Rút gọn biểu thức \(P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}\) ta được
-
A
\(P = \sqrt 3 - 1\)
-
B
\(P = \sqrt 3 + 1\)
-
C
\(P = 2\sqrt 3 \)
-
D
\(P = \sqrt 3 + 2\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Sử dụng công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \left( {A;B \ge 0} \right)\)
+ Sử dụng hẳng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) và \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ac} \right)\)
Ta có \(P = \dfrac{{2\sqrt 6 + \sqrt 3 + 4\sqrt 2 + 3}}{{\sqrt {11 + 2\left( {\sqrt 6 + \sqrt {12} + \sqrt {18} } \right)} }}\)
\( = \dfrac{{\left( {\sqrt 6 + 3 + 3\sqrt 2 } \right) + \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 + \sqrt 2 .\sqrt 6 + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}\)
\( = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right) + \left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)}}{{\sqrt {2 + 3 + 6 + 2\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 + \sqrt 2 .\sqrt 6 + \sqrt 3 .\sqrt 6 } \right)} }}\)
\( = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)}^2}} }}\)
\( = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 } \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 6 }}\)
\( = \sqrt 3 + 1.\)
Vậy \(P = \sqrt 3 + 1\) .
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt x - \sqrt {x - \sqrt x + \dfrac{1}{4}} \) khi \(x \ge 0\) ta được:
-
A
\(A = \dfrac{1}{2}\)
-
B
\(A = 2\sqrt x + \dfrac{1}{2}\)
-
C
\(A = \dfrac{1}{2}\) hoặc \(A = 2\sqrt x - \dfrac{1}{2}\)
-
D
\(A = 2\sqrt x - \dfrac{1}{2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Ta có \(A = \sqrt x - \sqrt {x - \sqrt x + \dfrac{1}{4}} = \sqrt x - \sqrt {{{\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2}} = \sqrt x - \left| {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right|\)
+ Nếu \(\sqrt x \ge \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{4}\) thì \(\left| {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right| = \sqrt x - \dfrac{1}{2} \Rightarrow A = \dfrac{1}{2}\).
+ Nếu \(\sqrt x < \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 0 \le x < \dfrac{1}{4}\) thì \(\left| {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right| = - \sqrt x + \dfrac{1}{2} \Rightarrow A = 2\sqrt x - \dfrac{1}{2}\)
Vậy \(A = \dfrac{1}{2}\) hoặc \(A = 2\sqrt x - \dfrac{1}{2}.\)
Cho biểu thức \(B = \sqrt {4x - 2\sqrt {4x - 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x - 1} } \) (với \(\dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{2}\)) . Chọn câu đúng.
-
A
\(B > 2\)
-
B
\(B > 1\)
-
C
\(B = 1\)
-
D
\(B < 2\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng hẳng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}
A\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\
- A\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\,
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(B = \sqrt {4x - 2\sqrt {4x - 1} } + \sqrt {4x + 2\sqrt {4x - 1} } = \sqrt {4x - 1 - 2\sqrt {4x - 1} + 1} + \sqrt {4x - 1 + 2\sqrt {4x - 1} + 1} \)
\(B = \sqrt {{{\left( {\sqrt {4x - 1} - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {4x - 1} + 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| + \left| {\sqrt {4x - 1} + 1} \right|\)
\( = \left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| + \sqrt {4x - 1} + 1\)
Với \(\dfrac{1}{4} \le x \le \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 1 \le 4x \le 2 \Leftrightarrow 0 \le 4x - 1 \le 1\)
Từ đó \(\left| {\sqrt {4x - 1} - 1} \right| = - \sqrt {4x - 1} + 1\) suy ra \(B = - \sqrt {4x - 1} + 1 + \sqrt {4x - 1} + 1 = 2\).
Do đó \(B > 1.\)
Cho \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10\sqrt {7 - 4\sqrt 3 } } } } \) và \(B = \sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}\) . Chọn câu đúng.
