dfrac{5}{6}\\\dfrac{3}{{2x + y}} - \dfrac{4}{{x + 2y}} = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2.\dfrac{1}{{2x + y}} + 5.\dfrac{1}{{x + 2y}} = \dfrac{5}{6}\\3.\dfrac{1}{{2x + y}} - 4.\dfrac{1}{{x + 2y}} = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$
Đặt $\dfrac{1}{{2x + y}} = a;\dfrac{1}{{x + 2y}} = b$ ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2a + 5b = \dfrac{5}{6}\\3a - 4b = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$
Biết nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 1\\\dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = 5\end{array} \right.$là $\left( {x;y} \right)$. Tính $9x + 2y$.
-
A
$10$
-
B
$14$
-
C
$11$
-
D
$13$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Điều kiện: $x \ne 0;y \ne 0$
Đặt $\dfrac{1}{x} = a;\dfrac{1}{y} = b$ khi đó ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{array}{l}a - b = 1\\3a + 4b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 + b\\3\left( {1 + b} \right) + 4b = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 + b\\7b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{2}{7}\\a = 1 + \dfrac{2}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{9}{7}\\b = \dfrac{2}{7}\end{array} \right.$
Trả lại biến ta được
$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{9}{7}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{9}\\y = \dfrac{7}{2}\end{array} \right.$ (Thỏa mãn điều kiện)
Khi đó $9x + 2y = 9.\dfrac{7}{9} + 2.\dfrac{7}{2} = 14$.
Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{15x}}{{\sqrt y }} - \dfrac{{7\sqrt x }}{y} = 9\\\dfrac{{4x}}{{\sqrt y }} + \dfrac{{9\sqrt x }}{y} = 5\end{array} \right.$.
Nếu đặt $\dfrac{x}{{\sqrt y }} = a;\dfrac{{\sqrt x }}{y} = b$ (với $x > 0;y > 0$) ta được hệ phương trình mới là:
-
A
$\left\{ \begin{array}{l}15a - 7b = 9\\ - 4a + 9b = 5\end{array} \right.$
-
B
$\left\{ \begin{array}{l}15a - 7b = 9\\4a + 9b = 5\end{array} \right.$
-
C
$\left\{ \begin{array}{l}15a - 7b = - 9\\4a + 9b = \dfrac{1}{5}\end{array} \right.$
-
D
$\left\{ \begin{array}{l} - 15a + 7b = 9\\4a - 9b = 5\end{array} \right.$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{15x}}{{\sqrt y }} - \dfrac{{7\sqrt x }}{y} = 9\\\dfrac{{4x}}{{\sqrt y }} + \dfrac{{9\sqrt x }}{y} = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15.\dfrac{x}{{\sqrt y }} - 7.\dfrac{{\sqrt x }}{y} = 9\\4.\dfrac{x}{{\sqrt y }} + 9.\dfrac{{\sqrt x }}{y} = 5\end{array} \right.$
Đặt $\dfrac{x}{{\sqrt y }} = a;\dfrac{{\sqrt x }}{y} = b$ ta được hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}15a - 7b = 9\\4a + 9b = 5\end{array} \right.$
Nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3\left( {y - 5} \right) + 2\left( {x - 3} \right) = 0\\7\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x + y - 1} \right) - 14 = 0\end{array} \right.$là $\left( {x;y} \right)$.
Tính ${x^2} + {y^2}$.
-
A
$8$
-
B
$34$
-
C
$21$
-
D
$24$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Đưa hệ phương trình về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải bằng phương pháp thế
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}3\left( {y - 5} \right) + 2\left( {x - 3} \right) = 0\\7\left( {x - 4} \right) + 3\left( {x + y - 1} \right) - 14 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y - 15 + 2x - 6 = 0\\7x - 28 + 3x + 3y - 3 - 14 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 21\\10x + 3y = 45\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 21 - 2x\\10x + 21 - 2x = 45\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3y = 21 - 2x\\8x = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\3y = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5\end{array} \right.$
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {3;5} \right)$
$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {3^2} + {5^2} = 34$
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx + 4y = 20\\x + my = 10\end{array} \right.\), với m là tham số. Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
-
A
\(m = \pm 2\)
-
B
\(m \ne \pm 2\)
-
C
m = 2
-
D
m = - 2
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Trước tiên ta biểu diễn theo , rồi thế vào phương trình còn lại ta đươc một phương trình ẩn , tham số . Để yêu cầu bài toán được thỏa mãn thì phương trình đó phải có hệ số khác 0.
