Đề bài
Bài 1 (2 điểm): Tính giá trị của các biểu thức sau:
\(A = \left( {\sqrt {99} - \sqrt {18} - \sqrt {11} } \right)\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \) \(B = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \)
\(C = \frac{5}{{\sqrt 7 + \sqrt 2 }} + \frac{{7 - \sqrt 7 }}{{\sqrt 7 - 1}} + 6\sqrt {\frac{1}{2}} \)
Bài 2 (2 điểm): Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {2x - 1} = \sqrt {x + 1} \) b) \(\sqrt {4 - {x^2}} - x + 2 = 0\)
Bài 3 (2 điểm): Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 3}}\) và \(B = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{\sqrt a }}{{3 - \sqrt a }} - \frac{{3a + 3}}{{a - 9}}\,\,\,\left( {a \ge 0,\,\,a \ne 9} \right).\)
a) Tính giá trị của \(A\) khi \(a = 16.\) b) Rút gọn biểu thức \(P = \frac{A}{B}.\)
c) So sánh \(P\) với \(1.\)
Bài 4 (3,5 điểm):
1. (1 điểm) Một chiếc tivi hình chữ nhật màn hình phẳng \(75\,\,inch\) (đường chéo tivi dài \(75\,\,inch\)) có góc tạo với chiều rộng và đường chéo là \({53^0}08'.\) Hỏi chiếc tivi ấy có chiều dài, chiều rộng là bao nhiêu \(cm?\) Biết \(1\,inch = 2,54\,cm\) (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
2. (2,5 điểm) Cho \(\Delta EMF\) vuông tại \(M\) có đường cao \(MI.\) Vẽ \(IP \bot ME\,\,\,\left( {P \in ME} \right),\) \(IQ \bot MF\,\,\left( {Q \in MF} \right).\)
a) Cho biết \(ME = 4\,cm,\,\,\sin \angle MFE = \frac{3}{4}.\) Tính độ dài các đoạn \(EF,\,\,EI,\,\,MI.\)
b) Chứng minh \(MP.PE + MQ.QF = M{I^2}.\)
Bài 5 (0,5 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \sqrt {{x^2} + 6x + 9} + \sqrt {{x^2} - 2x + 1} .\)
Lời giải chi tiết
Bài 1
Phương pháp:
+) Sử dụng công thức: \(\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right.,\,\,B \ge 0.\)
+) \(\sqrt A .\sqrt B = \sqrt {AB} \) với \(A \ge 0,\,\,B \ge 0.\)
+) \(\sqrt {\frac{A}{B}} = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,\,\,B > 0.\)
+) Sử dụng công thức trục căn thức ở mẫu: \(\frac{1}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \frac{{\sqrt A + \sqrt B }}{{A - B}}\,\,\,\left( {A \ge 0,\,\,B \ge 0,\,\,A \ne B} \right)\) và \(\frac{1}{{A + \sqrt B }} = \frac{{A - \sqrt B }}{{{A^2} - B}}\) với \(B \ge 0,\,\,{A^2} \ne B.\)
+) Sử dụng công thức hằng đẳng thức ở mẫu: \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
Cách giải:
Tính giá trị của các biểu thức sau:
\(\begin{array}{l}A = \left( {\sqrt {99} - \sqrt {18} - \sqrt {11} } \right)\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \\\,\,\,\,\, = \left( {\sqrt {{3^2}.11} - \sqrt {{3^2}.2} - \sqrt {11} } \right)\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \\\,\,\,\,\, = \left( {3\sqrt {11} - 3\sqrt 2 - \sqrt {11} } \right)\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \\\,\,\,\,\, = \left( {2\sqrt {11} - 3\sqrt 2 } \right)\sqrt {11} + 3\sqrt {22} \\\,\,\,\,\, = 2.11 - 3\sqrt {22} + 3\sqrt {22} \\\,\,\,\,\, = 22.\end{array}\) \(\begin{array}{l}B = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + 2\sqrt 3 + 1} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 2\sqrt 3 + 1} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\, = \left| {\sqrt 3 + 1} \right| + \left| {\sqrt 3 - 1} \right|\\\,\,\,\,\, = \sqrt 3 + 1 + \sqrt 3 - 1\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 3 - 1 > 0} \right)\\\,\,\,\,\, = 2\sqrt 3 .\end{array}\)
\(\begin{array}{l}C = \frac{5}{{\sqrt 7 + \sqrt 2 }} + \frac{{7 - \sqrt 7 }}{{\sqrt 7 - 1}} + 6\sqrt {\frac{1}{2}} \\\,\,\,\, = \frac{{5\left( {\sqrt 7 - \sqrt 2 } \right)}}{{7 - 2}} + \frac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 7 - 1} \right)}}{{\sqrt 7 - 1}} + \frac{6}{{\sqrt 2 }}\\\,\,\,\, = \sqrt 7 - \sqrt 2 + \sqrt 7 + 3\sqrt 2 \\\,\,\,\, = 2\sqrt 7 + 2\sqrt 2 .\end{array}\)
Bài 2
Phương pháp:
Tìm điều kiện để phương trình xác định.
