Phương trình: \(\left( {4 + 2x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) có nghiệm là:
-
A
\(x = 1;x = 2\)
-
B
\(x = - 2;x = 1\)
-
C
\(x = - 1;x = 2\)
-
D
\(x = 1;x = \dfrac{1}{2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Ta sử dụng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\)
Ta có \(\left( {4 + 2x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 + 2x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - 4\\x = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 1;\,x = - 2\) .
Các nghiệm của phương trình \(\left( {2 + 6x} \right)\left( { - {x^2} - 4} \right) = 0\) là:
-
A
\(x = 2\)
-
B
\(x = - 2\)
-
C
\(x = - \dfrac{1}{2};\,x = 2\)
-
D
\(x = - \dfrac{1}{3}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Ta sử dụng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\)
Ta có
\(\left( {2 + 6x} \right)\left( { - {x^2} - 4} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + 6x = 0\\ - {x^2} - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = - 2\\ - {x^2} = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{3}\\{x^2} = - 4\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Phương trình có nghiệm duy nhất \(x = - \dfrac{1}{3}\) .
Phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\) có số nghiệm là:
-
A
\(1\)
-
B
\(2\)
-
C
\(3\)
-
D
\(4\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Ta sử dụng \(A\left( x \right).B\left( x \right).C\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\) hoặc \(C\left( x \right) = 0\).
Ta có \(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình có ba nghiệm \(x = 1\) ; \(x = 2\) ; \(x = 3\) .
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\) là:
-
A
\(1\)
-
B
\(2\)
-
C
\(3\)
-
D
\(4\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Ta sử dụng \(A\left( x \right).B\left( x \right).C\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\) hoặc \(C\left( x \right) = 0\).
Ta có \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\\x + 6 = 0\\x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\x = - 6\\x = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\\x = - 6\\x = 8\end{array} \right.\)
Tổng các nghiệm của phương trình là \(2 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 6} \right) + 8 = 2\) .
Chọn khẳng định đúng.
-
A
Phương trình \(8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)\)có hai nghiệm trái dấu
-
B
Phương trình \(8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)\)có hai nghiệm cùng dương
-
C
Phương trình \(8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)\)có hai nghiệm cùng âm
-
D
Phương trình \(8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)\)có một nghiệm duy nhất
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\)
Ta có \(8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8x\left( {3x - 5} \right) - 6\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8x - 6} \right)\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x - 6 = 0\\3x - 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = 6\\3x = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\x = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương \(x = \dfrac{3}{4};\,x = \dfrac{5}{3}\) .
Tích các nghiệm của phương trình \({x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0\) là
-
A
\(1\)
-
B
\(2\)
-
C
\( - 6\)
-
D
\(6\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng phương pháp tách hạng tử để phân tích vế trái thành nhân tử, đưa phương trình về dạng \(A\left( x \right).B\left( x \right).C\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\) hoặc \(C\left( x \right) = 0\).
Ta có
$\begin{array}{l}\,{x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + 5{x^2} - 5x + 6x - 6 = 0\end{array}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) + 5x\left( {x - 1} \right) + 6\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3x + 6} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\, \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {x\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x + 2} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0.\end{array}$
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 2 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\\x = - 3\end{array} \right.\)
Vậy $S = \left\{ {1; - 2; - 3} \right\}$ nên tích các nghiệm là \(1.\left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right) = 6\) .
Nghiệm lớn nhất của phương trình \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\) là
-
A
\(2\)
-
B
\(1\)
-
C
\( - 1\)
-
D
\(4\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Chuyển vế, biến đổi phương trình về dạng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\)
Ta có \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1 - x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\x = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ { - 1;1;4} \right\}\) .
Nghiệm lớn nhất của phương trình là \(x = 4.\)
Nghiệm nhỏ nhất của phương trình \({\left( {2x + 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2}\) là
-
A
\(0\)
-
B
\(2\)
-
C
\(3\)
-
D
\( - 2\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Chuyển vế và sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\) đưa phương trình về dạng
\(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.\)
Ta có \({\left( {2x + 1} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2x + 1 + x - 1} \right)\left( {2x + 1 - x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {0; - 2} \right\}\).
Nghiệm nhỏ nhất là \(x = - 2\) .
Tập nghiệm của phương trình \(\left( {{x^2} + x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 6\) là
-
A
\(S = \left\{ { - 1; - 2} \right\}\)
-
B
\(S = \left\{ {1;2} \right\}\)
-
C
\(S = \left\{ {1; - 2} \right\}\)
-
D
\(S = \left\{ { - 1;2} \right\}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Đặt \({x^2} + x = y\), biến đổi phương trình ẩn \(y\) về dạng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0\) từ đó tìm được \(y\) .
+ Thay \(y\) tìm được vào phép đặt ta tìm được \(x\) .
