Cho các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0;B > 0$, khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A
$\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}$
-
B
$\sqrt {\dfrac{A}{B}}=- \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}$
-
C
$\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{B}$
-
D
$\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{AB}}{{\sqrt B }}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Khử mẫu của biểu thức lấy căn
Với các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0;B \ne 0$, ta có $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}} = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\,khi\,B > 0\\ - \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\,khi\,B < 0\end{array} \right.$
Cho các biểu thức với $A < 0$ và $B \ge 0$ , khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A
$\sqrt {{A^2}B} = A\sqrt B $
-
B
$\sqrt {{A^2}B} = - A\sqrt B $
-
C
$\sqrt {{A^2}B} = -B\sqrt A $
-
D
$\sqrt {{A^2}B} = B\sqrt A $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$
Đưa thừa số $\sqrt {81{{\left( {2 - y} \right)}^4}} $ ra ngoài dấu căn ta được ?
-
A
$9\left( {2 - y} \right)$
-
B
$81{\left( {2 - y} \right)^2}$
-
C
$9{\left( {2 - y} \right)^2}$
-
D
$ - 9{\left( {2 - y} \right)^2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn: Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$
Ta có $\sqrt {81{{\left( {2 - y} \right)}^4}} = \sqrt {81.{{\left[ {{{\left( {2 - y} \right)}^2}} \right]}^2}} = \left| {{{\left( {2 - y} \right)}^2}} \right|\sqrt {81} = 9{\left( {2 - y} \right)^2}$
Đưa thừa số $5y\sqrt y $ ($y \ge 0$) vào trong dấu căn ta được
-
A
$\sqrt {5{y^2}} $
-
B
$\sqrt {25{y^3}} $
-
C
$\sqrt {5{y^3}} $
-
D
$\sqrt {25y\sqrt y } $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Đưa thừa số vào trong dấu căn
+) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$
+) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$
Ta có $5y\sqrt y $$ = \sqrt {{{\left( {5y} \right)}^2}y} = \sqrt {25{y^2}.y} = \sqrt {25{y^3}} $.
Đưa thừa số $x\sqrt {\dfrac{{ - 35}}{x}} $ ($x < 0$) vào trong dấu căn ta được
-
A
$\sqrt { - 35x} $
-
B
$ - \sqrt { - 35x} $
-
C
$\sqrt {35} $
-
D
$\sqrt {35{x^2}} $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Đưa thừa số vào trong dấu căn
+) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$
+) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$
Ta có $x\sqrt {\dfrac{{ - 35}}{x}} $$ = - \sqrt {{x^2}.\dfrac{{ - 35}}{x}} = - \sqrt { - 35x} $.
So sánh hai số $5\sqrt 3 $ và $4\sqrt 5 $
-
A
$5\sqrt 3 > 4\sqrt 5 $
-
B
$5\sqrt 3 = 4\sqrt 5 $
-
C
$5\sqrt 3 \ge 4\sqrt 5 $
-
D
$5\sqrt 3 < 4\sqrt 5 $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh hai số $\sqrt A < \sqrt B \Leftrightarrow 0 \le A < B$.
Đưa thừa số vào trong dấu căn
+) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$
+) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$
Ta có $5\sqrt 3 = \sqrt {{5^2}.3} = \sqrt {25.3} = \sqrt {75} $; $4\sqrt 5 = \sqrt {{4^2}.5} = \sqrt {16.5} = \sqrt {80} $
Vì $75 < 80 \Leftrightarrow \sqrt {75} < \sqrt {80} \Leftrightarrow 5\sqrt 3 < 4\sqrt 5 $
Khử mẫu biểu thức sau $ - xy\sqrt {\dfrac{3}{{xy}}} $ với $x < 0;y < 0$ ta được
-
A
$\sqrt {xy} $
-
B
$\sqrt { - xy} $
-
C
$\sqrt {3xy} $
-
D
$ - \sqrt {3xy} $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Khử mẫu biểu thức chứa căn theo công thức
Với các biểu thức $A,B$ mà $A.B \ge 0;B \ne 0$, ta có $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}} = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\,khi\,B > 0\\ - \dfrac{{\sqrt {AB} \,}}{B}\,\,khi\,\,B < 0\end{array} \right.$
Vì $x < 0;y < 0$ nên $xy > 0$. Từ đó ta có
$ - xy\sqrt {\dfrac{3}{{xy}}} $$ = - xy.\dfrac{{\sqrt {3xy} }}{{xy}} = - \sqrt {3xy} $.