Giải phương trình: \(\sqrt {f\left( x \right)} = a\,\,\left( {a \ge 0} \right)\) \( \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = {a^2}.\)
\(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right..\)
Cách giải:
Giải các phương trình sau:
a) \(\sqrt {2x - 1} = \sqrt {x + 1} \,\,\,\,\left( * \right)\)
Điều kiện: \(x \ge \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 2x - 1 = x + 1 \Leftrightarrow x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 2.\)
b) \(\sqrt {4 - {x^2}} - x + 2 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\)
Điều kiện: \( - 2 \le x \le 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \sqrt {4 - {x^2}} + \left( {2 - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {2 - x} \right)\left( {x + 2} \right)} + \left( {2 - x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {2 - x} \left( {\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 - x} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {2 - x} = 0\\\sqrt {x + 2} + \sqrt {2 - x} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 - x = 0\\Vo\,\,\,nghiem\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2.\)
Bài 3
Phương pháp:
a) Thay giá trị \(a = 16\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức \(A\) để tính giá trị của biểu thức.
b) Biến đổi, quy đồng sau đó rút gọn biểu thức \(B\) rồi suy ra biểu thức \(P = \frac{A}{B}.\)
c) Xét hiệu \(P - 1\) rồi so sánh.
Cách giải:
Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 3}}\) và \(B = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{\sqrt a }}{{3 - \sqrt a }} - \frac{{3a + 3}}{{a - 9}}\,\,\,\left( {a \ge 0,\,\,a \ne 9} \right).\)
a) Tính giá trị của \(A\) khi \(a = 16.\)
Điều kiện: \(a \ge 0,\,\,a \ne 9.\)
Thay \(a = 16\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức \(A\) ta được: \(A = \frac{{\sqrt {16} + 1}}{{\sqrt {16} - 3}} = 5.\)
Vậy với \(a = 16\) thì \(A = 5.\)
b) Rút gọn biểu thức \(P = \frac{A}{B}.\)
Điều kiện: \(a \ge 0,\,\,a \ne 9.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}B = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} - \frac{{\sqrt a }}{{3 - \sqrt a }} - \frac{{3a + 3}}{{a - 9}}\,\\\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a - 3}} - \frac{{3a + 3}}{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{2\sqrt a \left( {\sqrt a - 3} \right) + \sqrt a \left( {\sqrt a + 3} \right) - 3a - 3}}{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{2a - 6\sqrt a + a + 3\sqrt a - 3a - 3}}{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}\\\,\,\,\, = \frac{{ - 3\sqrt a - 3}}{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}} = \frac{{ - 3\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}\end{array}\)
\[\begin{array}{l} \Rightarrow P = \frac{A}{B} = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 3}}:\frac{{ - 3\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 3}}.\frac{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}{{ - 3\left( {\sqrt a + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \frac{{\sqrt a + 3}}{3}.\end{array}\]
c) So sánh \(P\) với \(1.\)
Điều kiện: \(a \ge 0,\,\,a \ne 9.\)
Xét hiệu \(P - 1\) ta có:
\(P - 1 = - \frac{{\sqrt a + 3}}{3} - 1 = \frac{{ - \sqrt a - 3 - 3}}{3}\) \( = - \frac{{\sqrt a + 6}}{3}\)
Với mọi \(a \ge 0,\,\,a \ne 9\) ta có: \(\sqrt a + 6 > 0\) \( \Rightarrow \frac{{\sqrt a + 6}}{3} > 0\)
\( \Rightarrow - \frac{{\sqrt a + 6}}{3} < 0\) \( \Rightarrow P - 1 < 0\) \( \Rightarrow P < 1.\)
Vậy \(P < 1\) với mọi \(a \ge 0,\,\,a \ne 9.\)
Bài 4
Phương pháp:
1. Áp dụng các công thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để tính các cạnh của tivi sau đó đổi đơn vị từ inch sang cm.
