Phương trình \(\left| {2x - 5} \right| = 3\) có nghiệm là:
-
A
\(x = 4;\,x = - 1\)
-
B
\(x = - 4;\,x = 1\)
-
C
\(x = 4;\,x = 1\)
-
D
\(x = - 4;\,x = - 1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng công thức: \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
\(\left| {2x - 5} \right| = 3\)
TH1: \(\left| {2x - 5} \right| = 2x - 5\) khi \(2x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 5 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{5}{2}\)
Khi đó \(\left| {2x - 5} \right| = 3\)$ \Rightarrow 2x - 5 = 3 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4\,\left( {TM} \right)$
TH1: \(\left| {2x - 5} \right| = - \left( {2x - 5} \right)\) khi \(2x - 5 < 0 \Leftrightarrow 2x < 5 \Leftrightarrow x < \dfrac{5}{2}\)
Khi đó \(\left| {2x - 5} \right| = 3\)$ \Rightarrow - \left( {2x - 5} \right) = 3 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\,\left( {TM} \right)$
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 4;\,x = 1\) .
Phương trình \(2.\left| {3 - 4x} \right| + 6 = 10\) có nghiệm là
-
A
\(x = \dfrac{3}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)
-
B
\(x = \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)
-
C
\(x = - \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)
-
D
\(x = \dfrac{1}{4};\,x = - \dfrac{5}{4}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng công thức: \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Sau đó giải phương trình thu được.
TH1: \(\left| {3 - 4x} \right| = 3 - 4x\) khi \(3 - 4x \ge 0 \Leftrightarrow 4x \le 3 \Leftrightarrow x \le \dfrac{3}{4}\)
Phương trình đã cho trở thành \(2\left( {3 - 4x} \right) + 6 = 10 \)\(\Leftrightarrow 2\left( {3 - 4x} \right) = 4 \)\(\Leftrightarrow 3 - 4x = 2 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\,\left( {TM} \right)\)
TH2: \(\left| {3 - 4x} \right| = - \left( {3 - 4x} \right)\) khi \(3 - 4x < 0 \)\(\Leftrightarrow 4x > 3\)\( \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{4}\)
Phương trình đã cho trở thành \(2\left( {4x - 3} \right) + 6 = 10 \)\(\Leftrightarrow 2\left( {4x - 3} \right) = 4 \)\(\Leftrightarrow 4x - 3 = 2 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{4}\,\left( {TM} \right)\)
Phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\) .
Tập nghiệm của phương trình \(\left| {5x - 3} \right| = x + 7\) là
-
A
\(\left\{ {\dfrac{5}{2}} \right\}\)
-
B
\(\left\{ {\dfrac{5}{2};\dfrac{2}{3}} \right\}\)
-
C
\(\left\{ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right\}\)
-
D
\(\left\{ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{2}{3}} \right\}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn
+ So sánh với điều kiện và kết luận.
TH1: \(\left| {5x - 3} \right| = 5x - 3\) nếu \(5x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow 5x \ge 3 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{3}{5}\)
Phương trình đã cho trở thành \(5x - 3 = x + 7 \)\(\Leftrightarrow 4x = 10 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\,\left( {TM} \right)\) .
TH2: \(\left| {5x - 3} \right| = - \left( {5x - 3} \right)\) nếu \(5x - 3 < 0 \)\(\Leftrightarrow 5x < 3 \)\(\Leftrightarrow x < \dfrac{3}{5}\)
Phương trình đã cho trở thành \( - \left( {5x - 3} \right) = x + 7 \)\(\Leftrightarrow - 6x = 4 \)\(\Leftrightarrow x = - \dfrac{2}{3}\,\left( {TM} \right).\)
Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{2}{3}} \right\}\) .
Số nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| + 3x = 7\) là
-
A
\(3\)
-
B
\(2\)
-
C
\(0\)
-
D
\(1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn
+ So sánh với điều kiện và kết luận.
TH1: \(\left| {x - 3} \right| = x - 3\) khi \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)
Phương trình đã cho trở thành \(x - 3 + 3x = 7\)\( \Leftrightarrow 4x = 10 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\,\left( {KTM} \right)\)
TH2: \(\left| {x - 3} \right| = - \left( {x - 3} \right)\) khi \(x - 3 < 0 \)\(\Leftrightarrow x < 3\)
Phương trình đã cho trở thành \( - \left( {x - 3} \right) + 3x = 7 \)\(\Leftrightarrow 2x = 4 \)\(\Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình có một nghiệm \(x = 2\).
Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
-
A
\(\left| {x - 1} \right| = 1\)
-
B
\(\left| x \right| = - 9\)
-
C
\(\left| {x + 3} \right| = 0\)
-
D
\(\left| {2x} \right| = 10\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right.\) để giải các phương trình.
+ Lưu ý: \(\left| a \right| \ge 0;\,\forall a\) .
* Xét \(\left| {x - 1} \right| = 1\)
TH1: \(\left| {x - 1} \right| = x - 1\) khi \(x \ge 1\) , nên ta có phương trình \(x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right)\)
TH2: \(\left| {x - 1} \right| = 1 - x\) khi \(x < 1\) , nên ta có phương trình \(1 - x = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)\)
Vậy \(S = \left\{ {0;2} \right\}\)
* Xét \(\left| {x + 3} \right| = 0 \Leftrightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x = - 3\) nên \(S = \left\{ { - 3} \right\}\)
* Xét \(\left| {2x} \right| = 10\)
TH1: \(\left| {2x} \right| = 2x\) khi \(x \ge 0\) nên ta có phương trình \(2x = 10 \Leftrightarrow x = 5\,\left( {TM} \right)\)
TH2: \(\left| {2x} \right| = - 2x\) khi \(x < 0\) nên ta có phương trình \( - 2x = 10 \Leftrightarrow x = - 5\,\left( {TM} \right)\)
Vậy \(S = \left\{ {5; - 5} \right\}\)
* Xét \(\left| x \right| = - 9\). Thấy rằng \(\left| x \right| \ge 0;\,\forall x\) mà \( - 9 < 0\) nên \(\left| x \right| > - 9\) với mọi \(x\). Hay phương trình \(\left| x \right| = - 9\) vô nghiệm.
Cho các khẳng định sau:
(1) \(\left| {x - 3} \right| = 1\) chỉ có một nghiệm là x = 2
(2) $x = 4$ là nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\)
(3) \(\left| {x - 3} \right| = 1\) có hai nghiệm là $x = 2$ và $x = 4$
Các khẳng định đúng là:
-
A
(1);(3)
-
B
(2);(3)
-
C
Chỉ (3)
-
D
Chỉ (2)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn
+ So sánh với điều kiện và kết luận.
Xét phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\)
TH1: \(\left| {x - 3} \right| = x - 3\) khi \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)
Phương trình đã cho trở thành \(x - 3 = 1 \Leftrightarrow x = 4\left( {TM} \right)\)
TH2: \(\left| {x - 3} \right| = 3 - x\) khi \(x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < 3\)
Phương trình đã cho trở thành \(3 - x = 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\) có hai nghiệm \(x = 2;x = 4\).
Nên \(x = 4\) là nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\).
Khẳng định đúng là (2) và (3).
Nghiệm nhỏ nhất của phương trình \(\left| {2 + 3x} \right| = \left| {4x - 3} \right|\) là
-
A
\(\dfrac{1}{7}\)
-
B
\(5\)
-
C
\( - \dfrac{1}{7}\)
-
D
\( - 5\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Vận dụng tính chất: \(\left| a \right| = \left| b \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a = - b\end{array} \right..\)
Ta có: \(\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = B\left( x \right)\\A\left( x \right) = - B\left( x \right)\end{array} \right..\)
Ta có \(\left| {2 + 3x} \right| = \left| {4x - 3} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + 3x = 4x - 3\\2 + 3x = 3 - 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\7x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \dfrac{1}{7}\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là \(x = \dfrac{1}{7}\) .
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left| {3x - 1} \right| = x + 4\) là
-
A
\(7\)
-
B
\(4\)
-
C
\(\dfrac{4}{7}\)
-
D
\(\dfrac{7}{4}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn
+ So sánh với điều kiện và kết luận.
