Câu hỏi 1 :

Phương trình: \(\left( {4 + 2x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) có nghiệm là:

  • A

    \(x = 1;x = 2\)

  • B

    \(x =  - 2;x = 1\)

  • C

    \(x =  - 1;x = 2\)

  • D

    \(x = 1;x = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Ta sử dụng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left( {4 + 2x} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4 + 2x = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x =  - 4\\x = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 1;\,x =  - 2\) .

Câu hỏi 2 :

Các nghiệm của phương trình \(\left( {2 + 6x} \right)\left( { - {x^2} - 4} \right) = 0\) là:

  • A

    \(x = 2\)

  • B

    \(x =  - 2\)

  • C

    \(x =  - \dfrac{1}{2};\,x = 2\)

  • D

    \(x =  - \dfrac{1}{3}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Ta sử dụng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\)

Lời giải chi tiết :

Ta có

\(\left( {2 + 6x} \right)\left( { - {x^2} - 4} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + 6x = 0\\ - {x^2} - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x =  - 2\\ - {x^2} = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{1}{3}\\{x^2} =  - 4\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - \dfrac{1}{3}\) .

Câu hỏi 3 :

Phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\) có số nghiệm là:

  • A

    \(1\)    

  • B

    \(2\)

  • C

     \(3\)

  • D

     \(4\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Ta sử dụng \(A\left( x \right).B\left( x \right).C\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\) hoặc \(C\left( x \right) = 0\).

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có ba nghiệm \(x = 1\) ; \(x = 2\) ; \(x = 3\) .

Câu hỏi 4 :

Tổng các nghiệm của phương trình \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\) là:

  • A

    \(1\)    

  • B

    \(2\)

  • C

    \(3\)

  • D

    \(4\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Ta sử dụng \(A\left( x \right).B\left( x \right).C\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\) hoặc \(C\left( x \right) = 0\).

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 6} \right)\left( {x - 8} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\\x + 6 = 0\\x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\x =  - 6\\x = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 2\\x =  - 6\\x = 8\end{array} \right.\)

Tổng các nghiệm của phương trình là \(2 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 6} \right) + 8 = 2\) .

Câu hỏi 5 :

Chọn khẳng định đúng.

  • A

    Phương trình \(8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)\)có hai nghiệm trái dấu

  • B

    Phương trình \(8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)\)có hai nghiệm cùng dương

  • C

    Phương trình \(8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)\)có hai nghiệm cùng âm                        

  • D

    Phương trình \(8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)\)có một nghiệm duy nhất

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8x\left( {3x - 5} \right) - 6\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8x - 6} \right)\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x - 6 = 0\\3x - 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = 6\\3x = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\x = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương \(x = \dfrac{3}{4};\,x = \dfrac{5}{3}\) .

Câu hỏi 6 :

Tích các nghiệm của phương trình \({x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0\) là

  • A

    \(1\)    

  • B

    \(2\)

  • C

    \( - 6\)

  • D

    \(6\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp tách hạng tử để phân tích vế trái thành nhân tử, đưa phương trình về dạng \(A\left( x \right).B\left( x \right).C\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\) hoặc \(C\left( x \right) = 0\).

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}\,{x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + 5{x^2} - 5x + 6x - 6 = 0\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) + 5x\left( {x - 1} \right) + 6\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3x + 6} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\, \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {x\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x + 2} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0.\end{array}$

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 2 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\\x =  - 3\end{array} \right.\)

Vậy $S = \left\{ {1; - 2; - 3} \right\}$ nên tích các nghiệm là \(1.\left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right) = 6\) .

Câu hỏi 7 :

Nghiệm lớn nhất của phương trình \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\) là

  • A

    \(2\)    

  • B

    \(1\)    

  • C

    \( - 1\)

  • D

    \(4\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Chuyển vế, biến đổi phương trình về dạng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0\) hoặc \(B\left( x \right) = 0\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x - 1 - x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\x - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\x = 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ { - 1;1;4} \right\}\) .

Nghiệm lớn nhất của phương trình là \(x = 4.\) 

Câu hỏi 8 :

Nghiệm nhỏ nhất của phương trình \({\left( {2x + 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2}\) là

  • A

    \(0\)

  • B

    \(2\)

  • C

    \(3\)

  • D

    \( - 2\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

+ Chuyển vế và sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\) đưa phương trình về dạng

\(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.\)  

 

Lời giải chi tiết :

Ta có \({\left( {2x + 1} \right)^2} - {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2x + 1 + x - 1} \right)\left( {2x + 1 - x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {0; - 2} \right\}\).

Nghiệm nhỏ nhất là \(x =  - 2\) .

Câu hỏi 9 :

Tập nghiệm của phương trình \(\left( {{x^2} + x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 6\) là

  • A

    \(S = \left\{ { - 1; - 2} \right\}\)

  • B

    \(S = \left\{ {1;2} \right\}\)

  • C

    \(S = \left\{ {1; - 2} \right\}\)

  • D

    \(S = \left\{ { - 1;2} \right\}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

+ Đặt \({x^2} + x = y\), biến đổi phương trình ẩn \(y\) về dạng \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0\) từ đó tìm được \(y\) .

+ Thay \(y\) tìm được vào phép đặt ta tìm được \(x\) .