2. a) Sử dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để tính độ dài các cạnh \(EF,\,\,EI,\,\,MI.\)
b) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức.
Cách giải:
1. (1 điểm)
Giả sử tivi có các đỉnh như hình vẽ.
Xét \(\Delta ACD\) vuông tại \(D\) ta có:
\(\begin{array}{l}AD = AC.\cos {53^0}08' = 75.\cos {53^0}08' \approx 45\,\,inch\\ \Rightarrow AD \approx 45.2,54 = 114,3\,\,cm.\\CD = AC.\sin {53^0}08' = 75.\sin {53^0}08' \approx 60\,\,inch\\ \Rightarrow CD \approx 60.2,54 = 152,4\,\,cm.\end{array}\)
Vậy chiều rộng của tivi là \(114,\,3\,cm\) và chiều dài của tivi là \(152,4\,cm.\)
2. (2,5 điểm)
Cho \(\Delta EMF\) vuông tại \(M\) có đường cao \(MI.\) Vẽ \(IP \bot ME\,\,\,\left( {P \in ME} \right),\) \( \Rightarrow \angle IPM = \angle MQI = {90^0}\) \(IQ \bot MF\,\,\left( {Q \in MF} \right).\)
a) Cho biết \(ME = 4\,cm,\,\,\sin \angle MFE = \frac{3}{4}.\) Tính độ dài các đoạn \(EF,\,\,EI,\,\,MI.\)
Xét \(\Delta MEF\) vuông tại\(M\) ta có: \(EF = \frac{{ME}}{{\sin \angle MFE}} = \frac{4}{{\frac{3}{4}}} = \frac{{16}}{3}\,\,cm.\)
\( \Rightarrow MF = \sqrt {E{F^2} - M{E^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{16}}{3}} \right)}^2} - {4^2}} \) \( = \sqrt {\frac{{112}}{9}} = \frac{{4\sqrt 7 }}{3}\,\,cm.\)
Xét \(\Delta MIF\) vuông tại \(I\) ta có: \(MI = MF.\sin \angle MFE = \frac{{4\sqrt 7 }}{3}.\frac{3}{4} = \sqrt 7 \,\,cm.\)
Áp dụng định lý Pitago trong \(\Delta MIE\) vuông tại \(I\) ta có:
\(EI = \sqrt {M{E^2} - M{I^2}} \) \( = \sqrt {{4^2} - {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}} = \sqrt 9 = 3\,\,cm.\)
Vậy \(EF = \frac{{16}}{3}\,\,cm,\,\,\,EI = 3\,\,cm,\,\,MI = \sqrt 7 \,\,cm.\)
b) Chứng minh \(MP.PE + MQ.QF = M{I^2}.\)
Theo đề bài ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IP \bot ME\, = \left\{ P \right\}\\IQ \bot MF\, = \left\{ Q \right\}\end{array} \right.\)
Xét tứ giác \(MPIQ\) ta có: \(\angle IPM = \angle PMQ = \angle MQI = {90^0}\)
\( \Rightarrow MPIQ\) là hình chữ nhật (dhnb).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MP = IQ\\PI = MQ\end{array} \right.\) (tính chất hình chữ nhật).
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta MEI\) vuông tại \(I\) có đường cao \(IP\) ta có: \(I{P^2} = MP.PE\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta MFI\) vuông tại \(I\) có đường cao \(IQ\) ta có: \(I{Q^2} = MQ.QF.\)
\( \Rightarrow M{P^2} = I{Q^2} = MQ.QF\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta MPI\) ta có:
\(M{I^2} = M{P^2} + P{I^2}\) \( = MP.PE + MQ.QF\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
Bài 5
Phương pháp:
Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối: \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|.\)
Dấu “=” xảy ra \(ab \ge 0.\)
Cách giải:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \sqrt {{x^2} + 6x + 9} + \sqrt {{x^2} - 2x + 1} .\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {{x^2} + 6x + 9} + \sqrt {{x^2} - 2x + 1} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\, = \left| {x + 3} \right| + \left| {x - 1} \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {x + 3} \right| + \left| {1 - x} \right|\\\,\,\,\, \ge \left| {x + 3 + 1 - x} \right| = 4.\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {1 - x} \right) \ge 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow - 3 \le x \le 1.\end{array}\)
Vậy \(Min\,\,A = 4\) khi \( - 3 \le x \le 1.\)