TH1: \(\left| {3x - 1} \right| = 3x - 1\) khi \(3x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 3x \ge 1 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{3}\)
Phương trình đã cho trở thành \(3x - 1 = x + 4 \)\(\Leftrightarrow 2x = 5\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\left( {TM} \right)\)
TH2: \(\left| {3x - 1} \right| = 1 - 3x\) khi \(3x - 1 < 0 \)\(\Leftrightarrow x < \dfrac{1}{3}\)
Phương trình đã cho trở thành \(1 - 3x = x + 4 \)\(\Leftrightarrow 4x = - 3 \)\(\Leftrightarrow x = - \dfrac{3}{4}\,\left( {TM} \right)\)
Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 3}}{4};\dfrac{5}{2}} \right\}\)
Tổng các nghiệm của phương trình là \( - \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{4}\) .
Nghiệm lớn nhất của phương trình \(\left| {2x} \right| = 3 - 3x\) là
-
A
\(3\)
-
B
\(\dfrac{9}{5}\)
-
C
\(\dfrac{3}{5}\)
-
D
\(\dfrac{5}{3}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn
+ So sánh với điều kiện và kết luận.
TH1: \(\left| {2x} \right| = 2x\) khi \(2x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)
Phương trình đã cho trở thành \(2x = 3 - 3x \Leftrightarrow 5x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{5}\,\left( {TM} \right)\)
TH2: \(\left| {2x} \right| = - 2x\) khi \(2x < 0 \Leftrightarrow x < 0\)
Phương trình đã cho trở thành \( - 2x = 3 - 3x \Leftrightarrow x = 3\,\left( {KTM} \right)\)
Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình là \(x = 3\) .
Số nghiệm của phương trình \(\left| {1 - x} \right| - \left| {2x - 1} \right| = x - 2\) là
-
A
\(1\)
-
B
\(2\)
-
C
\(3\)
-
D
\(4\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
- Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
- Căn cứ vào bảng xét từng khoảng giải bài toán (đối chiếu với điều kiện tương ứng).
Ta có \(\left| {1 - x} \right| - \left| {2x - 1} \right| = x - 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Xét: \(\begin{array}{l} + )\;\;1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1\\ + )\;\;2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Ta có bảng xét dấu đa thức $1 - x$ và $2x - 1$ dưới đây
Từ bảng xét dấu ta có:
TH1: \(x < \dfrac{1}{2}\) khi đó \(\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x;\,\left| {1 - x} \right| = 1 - x\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành
\(1 - x - \left( {1 - 2x} \right) = x - 2 \Leftrightarrow 1 - x - 1 + 2x = x - 2 \Leftrightarrow x = x - 2\)
\( \Leftrightarrow 0 = - 2\) (vô lý)
TH2: \(\dfrac{1}{2} \le x \le 1\), khi đó \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1;\,\left| {1 - x} \right| = 1 - x\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành
\(1 - x - \left( {2x - 1} \right) = x - 2 \Leftrightarrow - 3x + 2 = x - 2 \Leftrightarrow - 4x = - 4 \Leftrightarrow x = 1\,\left( {TM} \right)\)
TH3: \(x > 1\) , khi đó \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1;\,\left| {1 - x} \right| = x - 1\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành
\(x - 1 - \left( {2x - 1} \right) = x - 2 \Leftrightarrow - x = x - 2 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {L} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 1\) .
Cho hai phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\,\left( 2 \right)\). Kết luận nào sau đây là đúng.
-
A
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nhiều nghiệm hơn phương trình \(\left( 2 \right)\)
-
B
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nghiệm hơn phương trình \(\left( 2 \right)\)
-
C
Cả hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt
-
D
Cả hai phương trình đều vô số nghiệm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Để giải phương trình \(\left( 1 \right)\) ta thực hiện các bước sau:
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn
+ So sánh với điều kiện và kết luận.
Để giải phương trình \(\left( 2 \right)\), ta chuyển vế biến đổi phương trình về dạng \(\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = B\left( x \right)\\A\left( x \right) = - B\left( x \right)\end{array} \right.\)
* Xét phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\)
TH1: \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1\) khi \(x \ge \dfrac{1}{2}\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(4\left( {2x - 1} \right) + 3 = 15 \)\(\Leftrightarrow 4\left( {2x - 1} \right) = 12 \)\(\Leftrightarrow 2x - 1 = 3 \)\(\Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\)
TH2: \(\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x\) khi \(x < \dfrac{1}{2}\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(4\left( {1 - 2x} \right) + 3 = 15 \)\(\Leftrightarrow 4\left( {1 - 2x} \right) = 12 \)\(\Leftrightarrow 1 - 2x = 3 \)\( \Leftrightarrow x = - 1\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \(x = - 1;\,x = 2\).
