Đề bài
Cho đường tròn (O ; 5 cm). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho \(MA \bot MB\) tại M.
a) Tính MA và MB.
b) Qua giao điểm I của đoạn MO và đường tròn (O), vẽ một tiếp tuyến với (O) cắt OA, OB tại C và D. Tính CD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh tứ giác OAMB là hình vuông.
b) Chứng minh tam giác OCD cân tại O, suy ra I là trung điểm của CD. Sử dụng các giá trị lượng giác trong tam giác vuông tính IC, từ đó tính CD.
Lời giải chi tiết
a) Ta có MA, MB là tiếp tuyến của \(\left( O \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM \bot OA \Rightarrow \angle OAM = {90^0}\\BM \bot OB \Rightarrow \angle OBM = {90^0}\end{array} \right.\)
Xét tứ giác \(OAMB\) có \(\angle OAM = \angle OBM = \angle AMB = {90^0}\)
\(\Rightarrow \) Tứ giác \(OAMB\) là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông). Lại có \(OA = OB = R \Rightarrow OAMB\) là hình vuông (Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau).
\( \Rightarrow MA = MB = OA = OB = 5\) (cm).
b) Do \(OAMB\) là hình vuông (cmt) nên \(OI\) là phân giác của \(\angle AOB\).
Xét \(\Delta OCD\) có \(OI\) là phân giác đồng thời là đường cao \( \Rightarrow \Delta OCD\) cân tại O.
\( \Rightarrow \) Đường cao OI đồng thời là đường trung tuyến \( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(CD \Rightarrow CD = 2IC\).
Ta có \(\angle COI = \dfrac{1}{2}\angle COD = \dfrac{1}{2}{.90^0} = {45^0}\)
Xét tam giác vuông OCI có: \(IC = OI.\tan {45^0} = 5\,\,\left( {cm} \right)\).
\( \Rightarrow CD = 2IC = 2.5 = 10\,\,\left( {cm} \right)\).
soanvan.me