-
A
\(C = 2B\)
-
B
\(B = 2C\)
-
C
\(B = C\)
-
D
\(B = - C\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Sử dụng hẳng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) và \(\sqrt[3]{{{A^3}}} = A\)
+ Áp dụng hằng đẳng thức \({\left( {u + v} \right)^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right)\)
+ Tính giá trị \(C.\)
Vì \(7 - 4\sqrt 3 = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2} \Rightarrow \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } = 2 - \sqrt 3 \)
Suy ra \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {8 + 10(2 - \sqrt 3 )} } } = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {28 - 10\sqrt 3 } } } \)\( = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5\sqrt {{{\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} } } .\) Hay \(C = \sqrt {9 - \sqrt {5\sqrt 3 + 5(5 - \sqrt 3 )} } = \sqrt {9 - \sqrt {25} } = \sqrt {9 - 5} = \sqrt 4 = 2\)
+ Tính giá trị \(B.\)
Áp dụng hằng đẳng thức: \({\left( {u + v} \right)^3} = {u^3} + {v^3} + 3uv\left( {u + v} \right).\) Ta có:
\(B = \sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}\)
Suy ra \({B^3} = {\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)^3}\)\( = 1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9} + 1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9} + 3\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}.\sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right)\left( {\sqrt[3]{{1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}} + \sqrt[3]{{1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}}}} \right).\)
Hay \({B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{\left( {1 + \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)\left( {1 - \dfrac{{\sqrt {84} }}{9}} \right)}}.B \)\(\Leftrightarrow {B^3} = 2 + 3\sqrt[3]{{1 - \dfrac{{84}}{{81}}}}B \)\(\Leftrightarrow {B^3} = 2 - B \Leftrightarrow {B^3} + B - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {B^3} - {B^2} + {B^2} - B + 2B - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {B^2}\left( {B - 1} \right) + B\left( {B - 1} \right) + 2\left( {B - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {B - 1} \right)\left( {{B^2} + B + 2} \right) = 0\) mà \({B^2} + B + 2 = {\left( {B + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0\) suy ra \(B = 1\).
Do đó ta có \(C = 2;\,B = 1 \Rightarrow C = 2B.\)
Tính \(x + y\) biết \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2018} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2018} } \right) = 2018\).
-
A
\(x + y = 2018\)
-
B
\(x + y = 2\)
-
C
\(x + y = 1\)
-
D
\(x + y = 0\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = {a^2} - {b^2}\) và giả thiết để chỉ ra \(\sqrt {{x^2} + 2018} - x = \sqrt {{y^2} + 2018} + y\) và \(\sqrt {{y^2} + 2018} - y=\sqrt {{x^2} + 2018} + x\)
+ Từ đó tìm ra giá trị của \(x + y\)
Nhận xét: \(\left( {\sqrt {{x^2} + 2018} + x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 2018} - x} \right) = {x^2} + 2018 - {x^2} = 2018\) và \(\left( {\sqrt {{y^2} + 2018} + y} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 2018} - y} \right) = {y^2} + 2018 - {y^2} = 2018\)
Kết hợp với giả thiết ta suy ra \(\sqrt {{x^2} + 2018} - x = \sqrt {{y^2} + 2018} + y\) và \(\sqrt {{y^2} + 2018} - y=\sqrt {{x^2} + 2018} + x\) \( \Rightarrow \sqrt {{y^2} + 2018} + y + \sqrt {{x^2} + 2018} + x = \sqrt {{x^2} + 2018} - x + \sqrt {{y^2} + 2018} - y \Leftrightarrow 2\left( {x + y} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + y = 0.\)
Giải phương trình \(\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} = 2{x^2} + x - 6\) ta được nghiệm duy nhất \({x_0}.\) Chọn câu đúng.
-
A
\({x_0} < 1\)
-
B
\({x_0} > 2\)
-
C
\(0 < {x_0} < 1.\)
-
D
\(1 < {x_0} < 2.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Tìm điều kiện
+ Nhân liên hợp vế trái.
+ Đưa về phương trình tích để tìm \(x.\)
+ Kết hợp điều kiện rồi kết luận
Điều kiện \(x \ge \dfrac{2}{3}.\)
\(PT \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {\sqrt {3x - 2} - \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} } \right)}}{{\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} }} = \left( {2x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{2x - 3}}{{\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} }} = \left( {2x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} }} - \left( {x + 2} \right)} \right) = 0\)
+) \(\dfrac{1}{{\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} }} = x + 2\) \(\left( {{\rm{VN\,do }}\,\dfrac{1}{{\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 1} }} < 1 < x + 2} \right)\)
+) \(2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}\) (thỏa mãn).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \({x_0} = \dfrac{3}{2} \cdot \)
Từ đó ta có \(1 < {x_0} < 2.\)
Cho \(x + \sqrt 3 = 2.\) Tính giá trị của biểu thức: \(H = {x^5} - 3{x^4} - 3{x^3} + 6{x^2} - 20x + 2024\).
-
A
\(H = 2019\)
-
B
\(H = 2018\)
-
C
\(H = 2020\)
-
D
\(H = 2023\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Biến đổi giả thiết \(x + \sqrt 3 = 2\) để tìm hệ thức liên quan đến \(x.\)
+ Tách và nhóm các hạng tử thích hợp của \(H\) để xuất hiện các hệ thức vừa tìm được.