Xét phương trình
\(\;\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\\ \Leftrightarrow \left| {7x + 1} \right| = \left| {5x + 6} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x + 1 = 5x + 6\\7x + 1 = - (5x + 6)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 5\\12x = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\\x = - \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm là \(x = \dfrac{5}{2};x = - \dfrac{7}{{12}}.\)
Tập nghiệm của bất phương trình \(\left| {1 - x} \right| \ge 3\) là
-
A
\(x \ge 4,x \le - 2\)
-
B
\( - 2 \le x \le 4\)
-
C
\(x \le - 2,x \le 4\)
-
D
\(x \le 4,x \ge - 2\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Giải các bất phương trình bậc nhất một ẩn
+ Kết hợp với điều kiện và kết luận.
TH1: \(\left| {1 - x} \right| = 1 - x\) với \(1 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 1\)
Bất phương trình đã cho trở thành \(1 - x \ge 3 \Leftrightarrow x \le - 2\), kết hợp điều kiện \(x \le 1\) ta có \(x \le - 2\).
TH2: \(\left| {1 - x} \right| = x - 1\) với \(1 - x < 0 \Leftrightarrow x > 1\)
Bất phương trình đã cho trở thành \(x - 1 \ge 3 \Leftrightarrow x \ge 4\), kết hợp điều kiện \(x > 1\) ta có \(x \ge 4\).
Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \ge 4,x \le - 2\)
Số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn bất phương trình \(\left| {x - 6} \right| + 5 \ge x\) là
-
A
\(x = 0\)
-
B
\(x = 5\)
-
C
\(x = 6\)
-
D
\(x = 3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Giải các bất phương trình bậc nhất một ẩn
+ Kết hợp với điều kiện và kết luận.
TH1: \(\left| {x - 6} \right| = x - 6\) với \(x - 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 6\)
Bất phương trình đã cho trở thành \(x - 6 + 5 \ge x \Leftrightarrow - 1 \ge 0\) (vô lý)
TH2: \(\left| {x - 6} \right| = 6 - x\) với \(x - 6 < 0 \Leftrightarrow x < 6\).
Bất phương trình đã cho trở thành \(6 - x + 5 \ge x \)\(\Leftrightarrow - 2x \ge - 11 \)\(\Leftrightarrow x \le \dfrac{{11}}{2}\), kết hợp điều kiện \(x < 6\) ta có \(x \le \dfrac{{11}}{2}\).
Bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ x \in R|{x \le \dfrac{{11}}{2}} \right\}\).
Nghiệm nguyên dương lớn nhất thỏa mãn là \(x = 5\).
Nghiệm của phương trình \(\left| {x + \dfrac{1}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{2}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{3}{{209}}} \right| + ... + \left| {x + \dfrac{{208}}{{209}}} \right| = 209x\) là
-
A
\(x = 104\)
-
B
\(x = 105\)
-
C
\(x = 103\)
-
D
\(x = 106\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Với \(\left| {x + \dfrac{1}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{2}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{3}{{209}}} \right| + ... + \left| {x + \dfrac{{208}}{{209}}} \right| = 209x\)\( \Rightarrow x \ge 0\)
Bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta được phương trình: \(x + \dfrac{1}{{209}} + x + \dfrac{2}{{209}} + ..... + x + \dfrac{{208}}{{209}} = 209x.\)
Điều kiện \(209x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)
$\left| {x + \dfrac{1}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{2}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{3}{{209}}} \right| + ... + \left| {x + \dfrac{{208}}{{209}}} \right| = 209x\\ \Leftrightarrow x + \dfrac{1}{{209}} + x + \dfrac{2}{{209}} + x + \dfrac{3}{{209}} + ... + x + \dfrac{{100}}{{209}} = 209x\\ \Leftrightarrow 208x + \left( {\dfrac{1}{{209}} + \dfrac{2}{{209}} + \dfrac{3}{{209}} + ... + \dfrac{{208}}{{209}}} \right) = 209x\\ \Leftrightarrow 208x + \dfrac{{104.209}}{{209}} = 209x\\ \Leftrightarrow 208x + 104 = 209x\\ \Leftrightarrow x = 104\;\;(TM)$
Vậy \(x = 104.\)