Cho số thực $a > 0$. Số nào sau đây là căn bậc hai số học của $a$ ?
-
A
$\sqrt a $
-
B
$ - \sqrt a $
-
C
$\sqrt {2a} $
-
D
$2\sqrt a $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Với số dương $a$, số $\sqrt a $ được gọi là căn bậc hai số học của $a$.
Số nào sau đây là căn bậc hai số học của số $a = 0,36.$
-
A
$ - 0,6$
-
B
$0,6$
-
C
$0,9$
-
D
$ - 0,18$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học. Với số dương $a$, số $\sqrt a $ được gọi là căn bậc hai số học của $a$.
Căn bậc hai số học của $a = 0,36$ là $\sqrt {0,36} = 0,6$.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A
$\sqrt {{A^2}} = A\,\,\,khi\,\,A < 0$
-
B
$\sqrt {{A^2}} = - A\,\,\,khi\,\,A \ge 0$
-
C
$\sqrt A < \sqrt B \,\,\, \Leftrightarrow \,\,0 \le A < B$
-
D
$A > B \Leftrightarrow \sqrt A < \sqrt B $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ và cách so sánh hai căn bậc hai.
- Với $A,B$ không âm ta có $A < B \Leftrightarrow \sqrt A < \sqrt B $ nên C đúng, D sai.
- Ta có hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$ nên A, B sai.
Biểu thức $\sqrt {x - 3} $ có nghĩa khi
-
A
$x < 3$
-
B
$x < 0$
-
C
$x \ge 0$
-
D
$x \ge 3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng điều kiện để $\sqrt A $ có nghĩa. Ta có $\sqrt A $ có nghĩa $ \Leftrightarrow A \ge 0$.
Ta có $\sqrt {x - 3} $ có nghĩa khi $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$.
So sánh hai số $2$ và $1 + \sqrt 2 $.
-
A
$2 \ge 1 + \sqrt 2 $
-
B
$2 = 1 + \sqrt 2 $
-
C
$2 < 1 + \sqrt 2 $
-
D
Không thể so sánh
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
So sánh hai căn bậc hai: Với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b $.
Tách $2 = 1 + 1 = 1 + \sqrt 1 $.
Vì $1 < 2 \Leftrightarrow \sqrt 1 < \sqrt 2 $
$ \Leftrightarrow 1 < \sqrt 2 \Leftrightarrow 1 + 1 < 1 + \sqrt 2 $
$\Leftrightarrow 2 < 1 + \sqrt 2 $.
Tìm các số $x$ không âm thỏa mãn $\sqrt x \ge 3$
-
A
$x \ge 9$
-
B
$x < 9$
-
C
$x > 9$
-
D
$x \le 9$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng cách so sánh hai căn bậc hai $\sqrt A > \sqrt B \Leftrightarrow A > B$ với $A,B$ không âm.
Vì $3 = \sqrt 9 $ nên $\sqrt x \ge 3$ được viết là $\sqrt x \ge \sqrt 9 $. Vì $x$ không âm nên $\sqrt x \ge \sqrt 9 $$ \Rightarrow x \ge 9$.
Tính giá trị biểu thức $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}}$
-
A
$3$
-
B
$1$
-
C
$2\sqrt 3 $
-
D
$2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$
- So sánh hai căn bậc hai $\sqrt A > \sqrt B \Leftrightarrow A > B$ với $A,B$ không âm để phá dấu giá trị tuyệt đối.
Ta có $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {2 - \sqrt 3 } \right|$ mà $2 = \sqrt 4 > \sqrt 3 $ (vì $4 > 3$) nên $2 - \sqrt 3 > 0$. Từ đó $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| = 2 - \sqrt 3 $.
Ta có $\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {1 - \sqrt 3 } \right|$ mà $1 = \sqrt 1 < \sqrt 3 $ (vì $1 < 3$) nên $1 - \sqrt 3 < 0$. Từ đó
$\sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {1 - \sqrt 3 } \right|$$ = \sqrt 3 - 1$.