Khử mẫu biểu thức sau $ xy\sqrt {\dfrac{4}{{x^2y^2}}} $ với $x > 0;y > 0$ ta được
-
A
$4 $
-
B
$\sqrt { - xy} $
-
C
$\sqrt {2} $
-
D
$ 2 $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Khử mẫu biểu thức chứa căn theo công thức
Với các biểu thức $A,B$ mà $A \ge 0;B\ne 0$, ta có \(\sqrt {\dfrac{A}{{{B^2}}}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\left| B \right|}}\)
Vì $x > 0;y > 0$ nên $xy > 0$. Từ đó ta có
$ xy\sqrt {\dfrac{4}{{x^2y^2}}} $$ = xy.\dfrac{{\sqrt {4} }}{\sqrt{x^2y^2}} = xy.\dfrac{2}{xy}= 2 $.
Sau khi rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{{5 + 3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{5 - 3\sqrt 2 }}$ ta được phân số tối giản $\dfrac{a}{b},\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)$. Khi đó $2a$ có giá trị là:
-
A
$20$
-
B
$10$
-
C
$7$
-
D
$14$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Trục căn thức ở mẫu theo công thức
Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$
Ta có $\dfrac{1}{{5 + 3\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{5 - 3\sqrt 2 }} \\= \dfrac{{5 - 3\sqrt 2 }}{{\left( {5 + 3\sqrt 2 } \right)\left( {5 - 3\sqrt 2 } \right)}} + \dfrac{{5 + 3\sqrt 2 }}{{\left( {5 + 3\sqrt 2 } \right)\left( {5 - 3\sqrt 2 } \right)}}\\ =\dfrac{{5 - 3\sqrt 2+5 + 3\sqrt 2 }}{{\left( {5 + 3\sqrt 2 } \right)\left( {5 - 3\sqrt 2 } \right)}} \\= \dfrac{{10}}{{{5^2} - {{\left( {3\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \dfrac{{10}}{{25 - 18}} = \dfrac{{10}}{7}$
Suy ra $a = 10;b = 7 \Rightarrow 2a = 2.10 = 20$.
Rút gọn biểu thức \(\sqrt {32x} + \sqrt {50x} - 2\sqrt {8x} + \sqrt {18x} \) với $x \ge 0$ ta được kết quả là
-
A
$8\sqrt {2x} $
-
B
$10\sqrt 2 x$
-
C
$20\sqrt x $
-
D
$2\sqrt {10x} $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Đưa thừa số ra ngoài dấu căn để xuất hiện nhân tử chung từ đó thực hiện phép tính
Công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$
Ta có \(\sqrt {32x} + \sqrt {50x} - 2\sqrt {8x} + \sqrt {18x} \)$ = \sqrt {16.2x} + \sqrt {25.2x} - 2\sqrt {4.2x} + \sqrt {9.2x} = \sqrt {{4^2}.2x} + \sqrt {{5^2}.2x} - 2\sqrt {{2^2}.2x} + \sqrt {{3^2}.2x} $
$ = 4\sqrt {2x} + 5\sqrt {2x} - 4\sqrt {2x} + 3\sqrt {2x} = \sqrt {2x} \left( {4 + 5 - 4 + 3} \right) = 8\sqrt {2x} $
Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a - 4b\sqrt {25{a^3}} + 5a\sqrt {16a{b^2}} - \sqrt {9a} \) với $a \ge 0;b \ge 0$ ta được kết quả là
-
A
$2\sqrt {2a} $
-
B
$4\sqrt a $
-
C
$8\sqrt a $
-
D
$2\sqrt a $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn và công thức khai phương một tích để xuất hiện nhân tử chung từ đó thực hiện phép tính.