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}mx + 4y = 20\\x + my = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}mx + 4y = 20\\x = 10 - my\end{array} \right.\\ \Rightarrow m\left( {10 - my} \right) + 4y = 20\\ \Leftrightarrow 10m - {m^2}y + 4y = 20\\ \Leftrightarrow y\left( {4 - {m^2}} \right) = 20 - 10m(1)\end{array}\)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất
\( \Leftrightarrow 4 - {m^2} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 2.\)
Vậy với \(m \ne \pm 2\) thì yêu cầu bài toán được thỏa mãn.
Tìm cặp giá trị \((a;b)\) để hai hệ phương trình sau tương đương \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\x + y = 4\end{array} \right.(I)\) và \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{ax}} - y = 2\\2ax + by = 7\end{array} \right.(II)\)
-
A
\(( - 1; - 1)\)
-
B
\((1;2)\)
-
C
\(( - 1;1)\)
-
D
\((1;1)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Hai hệ phương trình tương đường khi và chỉ khi hai hệ phương trình có cùng tập nghiệm.
Giải phương trình (I) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2y\\1 + 2y + y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2y\\3y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\)
Hai phương trình tương đương \( \Leftrightarrow \) hai phương trình có cùng tập nghiệm hay (3; 1) cũng là nghiệm của phương trình (2).
Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) vào hệ phương trình (II) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}3a - 1 = 2\\6a + b = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right.\)
Tìm a để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - \left( {a + 1} \right)x + y = - a - 1\\x + \left( {a - 1} \right)y = 2\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x - y = 0\)
-
A
Không tồn tại \(a\) thỏa mãn
-
B
\(a=0\)
-
C
\(a=1\)
-
D
\(a=0\) hoặc \(a=1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+) Rút một ẩn theo ẩn còn lại từ phương trình thứ nhất, thế vào phương trình thứ hai.
+) Đưa phương trình về dạng \(ax = b\)
+) Để phương trình \(ax = b\) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(a \ne 0\)
+) Giải x và y theo a thay vào biểu thức \(x - y = 0\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l} - \left( {a + 1} \right)x + y = - a - 1\\x + \left( {a - 1} \right)y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x\\x + \left( {a - 1} \right)\left[ { - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x} \right] = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x\\x + \left( {a - 1} \right)\left( { - a - 1} \right) + \left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x\\\left( {{a^2} - 1 + 1} \right)x - {a^2} + 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x\\{a^2}x = {a^2} + 1\end{array} \right.\end{array}\)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi phương trình \({a^2}x = {a^2} + 1\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow a \ne 0\).
Với \(a \ne 0\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right)x\\{a^2}x = {a^2} + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - a - 1 + \left( {a + 1} \right).\dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}}\\x = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}}\\x = \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}}\end{array} \right.\)
Mà \(x - y = 0 \Rightarrow \dfrac{{{a^2} + 1}}{{{a^2}}} - \dfrac{{a + 1}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2} - a}}{{{a^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy \(a = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & \sqrt{\frac{1-x}{2y+1}}+\sqrt{\frac{2y+1}{1-x}}=2 \\ & x-y=1 \\\end{align} \right.\) là:
-
A
\(x=\dfrac{3}{4};\,y=\dfrac{-1}{3}\)
-
B
\(x=\dfrac{-4}{3};\,y=\dfrac{1}{3}\)
-
C
\(x=\dfrac{3}{4};\,y=\dfrac{1}{3}\)
-
D
Vô nghiệm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+) Tìm điều kiện của x và y để biểu thức trong căn có nghĩa.
