Rút gọn biểu thức \(A = 3\sqrt 8 - \sqrt {18} + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}} + \sqrt {50} \) ta được kết quả là
-
A
\(\dfrac{{21}}{2}\sqrt 2 \)
-
B
\(21\sqrt 2 \)
-
C
\(\dfrac{{11}}{2}\sqrt 2 \)
-
D
\(11\sqrt 2 \)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng công thức khai phương một tích, khai phương một thương, trục căn thức ở mẫu
+ Khai phương một tích: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B {\rm{ }}(A \ge 0,B \ge 0)\)
+ Khai phương một thương: \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}{\rm{ }}(A \ge 0,B > 0)\)
+ Với \(A.B \ge 0\) và \(B \ne 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}\)
\(A = 3\sqrt 8 - \sqrt {18} + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}} + \sqrt {50} \)
\( = 3\sqrt {4.2} - \sqrt {9.2} + 5 \dfrac{\sqrt 2}{2} + \sqrt {25.2} \)
\( = 6\sqrt 2 - 3\sqrt 2 + \dfrac{5}{2}\sqrt 2 + 5\sqrt 2 \)
\( = \left( {6 - 3 + \dfrac{5}{2} + 5} \right).\sqrt 2 \)
\( = \dfrac{{21}}{2}\sqrt 2 \)
Cho \(B = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3 - 1}}\) và \(C = \left( {2\sqrt 3 - 5\sqrt {27} + 4\sqrt {12} } \right):\sqrt 3 \). Chọn đáp án đúng.
-
A
\(B > C\)
-
B
\(B < C\)
-
C
\(B = C\)
-
D
\(B = - C\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Tính \(B;C\) bằng cách sử dụng các công thức
Với \(A > 0\) và \(A \ne {B^2}\) thì \(\dfrac{C}{{\sqrt A \pm B}} = \dfrac{{C(\sqrt A \mp B)}}{{A - {B^2}}}\)
Khai phương một tích: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B {\rm{ }}(A \ge 0,B \ge 0)\)
+ So sánh \(B;C.\)
Ta có \(B = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} - \dfrac{2}{{\sqrt 3 - 1}}\)
\( = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 .\sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}\)
$
= \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{3 - 2}} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{{3 - 1}}$
$= \sqrt 2 + \dfrac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{1} - \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}}{2}$
\( = \sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 2 - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\)
\( = \sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 2 - \sqrt 3 - 1\)
\( = 2\sqrt 2 - 1\)
Lại có
$\begin{array}{l}C = (2\sqrt 3 - 5\sqrt {27} + 4\sqrt {12} ):\sqrt 3 \\ = \left( {2\sqrt 3 - 5\sqrt {9.3} + 4\sqrt {4.3} } \right):\sqrt 3 \\= (2\sqrt 3 - 5.3\sqrt 3 + 4.2\sqrt 3 ):\sqrt 3 \\ = - 5\sqrt 3 :\sqrt 3 \\ = - 5\end{array}$
Nhận thấy \(B = 2\sqrt 2 - 1 > 0;\,C = - 5 < 0 \Rightarrow B > C\)
Tìm điều kiện của $x$ để căn thức \(\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} \) có nghĩa.
-
A
$x \ge 1$
-
B
\(x < 1\)
-
C
\(x > 1\)
-
D
\(x = 1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
\(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) khi \(A\) lấy giá trị không âm tức là \(A \ge 0.\)
Ngoài ra: \(\dfrac{1}{A} \ge 0 \Leftrightarrow A > 0\)
Ta có \(\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 1}} \ge 0 \Rightarrow x - 1 > 0\) (vì $1>0$)
\( \Leftrightarrow x > 1\)
Với điều kiện nào của \(x\) thì biểu thức \(\dfrac{{\sqrt { - 3x} }}{{{x^2} - 1}}\) có nghĩa?
-
A
\(x \ne \pm 1\)
-
B
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne - 1\end{array} \right.\)
-
C
\(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)
-
D
\(\left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ne - 1\end{array} \right.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ \(\sqrt A \) có nghĩa khi \(A \ge 0\)
+ \(\dfrac{A}{B}\) có nghĩa khi \(B \ne 0.\)
Ta có \(\dfrac{{\sqrt { - 3x} }}{{{x^2} - 1}}\) có nghĩa khi \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x \ge 0\\{x^2} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\{x^2} \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ne - 1\end{array} \right.\)
Kết quả của phép tính \(\left( {\sqrt {28} - 2\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + \sqrt {84} \) là
-
A
\(7\)
-
B
\(7 + 2\sqrt {21} \)
-
C
\(7 + \sqrt {21} \)
-
D
\(21\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng công thức
+ Khai phương một tích: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B {\rm{ }}\,(A \ge 0,B \ge 0)\)
Ta có \(\left( {\sqrt {28} - 2\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right)\sqrt 7 + \sqrt {84} \)\( = \left( {\sqrt {4.7} - 2\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right).\sqrt 7 + \sqrt {4.21} \)
\( = \left( {2\sqrt 7 - 2\sqrt 3 + \sqrt 7 } \right).\sqrt 7 + 2\sqrt {21} = \left( {3\sqrt 7 - 2\sqrt 3 } \right).\sqrt 7 + 2\sqrt {21} \)
\( = 3\sqrt 7 .\sqrt 7 - 2\sqrt 3 .\sqrt 7 + 2\sqrt {21} \) \( = 21 - 2\sqrt {21} + 2\sqrt {21} = 21\)
Chọn đáp án đúng.