Đưa thừa số vào trong dấu căn
+) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$
+) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$
Công thức khai phương một tích
$\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \,\,\left( {A \ge 0;B \ge 0} \right)$
Ta có \(5\sqrt a - 4b\sqrt {25{a^3}} + 5a\sqrt {16a{b^2}} - \sqrt {9a} \)$ = 5\sqrt a - 4\sqrt {25{a^3}{b^2}} + 5\sqrt {16a{b^2}.{a^2}} - \sqrt 9 .\sqrt a $
$ = 5\sqrt a - 4\sqrt {25} .\sqrt {{a^3}{b^2}} + 5\sqrt {16} .\sqrt {{a^3}{b^2}} - 3\sqrt a $$ = \left( {5\sqrt a - 3\sqrt a } \right) - \left( {4.5\sqrt {{a^3}{b^2}} - 5.4\sqrt {{a^3}{b^3}} } \right)$$ = 2\sqrt a $
Giá trị của biểu thức \(2\sqrt {\dfrac{{16a}}{3}} - 3\sqrt {\dfrac{a}{{27}}} - 6\sqrt {\dfrac{{4a}}{{75}}} \) là
-
A
$\dfrac{{23\sqrt {3a} }}{{15}}$
-
B
$\dfrac{{\sqrt {3a} }}{{15}}$
-
C
$\dfrac{{23\sqrt a }}{{15}}$
-
D
$\dfrac{{3\sqrt {3a} }}{{15}}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
- Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để xuất hiện nhân tử chung từ đó thực hiện phép tính
Công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn:
Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$
- Sử dụng công thức trục căn thức $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B},\,\left( {A \ge 0;\,B > 0} \right)$.
Ta có \(2\sqrt {\dfrac{{16a}}{3}} - 3\sqrt {\dfrac{a}{{27}}} - 6\sqrt {\dfrac{{4a}}{{75}}} = 2\sqrt {{4^2}.\dfrac{a}{3}} - 3\sqrt {\dfrac{1}{9}.\dfrac{a}{3}} - 6\sqrt {\dfrac{4}{{25}}.\dfrac{a}{3}} \)$ = 2.4\sqrt {\dfrac{a}{3}} - 3.\dfrac{1}{3}\sqrt {\dfrac{a}{3}} - 6.\dfrac{2}{5}.\sqrt {\dfrac{a}{3}} $
$ = \sqrt {\dfrac{a}{3}} .\left( {8 - 1 - \dfrac{{12}}{5}} \right) = \dfrac{{23}}{5}\sqrt {\dfrac{a}{3}} = \dfrac{{23}}{5}.\dfrac{{\sqrt {3a} }}{3} = \dfrac{{23\sqrt {3a} }}{{15}}$
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }}\)với $a \ge 0;a \ne 4$ ta được
-
A
$\dfrac{{ - 2a\sqrt a + 4a}}{{4 - a}}$
-
B
$\dfrac{{2a\sqrt a - 4a}}{{4 - a}}$
-
C
$\dfrac{{2a\sqrt a + 4a}}{{4 - a}}$
-
D
$ - \dfrac{{2a\sqrt a + 4a}}{{4 - a}}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Trục căn thức ở mẫu theo công thức
Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$
Ta có $\dfrac{{2a}}{{2 - \sqrt a }} = \dfrac{{2a\left( {2 + \sqrt a } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt a } \right)\left( {2 + \sqrt a } \right)}} = \dfrac{{2a\sqrt a + 4a}}{{4 - a}}.$
Trục căn thức ở mẫu biểu thức \(\dfrac{6}{{\sqrt x + \sqrt {2y} }}\)với $x \ge 0;y \ge 0$ ta được
-
A
$\dfrac{{6\left( {\sqrt x - \sqrt {2y} } \right)}}{{x - 4y}}$
-
B
$\dfrac{{6\left( {\sqrt x + \sqrt {2y} } \right)}}{{x - 2y}}$
-
C
$\dfrac{{6\left( {\sqrt x - \sqrt {2y} } \right)}}{{x - 2y}}$
-
D
$\dfrac{{6\left( {\sqrt x + \sqrt {2y} } \right)}}{{x + 2y}}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng công thức
Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,B \ge 0,A \ne B$ ta có
$\dfrac{C}{{\sqrt A - \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$; $\dfrac{C}{{\sqrt A + \sqrt B }} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - \sqrt B } \right)}}{{A - B}}$