+ Từ đó tính giá trị biểu thức \(H.\)
Ta có \(x + \sqrt 3 = 2 \Leftrightarrow 2 - x = \sqrt 3 \Rightarrow {\left( {2 - x} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow 4 - 4x + {x^2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 1 = 0.\)
Suy ra: \(H = \left( {{x^5} - 4{x^4} + {x^3}} \right) + \left( {{x^4} - 4{x^3} + {x^2}} \right) + 5\left( {{x^2} - 4x + 1} \right) + 2019.\)
Do \({x^2} - 4x + 1 = 0\) nên \(H = 2019.\)
Cho \(x = \sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \). Chọn đáp án đúng về giá trị biểu thức: \(P = \dfrac{{{x^4} - 4{x^3} + {x^2} + 6x + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}}\)
-
A
\(P > 2\)
-
B
\(P > 1\)
-
C
\(P > 0\)
-
D
\(P > 3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\) và \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) để thu gọn \(x.\)
+ Từ đó biến đổi \(x\) để thu được hệ thức \({x^2} - 2x = 4\)
+ Biến đổi \(P\) để xuất hiện hạng tử \({x^2} - 2x\) từ đó tính giá trị biểu thức \(P.\)
Ta có: \({x^2} = {\left( {\sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } } \right)^2} = 8 + 2\sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } .\sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \) \( \Leftrightarrow {x^2} = 8 + 2\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } = 8 + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \)\(= 8 + 2\left( {\sqrt 5 - 1} \right) = 6 + 2\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)^2}\)\( \Rightarrow x = \sqrt 5 + 1\).
Từ đó ta suy ra \(x - 1 = \sqrt 5 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 4.\)
Ta biến đổi: \(P = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2} - 3\left( {{x^2} - 2x} \right) + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}}\)\( = \dfrac{{{4^2} - 3.4 + 12}}{{4 + 12}} = .1\)
Vậy \(P = 1 > 0\)
Phương trình \(2\left( {1 - x} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = {x^2} - 2x - 1\) có bao nhiêu nghiệm?
-
A
\(3\)
-
B
\(3\)
-
C
\(1\)
-
D
\(2\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Tìm điều kiện.
+ Đặt ẩn phụ và biến đổi để đưa về dạng phương trình tích.
Điều kiện \({x^2} + 2x - 1 \ge 0\). Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 2x - 1} \ge 0.\)
Phương trình trở thành \(\left( {{x^2} + 2x - 1} \right) + 2\left( {x - 1} \right)\sqrt {{x^2} + 2x - 1} - 4x = 0\)\(\Leftrightarrow {t^2} + 2\left( {x - 1} \right)t - 4x = 0\) \(\Leftrightarrow {t^2} + 2x.t - 2t - 4x = 0\)\( \Leftrightarrow t\left( {t + 2x} \right) - 2\left( {t + 2x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {t + 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\\t = - 2x\end{array} \right.\)
Với \(t = 2,\) ta có \(\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = 2 \)\(\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 5 = 0 \)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 6\)\(\Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt 6 \) (nhận)
Với \(t = - 2x,\) ta có \(\sqrt {{x^2} + 2x - 1} = - 2x \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\3{x^2} - 2x + 1 = 0\end{array} \right.\)\(\left\{ \begin{array}{l}
x \le 0\\
3\left( {x - \dfrac{1}{3}} \right)^2 + \dfrac{2}{3} = 0
\end{array} \right.\) vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm \(x = - 1 \pm \sqrt 6 \).
Tính giá trị biểu thức \(P = x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} + y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} + z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \) với \(x,y,z > 0\) và \(xy + yz + zx = 1\).
-
A
\(P = 4\)
-
B
\(P = 1\)
-
C
\(P = 2\)
-
D
\(P = 3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Sử dụng điều kiện \(xy + yz + zx = 1\) để phân tích \(\left( {1 + {x^2}} \right);\left( {1 + {y^2}} \right);\left( {1 + {z^2}} \right)\) thành nhân tử.
+ Thay vào biểu thức $P$ để rút gọn và tính toán.