-
A
\(\dfrac{4}{{\sqrt 3 + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt 3 - 3}} = - 7 - \sqrt 3 \)
-
B
\(\dfrac{4}{{\sqrt 3 + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt 3 - 3}} = 7\)
-
C
\(\dfrac{4}{{\sqrt 3 + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt 3 - 3}} = - 7\)
-
D
\(\dfrac{4}{{\sqrt 3 + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt 3 - 3}} = 7 + 7\sqrt 3 \)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng công thức : Với \(A > 0\) và \(A \ne {B^2}\) thì \(\dfrac{C}{{\sqrt A \pm B}} = \dfrac{{C(\sqrt A \mp B)}}{{A - {B^2}}}\)
Ta có \(\dfrac{4}{{\sqrt 3 + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 2}} + \dfrac{6}{{\sqrt 3 - 3}}\)\( = \dfrac{{4\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} + \dfrac{{1\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + 2} \right)\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}} + \dfrac{{6\left( {\sqrt 3 + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + 3} \right)\left( {\sqrt 3 - 3} \right)}}\)
\( = \dfrac{{4\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {1^2}}} + \dfrac{{\sqrt 3 + 2}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {2^2}}} + \dfrac{{6\left( {\sqrt 3 + 3} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {3^2}}}\) \( = \dfrac{{4\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{3 - 1}} + \dfrac{{\sqrt 3 + 2}}{{3 - 4}} + \dfrac{{6\left( {\sqrt 3 + 3} \right)}}{{3 - 9}}\)
\( = \dfrac{{4\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 + 2}}{{\left( { - 1} \right)}} + \dfrac{{6\left( {\sqrt 3 + 3} \right)}}{{\left( { - 6} \right)}}\) \( = 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right) - \sqrt 3 - 2 - \sqrt 3 - 3 = - 7.\)
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 6x + 9} = 3\) là
-
A
\(x = 6\)
-
B
\(x = 0;x = - 6.\)
-
C
\(x = 0;x = 6.\)
-
D
\(x = 1;x = 6.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Biến đổi biểu thức dưới dấu căn để đưa về hằng đẳng thức
Giải phương trình dạng \(\sqrt {{A^2}} = m\,\,\left( {m \ge 0} \right) \Leftrightarrow \left| A \right| = m \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = m\\A = - m\end{array} \right.\)
Ta có \(\sqrt {{x^2} - 6x + 9} = 3\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 3} \right)}^2}} = 3 \Leftrightarrow \left| {x - 3} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 3\\x - 3 = - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = 0\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 0;x = 6.\)
Phương trình \(\sqrt {x - 5} = \sqrt {3 - x} {\rm{ }}\) có bao nhiêu nghiệm?
-
A
\(1\)
-
B
\(0\)
-
C
\(2\)
-
D
\(3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Giải phương trình dạng \(\sqrt A = \sqrt B \)
ĐK: \(A \ge 0\) (hoặc \(B \ge 0\) )
Khi đó \(\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow A = B\)
So sánh với điều kiện rồi kết luận.
Điều kiện: \(x \ge 5\)
Ta có \(\sqrt {x - 5} = \sqrt {3 - x} {\rm{ }}\)\( \Leftrightarrow x - 5 = 3 - x \Leftrightarrow x + x = 3 + 5 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {KTM} \right)\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = \sqrt {4{x^2} - 4x + 1} \) là
-
A
\(\dfrac{2}{3}\)
-
B
\(1\)
-
C
\(2\)
-
D
\(3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Biến đổi các biểu thức dưới dấu căn thành các hằng đẳng thức
+ Sử dụng \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
+ Giải phương trình dạng \(\left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A = - B\end{array} \right.\)
Ta có \(\sqrt {{x^2} - 2x + 1} = \sqrt {4{x^2} - 4x + 1} \)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} \)
\( \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = \left| {2x - 1} \right|\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 2x - 1\\x - 1 = 1 - 2x\end{array} \right.\) \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 0;x = \dfrac{2}{3}\) nên tổng các nghiệm là \(0 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3}.\)
Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2\) ta được nghiệm là
-
A
\(x = 1\)
-
B
\(x = 3\)
-
C
\(x = 2\)
-
D
Phương trình vô nghiệm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Tìm điều kiện
+ Giải phương trình dạng \(\sqrt A = B\,\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}\)
Điều kiện:
\(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2.\)
Ta có: \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {\left( {x - 2} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} = - 1\,\) (vô nghiệm vì \({x^2} \ge 0\,\,\forall x\) )
Vậy phương trình vô nghiệm.
Cho hai biểu thức $A = \dfrac{7}{{\sqrt x + 8}}$ và $B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}}$ với $x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 9$
Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 25.$
-
A
\(\dfrac{7}{{13}}\)
-
B
\(7\)
-
C
\(\dfrac{7}{{33}}\)
-
D
\(\dfrac{{13}}{7}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Thay \(x = 25\,\left( {TMDK} \right)\) vào \(A\) rồi tính toán
Vì $x = 25$ (TMĐK) nên ta có: $\sqrt x = 5$
Khi đó ta có: $A = \dfrac{7}{{5 + 8}} = \dfrac{7}{{13}}$
Rút gọn \(B\) ta được
-
A
\(B = \dfrac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x - 3}}\,\,\)
-
B
\(B = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}\,\,\)
-
C
\(B = \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 8}}\,\,\)
-
D
\(B = \dfrac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}\,\,\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức
+ Từ đó rút gọn phân thức
$B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{{2\sqrt x - 24}}{{x - 9}}$ với $x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 9$
$ = \dfrac{{\sqrt x (\sqrt x + 3)}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}} + \dfrac{{2\sqrt x - 24}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}$
$\begin{array}{l} = \dfrac{{x + 3\sqrt x + 2\sqrt x - 24}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}\\ = \dfrac{{x + 5\sqrt x - 24}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}\\ = \dfrac{{x - 3\sqrt x + 8\sqrt x - 24}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x (\sqrt x - 3) + 8(\sqrt x - 3)}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}\\ = \dfrac{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 8)}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}\end{array}$
Vậy \(B = \dfrac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}\,\,\) với $x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 9$
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(P = A.B\) có giá trị nguyên.
-
A
\(0\)
-
B
\(1\)
-
C
\(2\)
-
D
\(3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng kết quả câu trước \(B = \dfrac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}}\,\,\) với $x \ge 0,{\rm{ }}x \ne 9$
Tính \(P = A.B\) rồi đánh giá \(P\) để tìm các giá trị nguyên của \(P\) từ đó tìm \(x.\)
$P = A.B$ nên ta có:$P = \dfrac{7}{{\sqrt x + 8}}.\dfrac{{\sqrt x + 8}}{{\sqrt x + 3}} = \dfrac{7}{{\sqrt x + 3}}$ với $ x \ge 0$;$x\ne 9$
+) Ta có $x \ge 0$ nên $P > 0$
+) $x \ge 0$ nên \(\sqrt x + 3 \ge 3 \Leftrightarrow \dfrac{7}{{\sqrt x + 3}} \le \dfrac{7}{3}\)
Nên : \(0 < P \le \dfrac{7}{3}\). Để \(P \in Z \Rightarrow P \in \left\{ {1;2} \right\}\)
+) $P = 1$ \(\dfrac{7}{{\sqrt x + 3}} = 1 \Rightarrow \sqrt x + 3 = 7 \Leftrightarrow \sqrt x = 4\)\( \Leftrightarrow x = 16\) (thỏa mãn điều kiện)
+) $P = 2$ \(\dfrac{7}{{\sqrt x + 3}} = 2 \Rightarrow 2\sqrt x + 6 = 7 \Leftrightarrow \sqrt x = \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy \(x \in \left\{ {\dfrac{1}{4};16} \right\}\)
Vậy có hai giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài.
Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 9}} - \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)$. Rút gọn \(P\) .
-
A
\(P = \dfrac{4}{{\sqrt x - 3}}\)
-
B
\(P = \dfrac{4}{{\sqrt x + 3}}\)
-
C
\(P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 3}}\)
-
D
\(P = \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức
+ Từ đó rút gọn phân thức
Điều kiện \(x \ge 0;x \ne 9.\)
P = $\left[ {\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}} - \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}} \right]$$\left( {\sqrt x - 3} \right)$
= $\dfrac{{\sqrt x + 1 - (\sqrt x - 3)}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}$$\left( {\sqrt x - 3} \right)$
= $\dfrac{{\sqrt x + 1 - \sqrt x + 3}}{{(\sqrt x + 3)(\sqrt x - 3)}}$$\left( {\sqrt x - 3} \right)$
= $\dfrac{4}{{\sqrt x + 3}}$
Vậy \(P = \dfrac{4}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9.\)
Rút gọn biểu thức: $A = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{2} - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}} \right)$ v ới \(x > 0;\,\,x \ne 1.\)
-
A
\(A = - 2\sqrt x \)
-
B
\(A = 2\sqrt x \)
-
C
\(A = - \sqrt x \)
-
D
\(A = 4\sqrt x \)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức
+ Từ đó rút gọn phân thức
$\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{2} - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\left( {\dfrac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{x + \sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}} \right) = \dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}.\left( {\dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} - \sqrt x {{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}.\dfrac{{\sqrt x \left[ {x - 2\sqrt x + 1 - \left( {x + 2\sqrt x + 1} \right)} \right]}}{{x - 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 1 - x - 2\sqrt x - 1}}{2} = \dfrac{{ - 4\sqrt x }}{2} = - 2\sqrt x .\end{array}$
Vậy \(A = - 2\sqrt x \) với \(x > 0;\,\,x \ne 1.\)
Rút gọn biểu thức:$B = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}$ với \(x \ge 0;\,\,x \ne 4\).
-
A
\(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\)
-
B
\(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)
-
C
\(B = \dfrac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)
-
D
\(B = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức
+ Từ đó rút gọn phân thức
$\begin{array}{l}B = \dfrac{x}{{x - 4}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{x}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{x + \sqrt x + 2 + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.\end{array}$
Vậy \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0;\,\,x \ne 4\).
Rút gọn $D = \left( {\dfrac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{1 - \sqrt {xy} }} - \dfrac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{1 + \sqrt {xy} }}} \right):\left( {\dfrac{{y + xy}}{{1 - xy}}} \right)$ với \(x \ge 0;\,\,y \ge 0;\,\,xy \ne 1\) và $M = \left( {\dfrac{{x\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{{{x^2}}}{{x\sqrt x + x}}} \right)\left( {2 - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right)$ với \(x > 0\) ta được
-
A
\(D = \dfrac{1}{{\sqrt y }};M = 2x - \sqrt x \)
-
B
\(D = \dfrac{2}{{\sqrt y }};M = 2x - \sqrt x \)
-
C
\(D = \dfrac{1}{{\sqrt y }};M = - 2x + \sqrt x \)
-
D
\(D = \dfrac{{\sqrt y }}{2};M = 2x - \sqrt x \)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức
+ Từ đó rút gọn phân thức
$D = \left( {\dfrac{{\sqrt x + \sqrt y }}{{1 - \sqrt {xy} }} - \dfrac{{\sqrt x - \sqrt y }}{{1 + \sqrt {xy} }}} \right):\left( {\dfrac{{y + xy}}{{1 - xy}}} \right)$$ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {1 + \sqrt {xy} } \right) - \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {1 - \sqrt {xy} } \right)}}{{\left( {1 - \sqrt {xy} } \right)\left( {1 + \sqrt {xy} } \right)}}.\dfrac{{1 - xy}}{{y + xy}}$$ = \dfrac{{\sqrt x + \sqrt y + x\sqrt y + y\sqrt x - \left( {\sqrt x - \sqrt y - x\sqrt y + y\sqrt x } \right)}}{{1 - xy}}.\dfrac{{1 - xy}}{{y + xy}}$$ = \dfrac{{\sqrt x + \sqrt y + x\sqrt y + y\sqrt x - \sqrt x + \sqrt y + x\sqrt y - y\sqrt x }}{{y + xy}}$$ = \dfrac{{2\sqrt y + 2x\sqrt y }}{{y + xy}} = \dfrac{{2\sqrt y \left( {x + 1} \right)}}{{y\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{2}{{\sqrt y }}$
Vậy \(D = \dfrac{2}{{\sqrt y }}\) với \(x \ge 0;\,\,y \ge 0;\,\,xy \ne 1\)
$\begin{array}{l}M = \left( {\dfrac{{x\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{{{x^2}}}{{x\sqrt x + x}}} \right)\left( {2 - \dfrac{1}{{\sqrt x }}} \right) \\= \left( {\dfrac{{x\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}}} \right)\dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\\= \dfrac{{x\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}}.\dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x }} = \sqrt x \left( {2\sqrt x - 1} \right) \\= 2x - \sqrt x .\end{array}$
Vậy \(M = 2x - \sqrt x \) với \(x > 0.\)
Rút gọn biểu thức: $P = \dfrac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \dfrac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1$ với \(a > 0.\)
-
A
\(P = 2a - \sqrt a \)
-
B
\(P = \sqrt a - a\)
-
C
\(P = a + \sqrt a \)
-
D
\(P = a - \sqrt a \)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi rút gọn từng phân thức
+ Từ đó rút gọn biểu thức
$\begin{array}{l}P = \dfrac{{{a^2} + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \dfrac{{2a + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\\= \dfrac{{a.a + \sqrt a }}{{a - \sqrt a + 1}} - \dfrac{{2{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + \sqrt a }}{{\sqrt a }} + 1\\= \dfrac{{\sqrt a \left( {a\sqrt a + 1} \right)}}{{a - \sqrt a + 1}} - \dfrac{{\sqrt a \left( {2\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a }} + 1\\ = \dfrac{{\sqrt a \left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^3} + 1} \right)}}{{a - \sqrt a + 1}} - \left( {2\sqrt a + 1} \right) + 1\\= \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {a - \sqrt a + 1} \right)}}{{a - \sqrt a + 1}} - \left( {2\sqrt a + 1} \right) + 1\\= \sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) - 2\sqrt a - 1 + 1\\ = a + \sqrt a - 2\sqrt a \\= a - \sqrt a .\end{array}$
Vậy \(P = a - \sqrt a \) với \(a > 0.\)
Cho biểu thức\(A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x + 2\sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 4}}} \right)\)
Rút gọn biểu thức A
-
A
\(A = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}\)
-
B
\(A = \dfrac{{2 + \sqrt x }}{{\sqrt x }}\)
-
C
\(A = \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{2\sqrt x }}\)
-
D
\(A = \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Tìm điều kiện
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức
+ Từ đó rút gọn phân thức
Điều kiện \(x > 0,x \ne 4\)
$\begin{array}{l}A = \left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x + 2\sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 4}}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}} \right)\\ = \dfrac{3}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}:\dfrac{{ - 3}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\\ = \dfrac{3}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{ - 3}}\\ = \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\end{array}$
Vậy với \(x > 0,x \ne 4\) thì \(A = \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\).
