Đề bài
Chứng minh rằng nếu tam giác \(A'B'C'\) đồng dạng với tam giác \(ABC\) theo tỉ số \(k\) thì tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của chúng cũng bằng \(k\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng:
- Định lí: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đô đồng dạng.
- Tính chất hai tam giác đồng dạng, tia phân giác.
Lời giải chi tiết
Gọi \(AD, A'D'\) lần lượt là đường phân giác của hai tam giác \(ABC;\,A'B'C'\)
Ta có: \(∆A'B'C' ∽ ∆ABC\) theo tỉ số \(k= \dfrac{A'B'}{AB}\)
\( \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {B'A'C'}\) (1); \(\widehat{B}\) = \(\widehat{B'}\) (tính chất hai tam giác đồng dạng)
\(AD\) là phân giác góc \(\widehat {BAC}\) (gt)
\( \Rightarrow\) \(\widehat {BAD} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAC}\) (2) (tính chất tia phân giác)
\(A'D'\) là phân giác góc \(\widehat {B'A'C'}\) (gt)
\( \Rightarrow\) \(\widehat {B'A'D'} =\dfrac{1}{2}\widehat {B'A'C'}\) (3) (tính chất tia phân giác)
Từ \((1),(2)\) và \((3)\) suy ra: \(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{B'A'D'}\)
Xét \(∆A'B'D'\) và \(∆ABD\) có:
+) \(\widehat{B}\) = \(\widehat{B'}\)
+) \(\widehat{BAD}\) = \(\widehat{B'A'D'}\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow ∆A'B'D' ∽ ∆ABD\) (g-g)
\( \Rightarrow \dfrac{A'D'}{AD}=\dfrac{A'B'}{AB}=k\) ( cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)