Đề bài
Cho hàm số \(y = f(x) = 3x\).
Cho \(x\) hai giá trị bất kì \( x_{1},\ x_{2} \) sao cho \(x_{1} < x_{2} \) .
Hãy chứng minh \(f(x_{1} ) < f(x_{2} )\) rồi rút ra kết luận hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Định nghĩa hàm số đồng biến: Với \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\):
Nếu \( x_1 < x_2\) và \(f(x_1) < f(x_2)\) thì hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
+) Tính chất của bất đẳng thức: Với \(c > 0\) thì: \(a < b \Leftrightarrow a.c < b.c\)
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Ta có:
\(f\left( {{x_1}} \right) = 3{x_1}\)
\(f\left( {{x_2}} \right) = 3{x_2}\)
Theo giả thiết, ta có:
\(x_{1} < x_{2} \Leftrightarrow 3.x_{1} < 3.x_{2}\) ( nhân cả 2 vế của bất đẳng thức với \( 3 > 0 \) nên chiều bất đẳng thức không đổi)
\( \Leftrightarrow f(x_1) < f(x_2)\) (vì \(f\left( {{x_1}} \right) = 3{x_1};\)\(f\left( {{x_2}} \right) = 3{x_2})\)
Vậy với \(x_{1} < x_{2}\) ta được \(f(x_1) < f(x_2)\) nên hàm số \(y = 3x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Cách 2:
Vì \(x_{1} < x_{2} \) nên \(x_{1} - x_{2}<0\)
Từ đó: \(f(x_1)-f(x_2)=3x_1-3x_2=3(x_1-x_2)<0\)
Hay \(f(x_1)<f(x_2)\)
Vậy với \(x_{1} < x_{2}\) ta được \(f(x_1) < f(x_2)\) nên hàm số \(y = 3x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
soanvan.me