Vì \(xy + yz + zx = 1\) nên \(1 + {x^2} = {x^2} + xy + yz + zx = (x + y)(x + z)\)
Tương tự đối với \(1 + {y^2} = \left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right);1 + {z^2} = \left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\)
Từ đó ta có:
+) \(x\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {y^2}} \right)\left( {1 + {z^2}} \right)}}{{1 + {x^2}}}} = x\sqrt {\dfrac{{\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} = x\left( {y + z} \right)\)
+) \(y\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {z^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}}{{1 + {y^2}}}} \)\( = y\sqrt {\dfrac{{\left( {z + y} \right)\left( {z + x} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}} = y\left( {x + z} \right)\)
+) \(z\sqrt {\dfrac{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}{{1 + {z^2}}}} \)\( = z\sqrt {\dfrac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + x} \right)\left( {y + z} \right)}}{{\left( {z + x} \right)\left( {y + z} \right)}}} = z\left( {x + y} \right)\)
Suy ra \(P = x\left( {y + z} \right) + y\left( {z + x} \right) + z\left( {x + y} \right) = 2\left( {xy + yz + zx} \right) = 2\). (vì \(xy + yz + zx = 1\)).
Cho biểu thức: \(Q = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}} \right):\dfrac{y}{{x - \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\) với \(x > y > 0\).
Rút gọn \(Q.\)
-
A
\(Q = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt {x + y} }}\)
-
B
\(Q = \dfrac{{\sqrt {x + y} }}{{\sqrt {x - y} }}\)
-
C
\(Q = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}\)
-
D
\(Q = \dfrac{{\sqrt y }}{{\sqrt {x + y} }}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Quy đồng mẫu, thực hiện rút gọn các biểu thức chú ý thứ tự thực hiện phép tính nhân chia trước cộng trừ sau.
Ta có \(Q = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \left( {1 + \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}} \right):\dfrac{y}{{x - \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \dfrac{{x + \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} \cdot \dfrac{{x - \sqrt {{x^2} - {y^2}} }}{y}\\ = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \dfrac{{{x^2} - {x^2} + {y^2}}}{{y\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\\ = \dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }} - \dfrac{y}{{\sqrt {{x^2} - {y^2}} }}\\ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {x - y} } \right)}^2}}}{{\sqrt {x + y} .\sqrt {x - y} }}\\ = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}\end{array}\)
Vậy \(Q = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}\) với \(x > y > 0\)
Khi \(x = 3y\) thì giá trị của \(Q\) bằng
-
A
\(Q = 2\)
-
B
\(Q = \sqrt 2 \)
-
C
\(Q = \dfrac{1}{2}\)
-
D
\(Q = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Sử dụng kết quả rút gọn câu trước \(Q = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}\) với \(x > y > 0\)
+ Thay \(x = 3y\) để tính giá trị của \(Q.\)
Theo câu trước ta có \(Q = \dfrac{{\sqrt {x - y} }}{{\sqrt {x + y} }}\) với \(x > y > 0\)
Thay \(x = 3y\) (thỏa mãn ĐK) vào biểu thức Q, ta được:
\(Q = \dfrac{{\sqrt {3y - y} }}{{\sqrt {3y + y} }} = \dfrac{{\sqrt {2y} }}{{\sqrt {4y} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Vậy \(Q = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) khi \(x = 3y\).
Rút gọn biểu thức: \(C = \left( {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} - 1} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} - \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} + 1} \right)\) ta được:
-
A
\(C = 2\sqrt {ab} \)
-
B
\(C = - 2\sqrt {ab} \)
-
C
\(C = - \sqrt {ab} \)
-
D
\(C = \sqrt {ab} \)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Tìm điều kiện.
+ Dùng các phép biến đổi căn thức để qui đồng từng ngoặc và rút gọn.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\b \ge 0\\ab \ne 1\end{array} \right.\)
Ta có: $\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} + \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} - 1 = \dfrac{{a\sqrt b - \sqrt a + \sqrt {ab} - 1 + ab + a\sqrt b + \sqrt {ab} + \sqrt a - ab + 1}}{{ab - 1}}$
$ = \dfrac{{2a\sqrt b + 2\sqrt {ab} }}{{ab - 1}} = \dfrac{{2\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{ab - 1}}.$
Và $\dfrac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} - \dfrac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} - 1}} + 1 = \dfrac{{a\sqrt b - \sqrt a + \sqrt {ab} - 1 - ab - a\sqrt b - \sqrt {ab} - \sqrt a + ab - 1}}{{ab - 1}}$
$ = \dfrac{{ - 2\sqrt a - 2}}{{ab - 1}} = \dfrac{{ - 2\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{ab - 1}}$
Nên $C = \dfrac{{2\sqrt {ab} \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{ab - 1}}:\dfrac{{ - 2\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{ab - 1}} = - \sqrt {ab} .$
Phương trình $\sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5$ có bao nhiêu nghiệm?
-
A
\(2\)
-
B
\(1\)
-
C
\(0\)
-
D
\(3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Tìm điều kiện
+ Thêm bớt các hệ số tự do vào vế trái để nhóm thành các nhóm thích hợp. Từ đó thực hiện phép nhân liên hợp với mỗi nhóm để đưa về dạng phương trình tích.