+) Biểu diễn x theo y và thay vào phương trình còn lại ta được một phương trình chứa căn thức với ẩn là y. Tiếp theo, ta đặt ẩn phụ để giải, thay ngược lại để tìm được giá trị của x và y.
+) Khi tìm được nghiệm x và y ta đối chiếu với điều kiện xác định và kết luận nghiệm của hệ phương trình.
Đk:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{1 - x}}{{2y + 1}} \ge 0\\\dfrac{{2y + 1}}{{1 - x}} \ge 0\\y \ne \dfrac{{ - 1}}{2}\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{1 - x}}{{2y + 1}} > 0\\\dfrac{{2y + 1}}{{1 - x}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - x > 0\\2y + 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}1 - x < 0\\2y + 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\y > \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\y < \dfrac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\end{array} \right..\)
\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {\dfrac{{1 - x}}{{2y + 1}}} + \sqrt {\dfrac{{2y + 1}}{{1 - x}}} = 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - y = 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
từ \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(x=1+y\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta có:
\(pt \Leftrightarrow \sqrt {\dfrac{{1 - 1 - y}}{{2y + 1}}} + \sqrt {\dfrac{{2y + 1}}{{1 - 1 - y}}} = 2 \Leftrightarrow \sqrt {\dfrac{{ - y}}{{2y + 1}}} + \sqrt {\dfrac{{2y + 1}}{{ - y}}} = 2\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\)
Đặt \(\dfrac{-y}{2y+1}=t\left( t\ge 0 \right)\Rightarrow \dfrac{2y+1}{-y}=\dfrac{1}{t}\) khi đó \(\left( 3 \right)\) có dạng:
\(\sqrt t + \sqrt {\dfrac{1}{t}} = 2 \Leftrightarrow t + 2 + \dfrac{1}{t} = 4 \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1\left( {tm} \right)\)
Suy ra: \(\dfrac{-y}{2y+1}=1\Leftrightarrow 2y+1=-y\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{3}\,\,\,\left( tm \right)\Rightarrow x=\dfrac{1}{3}+1=\dfrac{4}{3}\,\,\,\left( ktm \right)\)
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\{x^2} + 2xy - {y^2} = 7\end{array} \right.\) , cặp nghiệm của hệ phương trình đã cho là:
-
A
\(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {2;3} \right);\left( {4; - 9} \right)} \right\}\)
-
B
\(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {2;3} \right);\left( {- 4; - 9} \right)} \right\}\)
-
C
\(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {2; - 3} \right);\left( { - 4; - 9} \right)} \right\}\)
-
D
\(\left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( {2;3} \right);\left( {4;9} \right)} \right\}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Với dạng này ta sẽ sử dụng phương pháp thế. Từ phương trình bậc nhất ta biểu diễn ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại.
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 1\\{x^2} + 2xy - {y^2} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\{x^2} + 2x\left( {2x - 1} \right) - {\left( {2x - 1} \right)^2} = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\{x^2} + 4{x^2} - 2x - 4{x^2} + 4x - 1 - 7 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\{x^2} + 2x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\\left( {x + 4} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\\left[ \begin{array}{l}x + 4 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\left\{ \begin{array}{l}y = 2x - 1\\\left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 2\end{array} \right.\end{array} \right.} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = - 9\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)
Cho hệ phương trình \(\left\{ \matrix{ x + my = 1 \hfill \cr mx - y = - m \hfill \cr} \right.\)
Hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào giá trị của m là:
-
A
\(2x + y = 3\)
-
B
\(\displaystyle {x \over y} = 3\)
-
C
\(xy = 3\)
-
D
\({x^2} + {y^2} = 1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Tìm nghiệm của hệ phương trình theo m. Sau đó biến đổi m theo x và y. Từ đó ta có hệ thức không phụ thuộc vào m của x và y.