Tìm giá trị của A khi \(x = 9 - 4\sqrt 5 \)
-
A
\(A = \sqrt 5 + 3\)
-
B
\(A = 2\sqrt 5 + 1\)
-
C
\(A = 2\sqrt 5 \)
-
D
\(A = 2\sqrt 5 + 3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Sử dụng kết quả câu trước \(A = \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0,x \ne 4\)
+ Tính \(\sqrt x \)
+ Thay \(\sqrt x \) vừa tìm được vào \(A = \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}x = 9 - 4\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 2.2.\sqrt 5 + {2^2} = {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 5 - 2} \right| = \sqrt 5 - 2\left( {do\,\,\sqrt 5 - 2 > 0\,} \right)\end{array}\)
Khi đó ta có \(A = \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{2 - \left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}{{\sqrt 5 - 2}} = \dfrac{{4 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 2}} = \dfrac{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - {2^2}}} = \dfrac{{4\sqrt 5 + 8 - 5 - 2\sqrt 5 }}{1} = 2\sqrt 5 + 3\)
Vậy với \(x = 9 - 4\sqrt 5 \) thì \(A = 2\sqrt 5 + 3\)
Tìm \(x\) để \(A < 0\)
-
A
\(x > 4\)
-
B
\(0 \le x < 4\)
-
C
\(x > 1\)
-
D
\(x > 0,x \ne 4\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Sử dụng kết quả câu trước \(A = \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0,x \ne 4\)
+ Đánh giá mẫu số rồi lập luận tìm ra điều kiện của tử số để \(A < 0\)
+ Kết hợp điều kiện rồi kết luận
$A{\rm{ }} < \;0$ \( \Leftrightarrow \) \(A = \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} < 0\)
Với \(x > 0,x \ne 4\) ta có: \(\sqrt x > 0\) .
Để \(\dfrac{{2 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} < 0\) thì $2 - \sqrt x < 0 \Leftrightarrow \sqrt x > 2 \Leftrightarrow x > 4$
Vậy ta có: \(x > 4\) thì \(A < 0.\)
Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0;x \ne 1\)
Tìm \(x\) để \(2P = 2\sqrt x + 5\) .
-
A
\(x = \dfrac{1}{4}\)
-
B
\(x = \dfrac{1}{2}\)
-
C
\(x = 4\)
-
D
\(x = 2\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Rút gọn \(P\)
+ Thay \(P\) vào yêu cầu \(2P = 2\sqrt x + 5\) rồi giải phương trình và tìm \(x.\)
Ta có: với \(x > 0,x \ne 1\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right).\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{x + 2\sqrt x - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\end{array}\)
Vậy với \(x > 0,x \ne 1\) ta có \(P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)
Để \(2P = 2\sqrt x + 5\)
Ta có: với \(x > 0,x \ne 1\)
\(\begin{array}{l}2P = 2\sqrt x + 5\\ \Leftrightarrow 2.\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} = 2\sqrt x + 5\\ \Rightarrow 2\sqrt x + 2 = 2x + 5\sqrt x \\ \Leftrightarrow 2x + 3\sqrt x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2x - \sqrt x + 4\sqrt x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x \left( {2\sqrt x - 1} \right) + 2\left( {2\sqrt x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}(tm)\\\sqrt x = - 2(ktm)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(x = \dfrac{1}{4}\) thì \(2P = 2\sqrt x + 5\)
Cho \(A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x + 1}}{{x + 4\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{x + 5\sqrt x + 6}}\) với \(x \ge 0\). Chọn đáp án đúng.
-
A
\(A = 2\sqrt x \)
-
B
Giá trị của $A$ không phụ thuộc vào biến $x.$
-
C
\(A = 3\left( {\sqrt x + 2} \right)\)
-
D
\(A = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức
+ Từ đó rút gọn phân thức
$A = \dfrac{{2x}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5\sqrt x + 1}}{{x + 4\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{x + 5\sqrt x + 6}}$$= \dfrac{{2x}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{5\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$
\( = \dfrac{{2x\left( {\sqrt x + 3} \right) + \left( {5\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) + \left( {\sqrt x + 10} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)
\( = \dfrac{{2x\sqrt x + 6x + 5x + 11\sqrt x + 2 + x + 11\sqrt x + 10}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)
\( = \dfrac{{2x\sqrt x + 12x + 22\sqrt x + 12}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)
\( = \dfrac{{2x\sqrt x + 2x + 10x + 10\sqrt x + 12\sqrt x + 12}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{2x\left( {\sqrt x + 1} \right) + 10\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 12\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {2x + 10\sqrt x + 12} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\
= \dfrac{{2\left( {x + 5\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\
= \dfrac{{2\left( {x + 2\sqrt x + 3\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\
= \dfrac{{2\left[ {\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + 3\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right]}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\= \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = 2\end{array}\)
Vậy giá trị của $A$ không phụ thuộc vào biến $x.$
Cho biểu thức $P = 1:\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}}} \right)$ . Chọn câu đúng.