+ Giải các phương trình thu được bằng phương pháp đánh giá.
+ So sánh điều kiện và kết luận nghiệm.
Điều kiện: $x \ge \dfrac{7}{3}.$
Nhận xét: Với $x \ge \dfrac{7}{3}$ thì \({x^2} - 5 > 0.\)
Ta có: $\sqrt {x + 1} + \sqrt {6x - 14} = {x^2} - 5 \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} - 2 + \sqrt {6x - 14} - 2 = {x^2} - 9.$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{{6\left( {x - 3} \right)}}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0.$
$ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left[ {\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} \right)} \right] = 0.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} - \left( {x + 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\left( {TM} \right)\\\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} = \left( {x + 3} \right){\rm{ }}\left( * \right)\end{array} \right..$
Ta có: \(\dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} < \dfrac{1}{2};\,\dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{6}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} + 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt {6x - 14} + 2}} < \dfrac{7}{2}\)
Và \(x + 3 \ge \dfrac{7}{3} + 3 \Leftrightarrow x + 3 \ge \dfrac{{16}}{3}\,\,\left( {{\rm{do}}\,x \ge \dfrac{7}{3}} \right)\)
Từ đó: $\left\{ \begin{array}{l}VT\left( * \right) < \dfrac{7}{2}\\VP\left( * \right) \ge \dfrac{{16}}{3}\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {\forall x \ge \dfrac{7}{3}} \right) \Rightarrow {\rm{ }}PT\,\left( * \right)$ vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 3.\)
Cho \(A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } } \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 16} }}\) với \(x > 4\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A.\)
-
A
\(A = 8\)
-
B
\(A = 7\)
-
C
\(A = 6\)
-
D
\(A = 0\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{X^2}} = \left| X \right|\) để rút gọn \(A.\)
+ Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của \(A.\)
Cho \(a,b \ge 0\) ta có \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b.\)
+ Điều kiện để biểu thức \(A\) xác định là \(x > 4\).
+ Nhận thấy:
\(\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } = \sqrt {\left( {x - 4} \right) + 2.2\sqrt {x - 4} + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} + 2} \right)}^2}} \)\( = \left| {\sqrt {x - 4} + 2} \right| = \sqrt {x - 4} + 2.\)
\(\sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } = \sqrt {\left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4} + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)}^2}} \)\( = \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|\)
\(\sqrt {{x^2} - 8x + 16} = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} = \left| {x - 4} \right|\)
Từ đó:
\(A = \dfrac{{x\left( {\left| {\sqrt {x - 4} + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|} \right)}}{{\left| {x - 4} \right|}} = \)\(\dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|} \right)}}{{x - 4}}\)
+ Nếu \(4 < x < 8\) thì \(\sqrt {x - 4} - 2 < 0\) nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + 2 - \sqrt {x - 4} } \right)}}{{x - 4}} = \dfrac{{4x}}{{x - 4}} = 4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}$
Do \(4 < x < 8\) nên \(0 < x - 4 < 4 \Rightarrow A > 8\).
+ Nếu $x \ge 8$ thì \(\sqrt {x - 4} - 2 \ge 0\) nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + \sqrt {x - 4} - 2} \right)}}{{x - 4}} = \dfrac{{2x\sqrt {x - 4} }}{{x - 4}} = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }} = 2\sqrt {x - 4} + \dfrac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \ge 2\sqrt {16} = 8$ (Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2\sqrt {x - 4} = \dfrac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \Leftrightarrow x - 4 = 4 \Leftrightarrow x = 8$.
Vậy GTNN của $A$ bằng \(8\) khi \(x = 8\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.
-
A
\(2\)
-
B
\(6\)
-
C
\(5\)
-
D
\(4\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Sử dụng kết quả rút gọn của câu trước: \(A = \left\{ \begin{array}{l}4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}\,\,\,khi\,\,\,4 < x < 8\\\dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }}\,\,\,\,khi\,\,x \ge 8\end{array} \right.\,\,\)
+ Lập luận để \(\dfrac{n}{B} \in Z\) thì \(B \in U\left( n \right)\).
Theo câu trước ta có: \(A = \left\{ \begin{array}{l}4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}\,\,\,khi\,\,\,4 < x < 8\\\dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }}\,\,\,\,khi\,\,x \ge 8\end{array} \right.\,\,\)
+ Xét \(4 < x < 8\) thì $A = 4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}$, ta thấy \(A \in Z\) khi và chỉ khi $\dfrac{{16}}{{x - 4}} \in Z \Leftrightarrow x - 4$ là ước số nguyên dương của \(16\). Hay $x - 4 \in \left\{ {1;2;4;8;16} \right\} \Leftrightarrow x = \left\{ {5;6;8;12;20} \right\}$ đối chiếu điều kiện suy ra: ${\rm{x}} = 5$ hoặc \(x = 6\).