Nên $\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} $$ = 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 - 1 = 1$.
Tính giá trị biểu thức $6\sqrt {{{\left( { - 2,5} \right)}^2}} - 8\sqrt {{{\left( { - 0,5} \right)}^2}} $.
-
A
$15$
-
B
$ - 11$
-
C
$ 11$
-
D
$ - 13$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$
- Phá dấu giá trị tuyệt đối $\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,A < 0\end{array} \right.$.
Ta có $\sqrt {{{\left( { - 2,5} \right)}^2}} = \left| { - 2,5} \right| = 2,5$ và $\sqrt {{{\left( { - 0,5} \right)}^2}} = \left| { - 0,5} \right| = 0,5$
Nên $6\sqrt {{{\left( { - 2,5} \right)}^2}} - 8\sqrt {{{\left( { - 0,5} \right)}^2}} $$ = 6.2,5 - 8.0,5 = 15 - 4 = 11.$
Tìm điều kiện xác định của $\sqrt {5 - 3x} $.
-
A
$x \le \dfrac{5}{3}$
-
B
$x \ge \dfrac{5}{3}$
-
C
$x \ge \dfrac{3}{5}$
-
D
$x \le \dfrac{3}{5}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng điều kiện để $\sqrt A $ có nghĩa. Ta có $\sqrt A $ có nghĩa $ \Leftrightarrow A \ge 0$.
Ta có $\sqrt {5 - 3x} $ có nghĩa khi $5 - 3x \ge 0 \Leftrightarrow 3x \le 5 \Leftrightarrow x \le \dfrac{5}{3}$.
Rút gọn biểu thức $A = \sqrt {36{a^2}} + 3a$ với $a > 0$.
-
A
$ - 9a$
-
B
$ - 3a$
-
C
$ 3a$
-
D
$ 9a$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$
- Phá dấu giá trị tuyệt đối $\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,A < 0\end{array} \right.$.
Ta có $\sqrt {36{a^2}} = \sqrt {{{\left( {6a} \right)}^2}} = \left| {6a} \right|$ mà $a > 0 \Rightarrow 6a > 0$ nên $\left| {6a} \right| = 6a$ hay $\sqrt {36{a^2}} = 6a$.
Từ đó $A = \sqrt {36{a^2}} + 3a = 6a + 3a = 9a$
Tìm $x$ để $\sqrt {\dfrac{{ - 2}}{{3x - 1}}} $ có nghĩa
-
A
$x < \dfrac{1}{3}$
-
B
$x \le \dfrac{1}{3}$
-
C
$x \ge \dfrac{1}{3}$
-
D
$x > \dfrac{1}{3}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng điều kiện để $\sqrt A $ có nghĩa. Ta có $\sqrt A $ có nghĩa $ \Leftrightarrow A \ge 0$.
Ta có $\sqrt {\dfrac{{ - 2}}{{3x - 1}}} $có nghĩa khi $\dfrac{{ - 2}}{{3x - 1}} \ge 0$ mà $ - 2 < 0$
$ \Rightarrow 3x - 1 < 0 $
$\Leftrightarrow x < \dfrac{1}{3}$.
Giá trị của biểu thức \(\dfrac{2}{5}\sqrt {25} - \dfrac{9}{2}\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}} + \sqrt {169} \) là
-
A
$12$
-
B
$13$
-
C
$14$
-
D
$15$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng hằng đẳng thức$\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$.