-
A
\(P = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\)
-
B
\(P < 3\)
-
C
\(P > 3\)
-
D
Cả A, C đều đúng.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Tìm điều kiện
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức
+ Từ đó rút gọn biểu thức
+ Xét hiệu \(P - 3\) rồi so sánh hiệu đó với \(0\) để so sánh \(P\) với \(3.\)
Điều kiện xác định: \(x \ne 1;x > 0\)
\(\begin{array}{l}P = 1:\left( {\dfrac{{x + 2}}{{x\sqrt x - 1}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{x - 1}}} \right)\\ = 1:\left( {\dfrac{{x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right)\\ = 1:\dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) + {{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\end{array}\)
\( = 1:\dfrac{{x\sqrt x + x + 2\sqrt x + 2 + x\sqrt x + x - \sqrt x - 1 - \left( {x\sqrt x + x + \sqrt x + x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{x\sqrt x - \sqrt x }}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\end{array}\)
Vậy \(P = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}\) với \(x \ne 1;x > 0\)
+ So sánh \(P\) với \(3.\)
Xét \(P - 3 = \dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x }} - 3 = \dfrac{{x + \sqrt x + 1 - 3\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}\)
Với \(x \ne 1;x > 0\) ta có: \(\sqrt x > 0\); $\sqrt x \ne 1$ nên \({\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} > 0\) suy ra: $P-3 > 0$ hay $P > 3$
Cho biểu thức $P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)$
Rút gọn $P.$
-
A
\(P = \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}}\)
-
B
\(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\)
-
C
\(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x - 3}}\)
-
D
\(P = \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Tìm điều kiện
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức
+ Từ đó rút gọn biểu thức
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\sqrt x - 3 \ne 0\\x - 9 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..\)
$\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{3x + 3}}{{x - 9}}} \right):\left( {\dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right) + \sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right) - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\dfrac{{2\sqrt x - 2 - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}.\dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}.\end{array}$
Vậy \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9.\)
Tính giá trị của P biết $x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2}$
-
A
\(\dfrac{7}{{13}}\)
-
B
\(\dfrac{{3\sqrt 5 - 15}}{{10}}\)
-
C
\(\dfrac{7}{{33}}\)
-
D
\(\dfrac{{13}}{7}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Sử dụng kết quả câu trước \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9.\)
+ Biến đổi \(x\) để tính \(\sqrt x .\)
+ Thay \(\sqrt x \) tìm được vào \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\)
Ta có: $x = \dfrac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{6 - 2\sqrt 5 }}{4} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}}}{4}$
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {\dfrac{{{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}}}{4}} = \dfrac{{\left| {\sqrt 5 - 1} \right|}}{2} = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}.\\ \Rightarrow P = \dfrac{{ - 3}}{{\dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2} + 3}} = \dfrac{{ - 3.2}}{{\sqrt 5 - 1 + 6}} = \dfrac{{ - 6}}{{\sqrt 5 + 5}} = \dfrac{{ - 6\left( {5 - \sqrt 5 } \right)}}{{{5^2} - 5}} = \dfrac{{6\sqrt 5 - 30}}{{20}} = \dfrac{{3\sqrt 5 - 15}}{{10}}.\end{array}\)
Tìm \(x\) để$P < - \dfrac{1}{2}$
-
A
\(x > 3\)
-
B
\(x \ge 0;x \ne 9\)
-
C
\(0 \le x < 9\)
-
D
\(x < 9\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Sử dụng kết quả câu trước \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9.\)
+ Giải bất phương trình $P < - \dfrac{1}{2}$
+ So sánh điều kiện để tìm \(x.\)
Ta có \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9.\) Suy ra
$\begin{array}{l}P < - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}} < - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}} > \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{2} > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{6 - \sqrt x - 3}}{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}} > 0\\ \Leftrightarrow 3 - \sqrt x > 0\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt x + 3 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 9} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \Leftrightarrow x < 9.\end{array}$
Kết hợp với ĐKXĐ ta được với \(0 \le x < 9\) thì $P < - \dfrac{1}{2}$.
Có bao nhiêu giá trị $x \in Z$ để $P \in Z$.
-
A
\(0\)
-
B
\(2\)
-
C
\(1\)
-
D
\(3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Sử dụng kết quả câu trước \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9.\)
+ Xét với \(x\) không là số chính phương
+ Xét với \(x\) là số chính phương khi đó \(P \in Z \Rightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) \in U\left( { - 3} \right)\)
Ta có \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 9.\)
+ Với \(x\) không là số chính phương thì \(\sqrt x \) là số vô tỉ nên \(P = \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}\) là số vô tỉ (loại)
+ Với \(x\) là số chính phương
Ta có:
$\begin{array}{l}P \in Z \Leftrightarrow \dfrac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}} \in Z \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) \in U\left( { - 3} \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 3} \right) \in \left\{ {1;\,3} \right\}\,\,\left( {do\,\,\sqrt x + 3 > 0\,\,\forall x \ge 0;\,x \ne 9} \right).\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x + 3 = 1\\\sqrt x + 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = - 2\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)\end{array}$
Vậy x = 0 thì $P \in Z$.
Cho biểu thức: \(K = \dfrac{{2\sqrt x + 3\sqrt y }}{{\sqrt {xy} + 2\sqrt x - 3\sqrt y - 6}} - \dfrac{{6 - \sqrt {xy} }}{{\sqrt {xy} + 2\sqrt x + 3\sqrt y + 6}}.\)
Rút gọn K.
-
A
\(K = \dfrac{{\sqrt x + 9}}{{\sqrt x - 9}}\)
-
B
\(K = \dfrac{{x - 9}}{{x + 9}}\)
-
C
\(K = \dfrac{{x + 9}}{{x - 9}}\)
-
D
\(K = \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Tìm điều kiện
+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi qui đồng mẫu các phân thức
+ Từ đó rút gọn biểu thức
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\\sqrt {xy} + 2\sqrt x - 3\sqrt y - 6 \ne 0\\\sqrt {xy} + 2\sqrt x + 3\sqrt y + 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\\left( {\sqrt y + 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) \ne 0\\\left( {\sqrt y + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\\sqrt x \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x \ne 9\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}K = \dfrac{{2\sqrt x + 3\sqrt y }}{{\sqrt {xy} + 2\sqrt x - 3\sqrt y - 6}} - \dfrac{{6 - \sqrt {xy} }}{{\sqrt {xy} + 2\sqrt x + 3\sqrt y + 6}}\\ = \dfrac{{2\sqrt x + 3\sqrt y }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)}} - \dfrac{{6 - \sqrt {xy} }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {2\sqrt x + 3\sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + 3} \right) - \left( {6 - \sqrt {xy} } \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2x + 6\sqrt x + 3\sqrt {xy} + 9\sqrt y - \left( {6\sqrt x - 18 - x\sqrt y + 3\sqrt {xy} } \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{2x + x\sqrt y + 9\sqrt y + 18}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {\sqrt y + 2} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt y + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\\ = \dfrac{{x + 9}}{{x - 9}}.\end{array}\)
Vậy \(K = \dfrac{{x + 9}}{{x - 9}}\) với \(x;y \ge 0;x \ne 9.\)
Nếu \(K = \dfrac{{y + 81}}{{y - 81}}\) thì
-
A
\(\dfrac{y}{x}\) là số nguyên chia hết cho \(5\) .