+ Xét $x \ge 8$ ta có: $A = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }}$, đặt \(\sqrt {x - 4} = m \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {m^2} + 4\\m \ge 2\end{array} \right.\) (ở đây $ m\in Z$ vì $x$ nguyên và $A$ nguyên), khi đó ta có: \(A = \dfrac{{2\left( {{m^2} + 4} \right)}}{m} = 2m + \dfrac{8}{m}\) suy ra: \(m \in \left\{ {2;4;8} \right\} \Leftrightarrow x \in \left\{ {8;20;68} \right\}\).
Tóm lại: Để $A$ nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ {5;6;8;20;68} \right\}\).
Vậy có \(5\) giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Chọn câu đúng.
-
A
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} = 1\)
-
B
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} < 3\)
-
C
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} < 4\)
-
D
\(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Đặt \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}\) và \(B = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .. + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
+ So sánh A và B
+ Tính \(A + B\) bằng cách biến đổi và sử dụng \(\dfrac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \sqrt {k + 1} - \sqrt k \)
+ Từ đó suy ra đáp án.
Xét \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}\), \(B = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .. + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
Vì \(\sqrt 1 + \sqrt 2 < \sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt 3 + \sqrt 4 < ... < \sqrt {80} + \sqrt {81} \)
Nên \(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} > \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }};...;\)
\(\dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\) từ đó suy ra \(A > B\).
Lại có: \(A + B = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
Mặt khác ta có: \(\dfrac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \dfrac{{\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}}{{\left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}} \)\(= \sqrt {k + 1} - \sqrt k \) \(\left( {k \ge 0} \right)\)
Suy ra: $A + B = \left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {81} - \sqrt {80} } \right) = \sqrt {81} - 1 = 8.$
Do $A > B$ suy ra \(2A > A + B = 8 \Leftrightarrow A > 4\).
Với \(x;\,\,y;\,\,z\) là các số thực thỏa mãn \(x + y + z + xy + yz + zx = 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P = \sqrt {4 + {x^4}} + \sqrt {4 + {y^4}} + \sqrt {4 + {z^4}} \).
-
A
\({{\rm P}_{\min }} = \sqrt 5 \)
-
B
\({{\rm P}_{\min }} = 3\sqrt 5 \)
-
C
\({{\rm P}_{\min }} = 5\sqrt 3 \)
-
D
\({{\rm P}_{\min }} = 3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và mở rộng của bất đẳng thức
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số \(x;\,\,y;\,\,z;\,\,t\): \(\sqrt {\left({{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \ge xz + yt.\)
+ Phát triển tử bất đẳng thức trên để được bất đẳng thức :
$\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{z^2} + {t^2}} \ge \sqrt {{{\left( {x + z} \right)}^2} + {{\left( {y + t} \right)}^2}}$ (*)
Từ đó sử dụng để làm bài.
Trước hết ta chứng minh với $x;y;z;t$ bất kì thì
\(\sqrt {{x^2} + {y^2}} + \sqrt {{z^2} + {t^2}} \ge \sqrt {{{\left( {x + z} \right)}^2} + {{\left( {y + t} \right)}^2}} \) (*).
Thật vậy, bất đẳng thức (*) tương đương với
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + {t^2} + 2\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \)\( \ge {x^2} + 2xz + {z^2} + {y^2} + 2yt + {t^2}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \ge xz + yt\)
Đúng vì theo bất đẳng thức Bunhia cốp xki
\(\sqrt {\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{z^2} + {t^2}} \right)} \ge \sqrt {{{\left( {xz + yt} \right)}^2}} \)\(= \left| {\left( {xz + yt} \right)} \right| \ge \left( {xz + yt} \right)\).
Áp dụng (*) ta có
\(P = \sqrt {4 + {x^4}} + \sqrt {4 + {y^4}} + \sqrt {4 + {z^4}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)}^2}} + \sqrt {4 + {z^4}} \)\( \ge \sqrt {{{\left( {2 + 2 + 2} \right)}^2} + {{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}} \)
\( = \sqrt {36 + {{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}} \).
Ta có \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} + {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\)
\( \Rightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 3 \ge 2x + 2y + 2z + 2xy + 2yz + 2zx\)
\( \Rightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 3 \ge 2.6 = 12 \)\(\Rightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 3.\)
Từ đó \(P \ge \sqrt {36 + 9} = 3\sqrt 5 \).