Ta có $\sqrt {25} = \sqrt {{5^2}} = \left| 5 \right| = 5$, $\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{4}{9}} \right)}^2}} = \left| {\dfrac{4}{9}} \right| = \dfrac{4}{9}$, $\sqrt {169} = \sqrt {{{13}^2}} = \left| {13} \right| = 13$
Nên \(\dfrac{2}{5}\sqrt {25} - \dfrac{9}{2}\sqrt {\dfrac{{16}}{{81}}} + \sqrt {169} \)$ = \dfrac{2}{5}.5 - \dfrac{9}{2}.\dfrac{4}{9} + 13 = 2 - 2 + 13 = 13$
Tìm giá trị của $x$ không âm biết $2\sqrt x - 30 = 0$.
-
A
$x = - 15$
-
B
$x = 225$
-
C
$x = 25$
-
D
$x = 15$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Đưa phương trình chứa căn về dạng \(\sqrt A = B\) và sử dụng cách giải \(\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.\).
Với $x$ không âm ta có
$2\sqrt x - 30 = 0 $
$\Leftrightarrow 2\sqrt x = 30 $
$\Leftrightarrow \sqrt x = 15$ mà $15 > 0$ nên $\sqrt x = 15 $
$\Leftrightarrow x = {15^2} $
$\Leftrightarrow x = 225$ (thỏa mãn).
Vậy $x = 225$.
Tính giá trị biểu thức $\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } - \sqrt {15 - 6\sqrt 6 } $.
-
A
$2\sqrt 6 $
-
B
$\sqrt 6 $
-
C
$6 $
-
D
$12$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
-Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$ và ${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$.
-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$
- Phá dấu giá trị tuyệt đối $\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,A < 0\end{array} \right.$.
Ta có $\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } = \sqrt {{3^2} + 2.3.\sqrt 6 + 6} = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 6 } \right)}^2}}$
$ = \left| {3 + \sqrt 6 } \right| = 3 + \sqrt 6 $
Và $\sqrt {15 - 6\sqrt 6 } = \sqrt {{3^2} - 2.3.\sqrt 6 + 6} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 6 } \right)}^2}} $
$= \left| {3 - \sqrt 6 } \right|= 3 - \sqrt 6 $
(vì $3 = \sqrt 9 > \sqrt 6 \Rightarrow 3 - \sqrt 6 > 0$)
Nên $\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } - \sqrt {15 - 6\sqrt 6 } $
$ = 3 + \sqrt 6 - \left( {3 - \sqrt 6 } \right) $
$= 3 + \sqrt 6 - 3 + \sqrt 6 = 2\sqrt 6 $
Rút gọn biểu thức
$\sqrt {{a^2} + 8a + 16} + \sqrt {{a^2} - 8a + 16} $ với $ - 4 \le a \le 4$ ta được
-
A
$2a$
-
B
$8$
-
C
$ - 8$
-
D
$ - 2a$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
-Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$ và ${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$.
-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$
- Phá dấu giá trị tuyệt đối $\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,A < 0\end{array} \right.$ (dựa vào điều kiện đề bài).
Ta có $\sqrt {{a^2} + 8a + 16} = \sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2}} = \left| {a + 4} \right|$.
Mà $ - 4 \le a \le 4 \Rightarrow a + 4 \ge 0$
$\Rightarrow \left| {a + 4} \right| = a + 4$
Hay $\sqrt {{a^2} + 8a + 16} = a + 4$ với $ - 4 \le a \le 4$
Ta có $\sqrt {{a^2} - 8a + 16} = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2}} $
$= \left| {a - 4} \right|$.
Mà $ - 4 \le a \le 4 \Rightarrow a - 4 \le 0 $
$\Rightarrow \left| {a - 4} \right| = 4 - a$
Hay $\sqrt {{a^2} - 8a + 16} = 4 - a$ với $ - 4 \le a \le 4$
Khi đó $\sqrt {{a^2} + 8a + 16} + \sqrt {{a^2} - 8a + 16} $
$= a + 4 + 4 - a = 8$.