-
B
\(\dfrac{y}{x}\) là số nguyên chia hết cho \(2\) .
-
C
\(\dfrac{y}{x}\) là số nguyên chia hết cho \(3\) .
-
D
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Sử dụng kết quả câu trước \(K = \dfrac{{x + 9}}{{x - 9}}\) với \(x;y \ge 0;x \ne 9.\)
+ Cho \(K = \dfrac{{y + 81}}{{y - 81}}\) để tìm ra mối liên hệ giữa \(x;y\) từ đó tìm ra tính chất của \(\dfrac{y}{x}.\)
Ta có \(K = \dfrac{{x + 9}}{{x - 9}}\) với \(x;y \ge 0;x \ne 9.\) Nên
\(\begin{array}{l}K = \dfrac{{y + 81}}{{y - 81}} \Rightarrow \dfrac{{x + 9}}{{x - 9}} = \dfrac{{y + 81}}{{y - 81}}\\ \Rightarrow \left( {x + 9} \right)\left( {y - 81} \right) = \left( {y + 81} \right)\left( {x - 9} \right)\\ \Leftrightarrow xy + 9y - 81x - 9.81 = xy - 9y + 81x - 9.81\\ \Leftrightarrow 9y = 81x\\ \Leftrightarrow \dfrac{y}{x} = \dfrac{{81}}{9} = 9.\end{array}\)
Vậy nếu \(K = \dfrac{{y + 81}}{{y - 81}}\) thì \(\dfrac{y}{x}\) là số nguyên chia hết cho 3.
Cho \(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \). Tính giá trị của biểu thức \(P = x\left( {2 - x} \right)\)
-
A
\(P = - 2\).
-
B
\(P = 2\).
-
C
\(P = - 1\).
-
D
\(P = 0\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bình phương biểu thức \(x\) và rút gọn.
Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\).
Xét dấu, phá trị tuyệt đối và rút gọn \(x\).
Thay giá trị \(x\) sau khi rút gọn để tính giá trị biểu thức \(P\).
Ta có:
\(x = \sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \,\,\,\left( {x > 0} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } + \sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } + 3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } + 2.\sqrt {3 + \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } .\sqrt {3 - \sqrt {5 + 2\sqrt 3 } } \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2.\sqrt {9 - \left( {5 + 2\sqrt 3 } \right)} \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2.\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2.\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 + 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\,\,\,\left( {Do\,\,\sqrt 3 - 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4 + 2\sqrt 3 \\ \Leftrightarrow {x^2} = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x = \sqrt 3 + 1\,\,\left( {Do\,\,x > 0} \right)\end{array}\)
Thay \(x = \sqrt 3 + 1\) thì:
\(\begin{array}{l}P = x\left( {2 - x} \right) = 2x - {x^2}\\P = 2.\left( {\sqrt 3 + 1} \right) - \left( {4 + 2\sqrt 3 } \right)\\P = 2\sqrt 3 + 2 - 4 - 2\sqrt 3 = - 2\end{array}\)
Vậy \(P = - 2\).
Cho \(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\) và \(B = \dfrac{{5\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.\)
Chọn đáp án đúng nhất:
Tính giá trị của biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\) khi \(x = 25.\)
-
A
\(A = \dfrac{2}{3}\)
-
B
\(A = \dfrac{5}{6}\)
-
C
\(A = \dfrac{5}{4}\)
-
D
\(A = \dfrac{1}{2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Tìm điều kiện xác định, thay giá trị của \(x = 25\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức và tính giá trị của biểu thức.
Điều kiện xác định: \(x \ge 0.\)
Thay \(x = 25\,\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức ta có: \(A = \dfrac{{\sqrt {25} }}{{\sqrt {25} + 1}} = \dfrac{5}{6}.\)
Vậy \(x = 25\) thì \(A = \dfrac{5}{6}.\)
Rút gọn biểu thức \(B = \dfrac{{5\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.\)
-
A
\(B = \dfrac{1}{{\sqrt x - 2}}\)
-
B
\(B = \dfrac{1}{{\sqrt x - 3}}\)
-
C
\(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}}\)
-
D
\(B = \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.
Với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9,\) ta có:
\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{5\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} + \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }} + \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\\B = \dfrac{{5\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} + \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}\\B = \dfrac{{5\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\B = \dfrac{{5\sqrt x - 9 - x + 4 + x - 4\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\B = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\\B = \dfrac{1}{{\sqrt x - 3}}.\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{1}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.\)
Tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn \(\left( {x - 9} \right).B < 2x.\)
-
A
\(x < \dfrac{9}{4}\)
-
B
\(x > \dfrac{4}{9}\)
-
C
\(x > \dfrac{9}{4},\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9\)
-
D
\(x > \dfrac{4}{9},\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Thay biểu thức \(B\) vừa rút gọn ở câu trên vào bất phương trình, giải bất phương trình tìm \(x.\)
Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Điều kiện: \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9.\)
\(\begin{array}{l}\left( {x - 9} \right).B < 2x \Leftrightarrow \left( {x - 9} \right).\dfrac{1}{{\sqrt x - 3}} < 2x\\ \Leftrightarrow \sqrt x + 3 < 2x \Leftrightarrow 2x - \sqrt x - 3 > 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {2\sqrt x - 3} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt x - 3 > 0\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt x + 1 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x > \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x > \dfrac{9}{4}.\end{array}\)
Kết hợp điều kiện, ta được \(x > \dfrac{9}{4};x \ne 4;x \ne 9\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vậy \(x > \dfrac{9}{4},\,\,x \ne 4,\,\,x \ne 9\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Cho biểu thức: \(A = \dfrac{{a - 4}}{{a + 2\sqrt a }}\) và \(B = \dfrac{{5\sqrt a }}{{\sqrt a - 2}} + \dfrac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 2}} - \dfrac{{5a + 2}}{{a - 4}}\) (ĐKXĐ: \(a > 0;a \ne 4\) )
Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(a = 16\).