Dấu “=” xảy ra \(x = y = z = 1\).
Vậy \({{\rm P}_{\min }} = 3\sqrt 5 .\)
Cho biểu thức: \(A = \left( {\dfrac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{x + \sqrt x - 2}} + \dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - x}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{1}{{1 - \sqrt x }}} \right)\) (với \(x > 0;\,\,x \ne 1\)).
Rút gọn biểu thức $A$.
-
A
\(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\)
-
B
\(A = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\)
-
C
\(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)
-
D
\(A = \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng từng ngoặc để tính toán và rút gọn.
Ta có: \(\dfrac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{x + \sqrt x - 2}} + \dfrac{{x + \sqrt x }}{{1 - x}} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\)
\( = \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} = \dfrac{2}{{\sqrt x - 1}}\)
Và \(\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{1}{{1 - \sqrt x }} = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\)
Từ đó: \(A = \dfrac{2}{{\sqrt x - 1}}:\dfrac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \dfrac{2}{{\sqrt x - 1}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2\sqrt x }}\)\( = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)
Vậy \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) với điều kiện \(x > 0,\,\,x \ne 1\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ để $A \ge \dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{{\sqrt {2018} }}.$
-
A
\(2020\)
-
B
\(2019\)
-
C
\(2018\)
-
D
\(2017\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Sử dụng kết quả câu trước \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\), với điều kiện \(x > 0,\,\,x \ne 1\).
+ Cho $A \ge \dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{{\sqrt {2018} }}$ sau đó biến đổi để tìm các giá trị của \(x.\)
Theo câu trước ta có: \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\), với điều kiện \(x > 0,\,\,x \ne 1\).
Để $A \ge \dfrac{{1 + \sqrt {2018} }}{{\sqrt {2018} }}$ $ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge 1 + \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}$$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt x }} \ge \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}$
$ \Leftrightarrow \sqrt x \le \sqrt {2018} \Rightarrow 0 < x \le 2018$
Kết hợp điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 1\) và \(x\) nguyên nên \(x \in \left\{ {2;3;4;...;2018} \right\}\). Suy ra có $2017$ giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bài toán.
Giả sử \(a;\,\,b;\,\,c\) là các số thực dương. Chọn câu đúng.
-
A
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
-
B
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\left( {\sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} } \right)$
-
C
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \le \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $
-
D
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Bài toán kết hợp cả hai bất đẳng thức quen thuộc là Cosi và Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức.
Nhắc lại kiến thức và phương pháp:
+ Bất đẳng thức Cosi cho hai số thực dương: $a + b \ge 2\sqrt {ab} $.
+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số $(a;\,\,b);\,\,(c;\,\,d)$ ta có ${\left( {ac + bd} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)$.
Theo bất đẳng thức Cô si:
$\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {\sqrt {1 + {a^2}} \sqrt {1 + {b^2}} } = 2\sqrt[4]{(1 + {a^2}) (1 + {b^2})}.$
Theo bất đẳng thức Bunhia cốpxki:
\(\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right) = \left( {1 + {a^2}} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge {(a + b)^2}\)
$ \Rightarrow \sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} \ge 2\sqrt {a + b} $
Tương tự: $\sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge 2\sqrt {b + c} $$ \Rightarrow \sqrt {1 + {c^2}} + \sqrt {1 + {a^2}} \ge 2\sqrt {c + a} $
Cộng cả ba bất đẳng thức trên rồi chia cho 2 ta có:
\(\sqrt {1 + {a^2}} + \sqrt {1 + {b^2}} + \sqrt {1 + {c^2}} \ge \sqrt {a + b} + \sqrt {b + c} + \sqrt {c + a} \)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = 1.\)
Cho ba số thực dương: \(a,b,c \le 1\) thỏa mãn: \(a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {c^2}} + c\sqrt {1 - {a^2}} = \dfrac{3}{2}\). Chọn câu đúng.
-
A
\({a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{3}{2}\)
-
B
\({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\)
-
C
\({a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{1}{2}\)
-
D
\({a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{2}{3}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.
Cho \(a,b \ge 0\) ta có \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) .
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b.\)
Vì \(0 < a,b,c \le 1\) thì \(1 - {a^2} \ge 0;\,1 - {b^2} \ge 0;\,1 - {c^2} \ge 0.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:
\(a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {c^2}} + c\sqrt {1 - {a^2}} \le \dfrac{{{a^2} + 1 - {b^2}}}{2} + \dfrac{{{b^2} + 1 - {c^2}}}{2} + \dfrac{{{c^2} + 1 - {a^2}}}{2} = \dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {1 - {b^2}} \\b = \sqrt {1 - {c^2}} \\c = \sqrt {1 - {a^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1 - {b^2}\\{b^2} = 1 - {c^2}\\{c^2} = 1 - {a^2}\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{3}{2}\)
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \sqrt {{x^2} - 4} } = 8 - {x^2}\) là:
-
A
\(0\)
-
B
\(5\)
-
C
\(\dfrac{5}{2}\)
-
D
\( - \dfrac{5}{2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Tìm điều kiện
+ Đặt \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) sau đó đưa về phương trình tích ẩn \(y\) .