Đặt \({x^2} + x = y,\) ta có:
\(y\left( {y + 1} \right) = 6\)\( \Leftrightarrow {y^2} + y - 6 = 0 \)\(\Leftrightarrow {y^2} + 2y - 3y - 6 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y + 2} \right) - 3\left( {y + 2} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow \left( {y + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 3\\y = 2\end{array} \right.\)
+ Với \(y = - 3,\) ta có \({x^2} + x + 3 = 0,\) vô nghiệm vì:
\({x^2} + x + 3 = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0\)
+ Với \(y = 2\), ta có
\(\begin{array}{l}{x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ { 1;-2} \right\}\) .
Tìm m để phương trình \(\left( {2m - 5} \right)x - 2{m^2} + 8 = 43\) có nghiệm \(x = - 7\).
-
A
\(m = 0\) hoặc \(m = 7\)
-
B
\(m = 1\) hoặc \(m = - 7\)
-
C
\(m = 0\) hoặc \(m = - 7\)
-
D
\(m = - 7\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Thay giá trị của nghiệm vào phương trình ta được phương trình ẩn $m$ , biến đổi để đưa về phương trình tích $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0$ , giải các phương trình $A\left( x \right) = 0;B\left( x \right) = 0$ rồi lấy hợp tất cả các nghiệm của chúng.
Thay \(x = - 7\) vào phương trình \(\left( {2m - 5} \right)x - 2{m^2} + 8 = 43\) ta được:
\(\left( {2m - 5} \right)\left( { - 7} \right) - 2{m^2} + 8 = 43\\ \Leftrightarrow - 14m + 35 - 2{m^2} - 35 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 14m = 0\\ \Leftrightarrow 2m\left( {m + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 7\end{array} \right.\)
Vậy \(m = 0\) hoặc \(m = - 7\) thì phương trình có nghiệm \(x = - 7\) .
Tập nghiệm của phương trình
\({\left( {5{x^2} - 2x + 10} \right)^2} = {\left( {3{x^2} + 10x - 8} \right)^2}\) là:
-
A
\(S = \left\{ {\dfrac{1}{2};\,\,3} \right\}\)
-
B
\(S = \left\{ {\dfrac{1}{2}; - 3} \right\}\)
-
C
\(S = \left\{ { - \dfrac{1}{2};\,\,3} \right\}\)
-
D
\(S = \left\{ { - \dfrac{1}{2}; - 3} \right\}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Chuyển vế, sau đó áp dụng hằng đẳng thức: \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\) để đưa phương trình về dạng phương trình tích $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0$ , giải các phương trình $A\left( x \right) = 0;B\left( x \right) = 0$ rồi lấy hợp tất cả các nghiệm của chúng.
\({\left( {5{x^2} - 2x + 10} \right)^2} = {\left( {3{x^2} + 10x - 8} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {5{x^2} - 2x + 10} \right)^2} - {\left( {3{x^2} + 10x - 8} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {5{x^2} - 2x + 10 + 3{x^2} + 10x - 8} \right)\left( {5{x^2} - 2x + 10 - 3{x^2} - 10x + 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8{x^2} + 8x + 2} \right)\left( {2{x^2} - 12x + 18} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8{x^2} + 8x + 2 = 0\\2{x^2} - 12x + 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\left( {2x + 1} \right)^2} = 0\\2{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{1}{2}\\x = 3\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - \dfrac{1}{2};\,\,3} \right\}.\)
Biết rằng phương trình \({\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 4x + 1\) có nghiệm lớn nhất là \({x_0}\) . Chọn hẳng định đúng.
-
A
\({x_0} = 3\)
-
B
\({x_0} < 2\)
-
C
\({x_0} > 1\)
-
D
\({x_0} < 0\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Thêm \(4{x^2}\) vào hai vế rồi đưa phương trình về dạng \({A^2} = {B^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A = - B\end{array} \right.\)
Cộng \(4{x^2}\) vào hai vế ta được
\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 4x + 1 \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 = 4x + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 + 4{x^2} = 4{x^2} + 4x + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} + 1 = 4{x^2} + 4x + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = {\left( {2x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 2x + 1\\{x^2} + 1 = - 2x - 1\end{array} \right.\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x = 0\\{x^2} + 2x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) = 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)
Vậy \(S = \left\{ {0;2} \right\}\) , nghiệm lớn nhất là \({x_0} = 2 > 1\) .
Cho phương trình $\left( 1 \right):$ \(x\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right):\) \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = 0\).
Chọn khẳng định đúng.
-
A
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có một nghiệm, phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm
-
B
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm, phương trình \(\left( 2 \right)\) có một nghiệm
-
C
Hai phương trình đều có hai nghiệm
-
D
Hai phương trình đều vô nghiệm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Phương trình tích $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.$ , giải các phương trình $A\left( x \right) = 0;B\left( x \right) = 0$ rồi lấy hợp tất cả các nghiệm của chúng.
Xét phương trình $\left( 1 \right):$\(x\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\).
Xét phương trình \(\left( 2 \right):\)
\(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\{x^2} + 4x + 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{\left( {x + 2} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm \(x = - 1;\,x = 1\).