Ta có \(\dfrac{6}{{\sqrt x + \sqrt {2y} }}\)$ = \dfrac{{6\left( {\sqrt x - \sqrt {2y} } \right)}}{{\left( {\sqrt x + \sqrt {2y} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {2y} } \right)}} = \dfrac{{6\left( {\sqrt x - \sqrt {2y} } \right)}}{{x - 2y}}$
Tính giá trị biểu thức\(\left( {\dfrac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}.\)
-
A
$ - 3$
-
B
$ - 2$
-
C
$2$
-
D
$3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
- Sử dụng công thức khai phương một tích để xuất hiện nhân tử chung và rút gọn
$\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \,\,\left( {A,B \ge 0} \right)$
- Hoặc trục căn thức ở mẫu rồi rút gọn
Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$
Ta có \(\left( {\dfrac{{\sqrt {14} - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}\)$ = \left( {\dfrac{{\sqrt 2 .\sqrt 7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 5 .\sqrt 3 - \sqrt 5 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right):\dfrac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}$
$ = \left( {\dfrac{{\sqrt 7 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 2 }} + \dfrac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{{1 - \sqrt 3 }}} \right).\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)$
$ = \left( { - \sqrt 7 - \sqrt 5 } \right).\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)$
$= - \left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)$
$= - \left( {7 - 5} \right) = - 2$
Giá trị biểu thức $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} - 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} $ là giá trị nào sau đây?
-
A
$\dfrac{{\sqrt 6 }}{6}$
-
B
$\sqrt 6 $
-
C
$\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}$
-
D
$\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
-Sử dụng công thức trục căn thức $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B},\,\left( {A \ge 0;\,B > 0} \right)$.
Ta có $\dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2\sqrt {\dfrac{2}{3}} - 4\sqrt {\dfrac{3}{2}} = \dfrac{3}{2}\sqrt 6 + 2.\dfrac{{\sqrt 6 }}{3} - 4\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}$$ = \sqrt 6 \left( {\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{2}} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}$.
Cho ba biểu thức $P = x\sqrt y + y\sqrt x ;Q = x\sqrt x + y\sqrt y ;$
$R = x - y$. Biểu thức nào bằng với biểu thức $\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)$ với $x,y$ không âm.
-
A
$P$
-
B
$Q$
-
C
$R$
-
D
$P - Q$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn và phân tích đa thức thành nhân tử.
Đưa thừa số vào trong dấu căn
+) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$
+) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$
$P = x\sqrt y + y\sqrt x $
$= {\left( {\sqrt x } \right)^2}\sqrt y + {\left( {\sqrt y } \right)^2}\sqrt x $
$= \sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)$
$Q = x\sqrt x + y\sqrt y $
$= {\left( {\sqrt x } \right)^3} + {\left( {\sqrt y } \right)^3}$
$= \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {x - \sqrt {xy} + y} \right)$
$R = x - y = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2} $
$= \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)$
Vậy $R = \left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)$.