+ Tìm \(y\) sau đó thay trở lại phép đặt để tìm ra \(x.\)
Ta có \(\sqrt {\dfrac{{{x^2}}}{4} + \sqrt {{x^2} - 4} } = 8 - {x^2} \)\(\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 4\sqrt {{x^2} - 4} } = 16 - 2{x^2}\) (1)
ĐK: \( \left| x \right| \ge 2 \)
Đặt \(y = \sqrt {{x^2} - 4} {\rm{ }}\, (\, y \ge 0) \Rightarrow {x^2} = {y^2} + 4\)
Phương trình (1) trở thành:
\(\begin{array}{l}{\rm{ }}\sqrt {{y^2} + 4 + 4y} = 16 - 2\left( {{y^2} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {y + 2} \right)}^2}} = 8 - 2{y^2}\\ \Leftrightarrow \left| {y + 2} \right| = 8 - 2{y^2}\\ \Leftrightarrow y + 2 = 8 - 2{y^2}\,{\rm{ }}({\rm{\,do\, }}y \ge 0 \Rightarrow y + 2 > 0)\\ \Leftrightarrow 2{y^2} + y - 6 = 0\\ \Leftrightarrow (y + 2)(2y - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 2y - 3 = 0{\rm{ }}\,({\rm{\,do }}\,y + 2 > 0)\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{2}\end{array}\)
Với \(y = \dfrac{3}{2}\), ta có:
\({x^2} = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{25}}{4} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{5}{2}\)
Kết hợp với điều kiện \( \Rightarrow x = \pm \dfrac{5}{2}\)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \(x = \pm \dfrac{5}{2}\).
Tổng các nghiệm của phương trình là \(\dfrac{5}{2} + \dfrac{{ - 5}}{2} = 0.\)
Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)$
Tìm \(x\) để \(P = - 1.\)
-
A
\(x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
-
B
\(x = \dfrac{3}{4}\)
-
C
\(x = \dfrac{9}{{16}}\)
-
D
\(x = \dfrac{9}{{25}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Tìm điều kiện
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức
+ Từ đó rút gọn biểu thức
+ Cho \(P = - 1\) để tìm \(x.\)
Điều kiện: \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{4 - x}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 2\sqrt x }} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \dfrac{{8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \dfrac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right) + 8x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}:\dfrac{{\sqrt x - 1 - 2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{{8\sqrt x + 4x}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{3 - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{4\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\dfrac{{\sqrt x \left( {2 - \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x - 3}}\\ = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\end{array}\)
Với điều kiện: \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\).
Ta có: \(P = - 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}} = - 1 \Leftrightarrow 4x + \sqrt x - 3 = 0 \Leftrightarrow 4x + 4\sqrt x - 3\sqrt x - 3 = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) - 3\left( {\sqrt x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {4\sqrt x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = - 1\left( {ktm} \right)\\\sqrt x = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{{16}}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{9}{{16}}\) thì \(P = - 1.\)
Tìm $m$ để với mọi giá trị \(x > 9\) ta có: $m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1$
-
A
\(m > \dfrac{5}{{18}}\)
-
B
\(m < \dfrac{5}{{18}}\)
-
C
\(m < \dfrac{1}{4}\)
-
D
\(m > \dfrac{1}{4}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng kết quả câu trước \(P = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\)
Thay \(P\) vào bất phương trình $m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1$ từ đó tìm \(m.\)
Ta có \(P = \dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\)
Khi đó
\(\forall x > 9:m\left( {\sqrt x - 3} \right)P > x + 1 \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x - 3} \right).\dfrac{{4x}}{{\sqrt x - 3}} > x + 1 \Leftrightarrow m.4x > x + 1 \Leftrightarrow m > \dfrac{{x + 1}}{{4x}}\)
Ta thấy \(\dfrac{{x + 1}}{{4x}} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{4x}} < \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{4.9}}\) với mọi \(x > 9\) hay \(\dfrac{{x + 1}}{{4x}} < \dfrac{5}{{18}}\)
Vậy \(m > \dfrac{{10}}{{36}} = \dfrac{5}{{18}}\) với mọi \(x > 9\) .