Lời giải chi tiết :

 Đặt \({x^2} + x = y,\) ta có:

\(y\left( {y + 1} \right) = 6\)\( \Leftrightarrow {y^2} + y - 6 = 0 \)\(\Leftrightarrow {y^2} + 2y - 3y - 6 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y + 2} \right) - 3\left( {y + 2} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow \left( {y + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - 3\\y = 2\end{array} \right.\)

+ Với \(y =  - 3,\) ta có \({x^2} + x + 3 = 0,\) vô nghiệm vì:

\({x^2} + x + 3 = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0\)

+ Với \(y = 2\), ta có

\(\begin{array}{l}{x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ { 1;-2} \right\}\) .

Câu hỏi 10 :

Tìm m để phương trình \(\left( {2m - 5} \right)x - 2{m^2} + 8 = 43\) có nghiệm \(x =  - 7\).

  • A

    \(m = 0\) hoặc \(m = 7\)

  • B

    \(m = 1\) hoặc \(m =  - 7\)

  • C

    \(m = 0\) hoặc \(m =  - 7\)     

  • D

    \(m =  - 7\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Thay giá trị của nghiệm vào phương trình ta được phương trình ẩn $m$ , biến đổi để đưa về phương trình tích $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0$ , giải các phương trình $A\left( x \right) = 0;B\left( x \right) = 0$ rồi lấy hợp tất cả các nghiệm của chúng.

Lời giải chi tiết :

Thay \(x =  - 7\) vào phương trình \(\left( {2m - 5} \right)x - 2{m^2} + 8 = 43\) ta được:

\(\left( {2m - 5} \right)\left( { - 7} \right) - 2{m^2} + 8 = 43\\ \Leftrightarrow  - 14m + 35 - 2{m^2} - 35 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} + 14m = 0\\ \Leftrightarrow 2m\left( {m + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 7\end{array} \right.\)

Vậy \(m = 0\) hoặc \(m =  - 7\) thì phương trình có nghiệm \(x =  - 7\) .

Câu hỏi 11 :

Tập nghiệm của phương trình

\({\left( {5{x^2} - 2x + 10} \right)^2} = {\left( {3{x^2} + 10x - 8} \right)^2}\) là:  

  • A

    \(S = \left\{ {\dfrac{1}{2};\,\,3} \right\}\)

  • B

    \(S = \left\{ {\dfrac{1}{2}; - 3} \right\}\)       

  • C

    \(S = \left\{ { - \dfrac{1}{2};\,\,3} \right\}\)     

  • D

    \(S = \left\{ { - \dfrac{1}{2}; - 3} \right\}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Chuyển vế, sau đó áp dụng hằng đẳng thức: \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\) để đưa phương trình về dạng phương trình tích $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0$ , giải các phương trình $A\left( x \right) = 0;B\left( x \right) = 0$ rồi lấy hợp tất cả các nghiệm của chúng.

Lời giải chi tiết :

\({\left( {5{x^2} - 2x + 10} \right)^2} = {\left( {3{x^2} + 10x - 8} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {5{x^2} - 2x + 10} \right)^2} - {\left( {3{x^2} + 10x - 8} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {5{x^2} - 2x + 10 + 3{x^2} + 10x - 8} \right)\left( {5{x^2} - 2x + 10 - 3{x^2} - 10x + 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8{x^2} + 8x + 2} \right)\left( {2{x^2} - 12x + 18} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8{x^2} + 8x + 2 = 0\\2{x^2} - 12x + 18 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{\left( {2x + 1} \right)^2} = 0\\2{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{1}{2}\\x = 3\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm: \(S = \left\{ { - \dfrac{1}{2};\,\,3} \right\}.\)

Câu hỏi 12 :

Biết rằng phương trình \({\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 4x + 1\) có nghiệm lớn nhất là \({x_0}\) . Chọn hẳng định đúng.

  • A

    \({x_0} = 3\)

  • B

    \({x_0} < 2\)       

  • C

    \({x_0} > 1\)     

  • D

    \({x_0} < 0\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

+ Thêm \(4{x^2}\) vào hai vế rồi đưa phương trình về dạng \({A^2} = {B^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A =  - B\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

Cộng \(4{x^2}\) vào hai vế  ta được

\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 4x + 1 \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 = 4x + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 + 4{x^2} = 4{x^2} + 4x + 1\\ \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} + 1 = 4{x^2} + 4x + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = {\left( {2x + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 2x + 1\\{x^2} + 1 =  - 2x - 1\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 2x = 0\\{x^2} + 2x + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x\left( {x - 2} \right) = 0\\{\left( {x + 1} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)             

Vậy \(S = \left\{ {0;2} \right\}\) , nghiệm lớn nhất là \({x_0} = 2 > 1\) .

Câu hỏi 13 :

Cho phương trình $\left( 1 \right):$ \(x\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right):\) \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = 0\).

Chọn khẳng định đúng.

  • A

    Phương trình \(\left( 1 \right)\) có một nghiệm, phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm       

  • B

    Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm, phương trình \(\left( 2 \right)\) có một nghiệm 

  • C

    Hai phương trình đều có hai  nghiệm

  • D

    Hai phương trình đều vô nghiệm  

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Phương trình tích $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.$ , giải các phương trình $A\left( x \right) = 0;B\left( x \right) = 0$ rồi lấy hợp tất cả các nghiệm của chúng.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình $\left( 1 \right):$\(x\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = 0\).

Xét phương trình \(\left( 2 \right):\)

\(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = 0\)

 \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\{x^2} + 4x + 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{\left( {x + 2} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm \(x =  - 1;\,x = 1\).