-
A
\(1\)
-
B
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C
\(\dfrac{1}{3}\)
-
D
\( - 1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Thay \(a = 1\,6\,\,\,\left( {tmđk} \right)\) vào để tính giá trị biểu thức \(A\).
Thay \(a = 16\,\,\,\left( {tmdk} \right)\) vào \(A\)ta được:
\(A = \dfrac{{a - 4}}{{a + 2\sqrt a }} = \dfrac{{16 - 4}}{{16 + 2\sqrt {16} }} = \dfrac{{12}}{{16 + 2.4}} = \dfrac{{12}}{{24}} = \dfrac{1}{2}\)
Vậy khi \(a = 16\) thì \(A = \dfrac{1}{2}.\)
Rút gọn biểu thức \(B.\)
-
A
\(B = \dfrac{{a + 5\sqrt a }}{{a - 4}}.\)
-
B
\(B = \dfrac{{a - 7\sqrt a }}{{\sqrt a - 2}}.\)
-
C
\(B = \dfrac{{a - 5\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}}.\)
-
D
\(B = \dfrac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Quy đồng mẫu số rồi rút gọn biểu thức
Điều kiện: \(a > 0,\,\,a \ne 4.\)
\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{5\sqrt a }}{{\sqrt a - 2}} + \dfrac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 2}} - \dfrac{{5a + 2}}{{a - 4}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{5\sqrt a }}{{\sqrt a - 2}} + \dfrac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 2}} - \dfrac{{5a + 2}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{5\sqrt a \left( {\sqrt a + 2} \right) + \left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right) - 5a - 2}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{5a + 10\sqrt a + a - 3\sqrt a + 2 - 5a - 2}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{a + 7\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}.\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}.\)
Tìm các số hữu tỉ \(a\) để biểu thức \(P = A.B\) có giá trị nguyên.
-
A
\(a = 9\)
-
B
\(a = \dfrac{1}{2}\)
-
C
\(a = 9\) và \(a = \dfrac{1}{2}\)
-
D
\(a = 9\) và \(a = \dfrac{1}{4}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Rút gọn \(P.\)
Đánh giá tập giá trị của biểu thức \(P\) sau đó tìm các giá trị nguyên của \(P\) rồi suy ra \(a.\) Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Điều kiện: \(a > 0,\,\,a \ne 4.\)
\(P = A.B = \dfrac{{a - 4}}{{a + 2\sqrt a }}.\dfrac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}\)\( = \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 7} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 2} \right)}}\)
\( = \dfrac{{\sqrt a + 7}}{{\sqrt a + 2}} = \dfrac{{\sqrt a + 2 + 5}}{{\sqrt a + 2}}\)\( = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt a + 2}} > 1\)
Ta có: với \(a > 0 \Rightarrow \sqrt a > 0 \Rightarrow \sqrt a + 2 > 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt a + 2}} < \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt a + 2}} < \dfrac{5}{2}\\ \Rightarrow P = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt a + 2}} < 1 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{2}\\ \Rightarrow 1 < P < \dfrac{7}{2}\end{array}\)
Mà \(P \in \mathbb{Z} \Rightarrow P = \left\{ {2;\,\,3} \right\}.\)
+) Với \(P = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a + 7}}{{\sqrt a + 2}} = 2\) \( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 2\left( {\sqrt a + 2} \right)\) \( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 2\sqrt a + 4\)\( \Leftrightarrow \sqrt a = 3 \Leftrightarrow a = 9\,\,\,\left( {tm} \right).\)
+) Với \(P = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a + 7}}{{\sqrt a + 2}} = 3\) \( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 3\left( {\sqrt a + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 3\sqrt a + 6\)\( \Leftrightarrow 2\sqrt a = 1 \Leftrightarrow \sqrt a = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy \(a = 9\) và \(a = \dfrac{1}{4}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho hai biểu thức: \(A = \dfrac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}}\) và \(B = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5 - 2\sqrt x }}{{x + \sqrt x - 2}}\) với \(x > 0,x \ne 1,x \ne 25\)
Tính giá trị của biểu thức A tại \(x = 9.\)
-
A
\(6\)
-
B
\(-6\)
-
C
\(-4\)
-
D
\(4\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Kiểm tra \(x = 9\) có thỏa mãn điều kiện hay không và thay vào A tính toán.
Thay \(x = 9\) (TMĐK) vào biểu thức A ta được: \(A = \dfrac{{4\sqrt 9 }}{{\sqrt 9 - 5}} = \dfrac{{4.3}}{{3 - 5}} = \dfrac{{12}}{{ - 2}} = - 6\)
Vậy với x = 9 thì \(A = - 6\).
Rút gọn biểu thức B.
-
A
\(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\)
-
B
\(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\)
-
C
\(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)
-
D
\(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Quy đồng và rút gọn.
Với \(x > 0,x \ne 1,x \ne 25\) ta có:
\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5 - 2\sqrt x }}{{x + \sqrt x - 1}}\\ = \dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{5 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) + \sqrt x - 1 + 5 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{x - 4 + \sqrt x - 1 + 5 - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\end{array}\)
Vậy \(B = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\) khi \(x > 0,\,\,x \ne 1,\,\,x \ne 25.\)
Tìm số tự nhiên \(x\) lớn nhất sao cho \(\dfrac{A}{B} < 4\)
-
A
\(x = 16\)
-
B
\(x = 15\)
-
C
\(x = 9\)
-
D
\(x = 24\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{A}{B}\) rồi giải bất phương trình \(\dfrac{A}{B} < 4\) tìm x.
Chú ý kết hợp ĐKXĐ và x là số tự nhiên lớn nhất.
Điều kiện: \(x > 0,\,\,x \ne 1,\,\,x \ne 25.\)
Ta có: \(M = \dfrac{A}{B} = \dfrac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}}:\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\) \( = \dfrac{{4\sqrt x }}{{\sqrt x - 5}}.\dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\)\( = \dfrac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 5}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow M < 4 \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 5}} < 4\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 5}} < 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 5}} - 1 < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x + 2 - \sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 5}} < 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{7}{{\sqrt x - 5}} < 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x - 5 < 0\,\,\,\,\,\,\left( {do\,7 > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt x < 5\\ \Leftrightarrow x < 25\end{array}\)
Kết hợp với điều kiện \(x > 0,x \ne 1,x \ne 25\) ta được \(0 < x < 25\) và \(x \ne 1\).
Mà x là số tự nhiên lớn nhất nên \(x = 24\) thỏa mãn bài toán.
