Đề bài
Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R), kẻ đường thẳng qua O cắt đường tròn ở hai điểm A và B.
a. Chứng minh rằng : \(MA.MB = M{O^2} - {R^2}\)
b. Kẻ cát tuyến thứ hai MCD với đường tròn. Chứng minh: \(MC.MD = MA.MB.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a. Tách MA=MO-MA, MB=MO+OB
b. Sử dụng:
+Đường kính vuông góc với dây cung thì vuông góc với dây ấy
+Kết quả câu a
Lời giải chi tiết
a. Có \(\eqalign{ MA.MB &= \left( {MO - OA} \right).\left( {MO + OB} \right) \cr & = \left( {MO - R} \right).\left( {MO + R} \right) \cr & = M{O^2} - {R^2}\,\left( 1 \right) \cr} \)
b. Kẻ \(OI ⊥ CD\), ta có:
\(IC = ID\) (định lí đường kính dây cung)
Ta có:
\(MC.MD = \left( {MI - IC} \right).\left( {MI + ID} \right) \)
\(\;= M{I^2} - I{C^2}\) (vì \(IC = ID\) theo chứng minh trên)
\(\eqalign{ & = \left( {M{O^2} - O{I^2}} \right) - \left( {O{C^2} - O{I^2}} \right) \cr & = M{O^2} - O{I^2} - O{C^2} + O{I^2} \cr&= M{O^2} - O{C^2} \cr & = M{O^2} - {R^2}\,\left( 2 \right) \cr} \)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow MA.MB = MC.MD \)\(\;= M{O^2} - {R^2}\)
soanvan.me