Đề bài
Một đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn (O; R). Lấy M bất kì trên d. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ đến đường tròn (O) (P, Q là các tiếp điểm). Kẻ \(OH ⊥ d\). Dây cung PQ cắt OH ở I, cắt OM ở K. Chứng minh rằng :
a. \(OH.OI = OM.OK = {R^2}\)
b. Khi M thay đổi trên đường thẳng d thì vị trí của điểm I luôn luôn cố định.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a.Sử dụng:
+Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
+Đường trung trực của đoạn thẳng
+Tam giác đồng dạng
+Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
b. Sử dụng kết quả ý a
Lời giải chi tiết
a. Ta có: MP và MQ là hai tiếp tuyến của (O) nên \(MP = MQ\), lại có \(OP = OQ (=R)\)
Do đó MO là đường trung trực của đoạn PQ nên \(MO ⊥ PQ\)
Lại có : ∆MQO vuông có QK là đường cao nên \(OM.OK = O{Q^2} = {R^2}\)
Mặt khác, hai tam giác vuông OKI và OHM đồng dạng (vì có \({\widehat O_1}\) chung)
\( \Rightarrow {{OK} \over {OH}} = {{OI} \over {OM}}\)
\(\Rightarrow OH.OI = OM.OK = {R^2}\,\left( 1 \right)\)
b. Từ (1) \( \Rightarrow OI = {{{R^2}} \over {OH}}\) (không đổi vì O cố định và d cố định), do đó I cố định.
soanvan.me