Tìm $x$ thỏa mãn phương trình \(\sqrt {{x^2} - x - 6} = \sqrt {x - 3} \)
-
A
$x = 2$
-
B
$x = 4$
-
C
$x = 1$
-
D
$x = 3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
- Tìm điều kiện xác định
- Với điều kiện trên thì phương trình theo dạng \(\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow A = B\)
-So sánh điều kiện và kết luận nghiệm
ĐK: $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$
Với điều kiện trên, ta có \(\sqrt {{x^2} - x - 6} = \sqrt {x - 3} \)
$ \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = x - 3$
$\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 $
$\Leftrightarrow {x^2} - 3x + x - 3 = 0$
$ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right) = 0 $
$\Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\left( N \right)\\x = - 1\,(L)\end{array} \right.$.
Vậy phương trình có nghiệm $x = 3$.
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 2} = 3x - 1\) là
-
A
$x = 2$
-
B
$x = 5$
-
C
$x = 1$
-
D
$x = 3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Phương trình theo dạng \(\sqrt A = B\)
- Tìm điều kiện $B \ge 0$
- Với điều kiện trên thì phương trình theo dạng \(\sqrt A = B \Leftrightarrow A = {B^2}\)
- So sánh điều kiện và kết luận nghiệm.
ĐK: $3x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{3}$
Với điều kiện trên ta có: \(\sqrt {{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} + 2} = 3x - 1\)$ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2 = {\left( {3x - 1} \right)^2} $
$\Leftrightarrow 2{x^2} + 2 = 9{x^2} - 6x + 1 $
$\Leftrightarrow 7{x^2} - 6x - 1 = 0$
$ \Leftrightarrow 7{x^2} - 7x + x - 1 = 0 $
$\Leftrightarrow 7x\left( {x - 1} \right) + \left( {x - 1} \right) = 0$
$\Leftrightarrow \left( {7x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x + 1 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 1}}{7}\left( L \right)\\x = 1\,\left( N \right)\end{array} \right.$.
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 6x + 9} = 4 - x\) là
-
A
$x = 2$
-
B
$x = \dfrac{1}{4}$
-
C
$x = \dfrac{1}{2}$
-
D
$x = 3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức.
-Sử dụng cách giải phương trình \(\sqrt {{A^2}} = B \Leftrightarrow \left| A \right| = B.\)
- Với điều kiện $B \ge 0$, giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối $\left| A \right| = B \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A = - B\end{array} \right.$
\(\sqrt {{x^2} +6x + 9} = 4 - x\)
\(\Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} = 4 - x\)
$ \Leftrightarrow \left| {x + 3} \right| = 4 - x \, \,\, ĐK: x \le 4 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 4 - x\\x + 3 = x - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\, \, (TM)\\3 = - 4\,\left( L \right)\end{array} \right.$
Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{1}{2}$.
Rút gọn biểu thức $\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 6x + 9} }}{{x - 3}}$ với $x < 3$ ta được
-
A
$ - 1$
-
B
$ 1$
-
C
$ 2$
-
D
$ - 2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$
- Phá dấu giá trị tuyệt đối $\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,A < 0\end{array} \right.$ (dựa vào điều kiện đề bài).
Ta có $\sqrt {{x^2} - 6x + 9} = \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} = \left| {x - 3} \right| = 3 - x$ vì $x < 3$.
Nên $\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 6x + 9} }}{{x - 3}} = \dfrac{{3 - x}}{{x - 3}} = \dfrac{{ - \left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)}} = - 1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \sqrt {{m^2} + 2m + 1} + \sqrt {{m^2} - 8m + 16} \).
-
A
$2$
-
B
$9$
-
C
$5$
-
D
$10$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
- Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức.
- Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$
- Sử dụng bất đẳng thức \(\left| A \right| + \left| B \right| \ge \left| {A + B} \right|\) với mọi \(A,B.\) Dấu ‘=’ xảy ra \( \Leftrightarrow A = B\)
Ta có \(A = \sqrt {{m^2} + 2m + 1} + \sqrt {{m^2} - 8m + 16} \)\( = \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2}} = \left| {m + 1} \right| + \left| {m - 4} \right|\)
Ta có \(\left| {m + 1} \right| + \left| {m - 4} \right| = \left| {m + 1} \right| + \left| {4 - m} \right| \ge \left| {m + 1 + 4 - m} \right| = 5\)
Dấu “=” xảy ra khi \(m + 1 = 4 - m \Leftrightarrow 2m = 3 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\)
Suy ra GTNN của \(B\) là \(5 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\) .
Rút gọn \(P = \sqrt {6 + \sqrt 8 + \sqrt {12} + \sqrt {24} } \)
-
A
\(P = \sqrt 2 + \sqrt 3 \)
-
B
\(P = \sqrt 2 + \sqrt 3 + 1\)
-
C
\(P = \sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 4 \)
-
D
Kết quả khác
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}P = \sqrt {6 + \sqrt 8 + \sqrt {12} + \sqrt {24} } \\ = \sqrt {6 + \sqrt {4.2} + \sqrt {4.3} + \sqrt {4.6} } \\ = \sqrt {6+ 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 6 } \\ = \sqrt {2 + 3 + 1 + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 3 + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 } \\ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + 1} \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt 2 + \sqrt 3 + 1} \right|\\ = \sqrt 2 + \sqrt 3 + 1\,\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 2 + \sqrt 3 + 1 > 0} \right).\end{array}\)
Giá trị của biểu thức \(A = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } + \sqrt {5 - 2\sqrt 6 } + \sqrt {7 - 2\sqrt {12} } + ... + \sqrt {199 - 2\sqrt {9900} } \) là:
-
A
\(A = \pm 9\)
-
B
\(A = - 9\)
-
C
\(A = 9\)
-
D
Kết quả khác
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn về bình phương của một hiệu sau đó áp dụng công thức để đưa biểu thức ra ngoài dấu căn.
Áp dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
Ta có:
\(A = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } + \sqrt {5 - 2\sqrt 6 } + \sqrt {7 - 2\sqrt {12} } + ... + \sqrt {199 - 2\sqrt {9900} } \)
\( = \sqrt {2 - 2.\sqrt 2 + 1} + \sqrt {3 - 2.\sqrt 3 .\sqrt 2 + 2} + \sqrt {4 - 2.2.\sqrt 3 + 3} + ..... + \sqrt {100 - 2.\sqrt {100.99} + 99} \)
\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 4 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + .... + \sqrt {{{\left( {\sqrt {100} - \sqrt {99} } \right)}^2}} \)
\( = \left| {\sqrt 2 - 1} \right| + \left| {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt 4 - \sqrt 3 } \right| + ... + \left| {10 - \sqrt {99} } \right|\)
\( = \sqrt 2 - 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + \sqrt 4 - \sqrt 3 + ... + 10 - \sqrt {99} \) \(\left( {do\,\,\sqrt 2 - 1 > 0,.....,\,\,10 - \sqrt {99} > 0} \right)\)
\( = 10 - 1 = 9\)
Giá trị nhỏ nhất của \(A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} \) là:
-
A
\(3\)
-
B
\(\dfrac{{31}}{4}\)
-
C
\(\dfrac{{ - \sqrt {31} }}{4}\)
-
D
\(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Biến đổi: \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\)
Đặt \({x^2} + 3x = y\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ẩn \(y.\)
Điều kiện: \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10 \ge 0\)
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right].\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right] + 10} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + 10} \end{array}\)
Đặt \({x^2} + 3x = y\)
Khi đó, \(A\) trở thành:
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {{y^2} + 2y + 10} \\A = \sqrt {{{\left( {y + 1} \right)}^2} + 9} \ge \sqrt 9 \\ \Rightarrow A \ge 3\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(y = - 1\)
Suy ra:
\(\begin{array}{l}{x^2} + 3x = - 1\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}}\\{x = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy GTNN của A bằng 3 khi \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\)