\(\displaystyle\left\{ \matrix{x + my = 1 \hfill \cr mx - y = - m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 1 - my \hfill \cr m(1 - my) - y = - m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 - my \hfill \cr m - {m^2}y - y = - m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 1 - my \hfill \cr y({m^2} + 1) = 2m \hfill \cr} \right.\)
Do \(\displaystyle{m^2} + 1 \ge 1 \Rightarrow y = {{2m} \over {{m^2} + 1}} \Rightarrow x = 1 - my = 1 - {{2{m^2}} \over {{m^2} + 1}} = {{1 - {m^2}} \over {{m^2} + 1}}\)
Xét \(\displaystyle{x^2} + {y^2} = {{4{m^2}} \over {{{(1 + {m^2})}^2}}} + {{{{(1 - {m^2})}^2}} \over {{{(1 + {m^2})}^2}}} = {{4{m^2} + 1 - 2{m^2} + {m^4}} \over {{{(1 + {m^2})}^2}}} = {{{m^4} + 2{m^2} + 1} \over {{{(1 + {m^2})}^2}}} = {{{{(1 + {m^2})}^2}} \over {{{(1 + {m^2})}^2}}} = 1\)
Vậy \(\displaystyle{x^2} + {y^2} = 1\) không phụ thuộc vào giá trị của m .
Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = n\\nx + my = 1\end{array} \right.\) (m, n là tham số)
Giải hệ phương trình với \(m = \dfrac{{ - 1}}{2};n = \dfrac{1}{3}\), ta được nghiệm là:
-
A
\(\left( {\dfrac{{10}}{7};\dfrac{{ 22}}{{21}}} \right)\)
-
B
\(\left( {-\dfrac{{10}}{7};\dfrac{{ 22}}{{21}}} \right)\)
-
C
\(\left( {\dfrac{{10}}{7};\dfrac{{ - 22}}{{21}}} \right)\)
-
D
\(\left( {-\dfrac{{10}}{7};\dfrac{{ - 22}}{{21}}} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+) Thay \(m = \dfrac{{ - 1}}{2};n = \dfrac{1}{3}\) vào hệ phương trình đưa về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
+) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
Thay \(m = \dfrac{{ - 1}}{2};n = \dfrac{1}{3}\)ta có hệ phương trình ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 1}}{2}x - y = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{3}x + \dfrac{{ - 1}}{2}y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 1}}{2}x - \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{3}x + \dfrac{{ - 1}}{2}\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}x - \dfrac{1}{3}} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 1}}{2}x - \dfrac{1}{3}\\\dfrac{7}{{12}}x = \dfrac{5}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{10}}{7}\\y = \dfrac{{ - 22}}{{21}}\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {\dfrac{{10}}{7};\dfrac{{ - 22}}{{21}}} \right)\)
-
A
\(\left\{ \begin{array}{l}m = - 2 + \sqrt 3 \\n = 2 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
-
B
\(\left\{ \begin{array}{l}m = 2 - \sqrt 3 \\n = 2 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
-
C
\(\left\{ \begin{array}{l}m = - 2 + \sqrt 3 \\n = -2+2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
-
D
\(\left\{ \begin{array}{l}m = 2 - \sqrt 3 \\n = -2 + 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Thay \(x = - 1;y = \sqrt 3 \) giải hệ phương trình bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số tìm m, n.
Để phương trình có nghiệm \(\left( { - 1;\sqrt 3 } \right)\) thay \(x = - 1;\,\,y = \sqrt 3 \) vào hệ phương trình ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - m - \sqrt 3 = n\\ - n + \sqrt 3 m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m - \sqrt 3 = n\\ - \left( { - m - \sqrt 3 } \right) + \sqrt 3 m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m - \sqrt 3 = n\\\left( {1 + \sqrt 3 } \right)m = 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m - \sqrt 3 = n\\m = \dfrac{{1 - \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 }} = - 2 + \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n = - \left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) - \sqrt 3 = 2 - 2\sqrt 3 \\m = - 2 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}m = - 2 + \sqrt 3 \\n = 2 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)