Vậy \(x = 24\).
Cho biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt {x - \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} } + \sqrt {x + \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} } }}{{\sqrt {{x^2} - 4\left( {x - 1} \right)} }}.\left( {1 - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right),\)trong đó \(x > 1,x \ne 2\).
Rút gọn biểu thức \(A\).
-
A
\(A = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,khi\,\,\,1 < x < 2\\\dfrac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2\end{array} \right..\)
-
B
\(A = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,khi\,\,\, x < 2\\\dfrac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2\end{array} \right..\)
-
C
\(A = \dfrac{ - 2}{x - 1}\)
-
D
\(A = \dfrac{ - 2}{\sqrt{x - 1}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Biến đổi các biểu thức trong căn bậc hai, xét từng trường hợp rồi rút gọn biểu thức.
Điều kiện: \(x > 1,\,\,x \ne 2.\)
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{\sqrt {x - 4\left( {x - 1} \right)} + \sqrt {x + \sqrt {4\left( {x - 1} \right)} } }}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}.\left( {1 - \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt {x - 1 - 2\sqrt {x - 1} + 1} + \sqrt {x - 1 + 2\sqrt {x - 1} + 1} }}{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} }}.\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}} \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} }}.\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} + 1} \right|}}{{\left| {x - 2} \right|}}.\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}\end{array}\)
+) Nếu \(1 < x < 2\) thì \(\left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| = 1 - \sqrt {x - 1} \)
\( \Rightarrow A = \dfrac{{1 - \sqrt {x - 1} + \sqrt {x - 1} + 1}}{{ - \left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}\)\( = \dfrac{2}{{2 - x}}.\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} = \dfrac{{ - 2}}{{x - 1}}\)
+) Nếu \(x > 2\) thì \(\left| {\sqrt {x - 1} - 1} \right| = \sqrt {x - 1} - 1\)
\( \Rightarrow A = \dfrac{{\sqrt {x - 1} - 1 + \sqrt {x - 1} + 1}}{{x - 2}}.\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}\)\( = \dfrac{{2\sqrt {x - 1} }}{{x - 2}}.\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} = \dfrac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\)
Vậy \(A = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 2}}{{x - 1}}\,\,\,\,khi\,\,\,1 < x < 2\\\dfrac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2\end{array} \right..\)
Tìm các giá trị nguyên của \(x\) để giá trị của biểu thức \(A\) là số nguyên.
-
A
\(x = 1\)
-
B
\(x = 2\)
-
C
\(x = 3\)
-
D
\(x = 5\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
A là số nguyên khi tử số chia hết cho mẫu số.
TH1: Nếu \(1 < x < 2\) thì \(A = \dfrac{{ - 2}}{{x - 1}}\).
Để A nhận giá trị nguyên thì \(x - 1\) phải là ước dương của 2 (vì \(x\) nguyên và \(x > 1)\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2\\x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3\end{array} \right.\), không thỏa mãn \(1 < x < 2\).
TH2: Nếu \(x > 2\) thì \(A = \dfrac{2}{{\sqrt {x - 1} }}\)
Vì \(x\) nguyên, \(x > 2\) nên \(x - 1\) nguyên và \(x - 1 > 1\).
Nếu \(x - 1\) không là số chính phương thì \(A\) là số vô tỉ.
Nếu \(x - 1\) là số chính phương, \(A\) nhận giá tri nguyên nên \(\sqrt {x - 1} \) là ước lớn hơn 1 của 2
\( \Rightarrow \sqrt {x - 1} = 2 \Leftrightarrow x = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\)
Vậy với \(x = 5\) thì \(A\) nhận giá tri nguyên.
Cho \(x,y\) là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2.\) Tính giá trị của biểu thức \(Q = x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} .\)
-
A
\(Q = - \dfrac{3}{4}\)
-
B
\(Q = \dfrac{4}{3}\)
-
C
\(Q = - \dfrac{4}{3}\)
-
D
\(Q = \dfrac{3}{4}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Biến đổi biểu thức đã cho bằng phương pháp nhân liên hợp sau đó tính giá trị biểu thức \(Q\).
Theo đề bài ta có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right) = 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1 - {x^2}} \right)\left( {{y^2} + 1 - {y^2}} \right) = 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right)\\ \Leftrightarrow 1 = 2\left[ {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy} \right) - \left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Lại có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy} \right) + \left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = 2\,\,\\ \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy} \right) + 2\left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta được: \( - 4\left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = - 3\)\( \Rightarrow x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} = \dfrac{3}{4}.\)
Vậy \(Q = \dfrac{3}{4}.\)
Cho biểu thức \(A = \dfrac{{ - 4x - 9\sqrt x + 3}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\left( {x \ge 0} \right)\).
Rút gọn biểu thức \(A\).
-
A
\(A = \dfrac{1 - 5\sqrt {x}}{\sqrt {x} + 2}\)
-
B
\(A = \dfrac{1 - 3\sqrt {x}}{\sqrt {x} + 1}\)
-
C
\(A = \dfrac{1 - 3\sqrt {x}}{\sqrt {x} + 2}\)
-
D
\(A = \dfrac{1 - 5\sqrt {x}}{\sqrt {x} + 1}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.
Điều kiện: \(x \ge 0.\)
\(\begin{array}{l}A = \dfrac{{ - 4x - 9\sqrt x + 3}}{{x + 3\sqrt x + 2}} + \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 4x - 9\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 4x - 9\sqrt x + 3 + \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) - \left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 4x - 9\sqrt x + 3 + x + \sqrt x - 2 - 2x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 5x - 9\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{ - 5x - 10\sqrt x + \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 5\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right) + \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{\left( {1 - 5\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \dfrac{{1 - 5\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\end{array}\)
Vậy \(A= \dfrac{{1 - 5\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}\) với \(x \ge 0.\)
Tìm giá trị lớn nhất của \(A\).
-
A
\(0\)
-
B
\(1\)
-
C
\(2\)
-
D
\(3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Dựa vào điều kiện xác định của \(x\) để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
Điều kiện: \(x \ge 0.\)
Ta có: \(A = \dfrac{{1 - 5\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = - 5 + \dfrac{6}{{\sqrt x + 1}}.\)
Với mọi \(x \ge 0\) ta có: \(\sqrt x + 1 \ge 1\) nên \(\dfrac{6}{{\sqrt x + 1}} \le 6\)
Do đó \(A = - 5 + \dfrac{6}{{\sqrt x + 1}} \le 1.\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 0.\)
Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là 1 khi \(x = 0.\)