Đề bài
Cho hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1}\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = {d_2}\\{a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = {d_3}\end{array} \right.\)
a) Giả sử \(({x_0};{y_0};{z_0})\) và \(({x_1};{y_1};{z_1})\) là hai nghiệm phân biệt của hệ phương trình trên.
Chứng minh rằng \(\left( {\frac{{{x_0} + {x_1}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_1}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_1}}}{2}} \right)\) cũng là một nghiệm của hệ.
b) Sử dụng kết quả của câu a) chứng minh rằng, nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.
Lời giải chi tiết
a) Xét phương trình thứ nhất: \({a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = {d_1}\)
Ta có \(({x_0};{y_0};{z_0})\) và \(({x_1};{y_1};{z_1})\) là hai nghiệm của hệ phương trình trên. Do đó:
\({a_1}{x_0} + {b_1}{y_0} + {c_1}{z_0} = {d_1}\) và \({a_1}{x_1} + {b_1}{y_1} + {c_1}{z_1} = {d_1}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a_1}{x_0} + {b_1}{y_0} + {c_1}{z_1} + {a_1}{x_1} + {b_1}{y_1} + {c_1}{z_1} = 2{d_1}\\ \Leftrightarrow {a_1}({x_0} + {x_1}) + {b_1}({y_0} + {y_1}) + {c_1}({z_0} + {z_1}) = 2{d_1}\\ \Leftrightarrow {a_1}.\frac{{{x_0} + {x_1}}}{2} + {b_1}.\frac{{{y_0} + {y_1}}}{2} + {c_1}.\frac{{{z_0} + {z_1}}}{2} = {d_1}\end{array}\)
Vậy bộ ba số \(\left( {\frac{{{x_0} + {x_1}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_1}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_1}}}{2}} \right)\) là nghiệm đúng của pt thứ nhất.
Chứng minh tương tư, ta suy ra bộ ba số này là nghiệm đúng của cả ba phương trình của hệ.
Vậy \(\left( {\frac{{{x_0} + {x_1}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_1}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_1}}}{2}} \right)\) cũng là một nghiệm của hệ.
b) Ta kí hiệu \(\left( {\frac{{{x_0} + {x_1}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_1}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_1}}}{2}} \right)\) bởi \(({x_2};{y_2};{z_2})\)
Ta có: \(({x_0};{y_0};{z_0})\) và \(({x_2};{y_2};{z_2})\) là hai nghiệm phân biệt của hệ.
\( \Rightarrow \)Áp dụng câu b, ta có: bộ số \(\left( {\frac{{{x_0} + {x_2}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_2}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_2}}}{2}} \right)\), kí hiệu\(({x_3};{y_3};{z_3})\)cũng là một nghiệm của hệ.
Tương tự ta có: \(({x_4};{y_4};{z_4}) = \left( {\frac{{{x_0} + {x_3}}}{2};\frac{{{y_0} + {y_3}}}{2};\frac{{{z_0} + {z_3}}}{2}} \right)\)cũng là một nghiệm của hệ.
Cứ như vậy ta tìm được vô số nghiệm \(({x_n};{y_n};{z_n})\)của hệ đã cho.
Vậy nếu hệ PT bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó sẽ có vô số nghiệm.