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 9} = 2\sqrt {2x + 3} \) là
-
A
$1$
-
B
$0$
-
C
$3$
-
D
$2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Tìm điều kiện xác định
-Sử dụng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn để đưa phương trình về dạng cơ bản $\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = B\end{array} \right.$
Đưa thừa số vào trong dấu căn
+) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$
+) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$
Ta có \(\sqrt {4{x^2} - 9} = 2\sqrt {2x + 3} \)$ \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} - 9} = \sqrt {4\left( {2x + 3} \right)} \Leftrightarrow \sqrt {4{x^2} - 9} = \sqrt {8x + 12} $
Điều kiện: $8x + 12 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \dfrac{3}{2}$.
Với điều kiện trên ta có
$\sqrt {4{x^2} - 9} = \sqrt {8x + 12} $
$\Leftrightarrow 4{x^2} - 9 = 8x + 12 $
$\Leftrightarrow 4{x^2} - 8x - 21 = 0 $
$\Leftrightarrow 4{x^2} + 6x - 14x - 21 = 0$
$\Leftrightarrow2x\left( {2x + 3} \right) - 7\left( {2x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {2x - 7} \right)\left( {2x + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 7 = 0\\2x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{2}\\x = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\left( {TM} \right)$
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x = \dfrac{7}{2};x = - \dfrac{3}{2}$.
Phương trình \(\dfrac{2}{3}\sqrt {9x - 9} - \dfrac{1}{4}\sqrt {16x - 16} + 27\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{81}}} = 4\) có mấy nghiệm?
-
A
$1$
-
B
$0$
-
C
$3$
-
D
$2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
-Tìm điều kiện xác định
-Sử dụng công thức đưa thừa số ra ngoài dấu căn để đưa phương trình về dạng cơ bản $\sqrt A = m\,\,\left( {m \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {m^2}$
Với hai biểu thức $A,B$ mà $B \ge 0$, ta có $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,{\rm{khi}}\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,{\rm{khi}}\,A < 0\end{array} \right.$
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}9x - 9 \ge 0\\16x - 16 \ge 0\\\dfrac{{x - 1}}{{81}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9\left( {x - 1} \right) \ge 0\\16\left( {x - 1} \right) \ge 0\\x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$
Ta có \(\dfrac{2}{3}\sqrt {9x - 9} - \dfrac{1}{4}\sqrt {16x - 16} + 27\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{81}}} = 4\)$ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}\sqrt {9\left( {x - 1} \right)} - \dfrac{1}{4}\sqrt {16\left( {x - 1} \right)} + 27\sqrt {\dfrac{1}{{81}}.\left( {x - 1} \right)} = 4$
\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{3}.3\sqrt {x - 1} - \dfrac{1}{4}.4\sqrt {x - 1} + 27.\dfrac{1}{9}.\sqrt {x - 1} = 4\)\(\Leftrightarrow 2\sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 1} + 3\sqrt {x - 1} = 4\)
\(\Leftrightarrow 4\sqrt {x - 1} = 4 \)
\(\Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 1\)
\(\Leftrightarrow x - 1 = 1 \)
\(\Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình có một nghiệm \(x = 2\).
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {\dfrac{3}{{20}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{60}}} - 2\sqrt {\dfrac{1}{{15}}} \) là
-
A
$1$
-
B
$0$
-
C
$3$
-
D
$2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
-Khử mẫu của biểu thức lấy căn theo công thức $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B},\,\left( {A \ge 0;\,B > 0} \right)$
-Quy đồng mẫu số các phân số.
Ta có \(\sqrt {\dfrac{3}{{20}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{60}}} - 2\sqrt {\dfrac{1}{{15}}} \)\( = \dfrac{{\sqrt {3.20} }}{{20}} + \dfrac{{\sqrt {60} }}{{60}} - \dfrac{{2\sqrt {15} }}{{15}}\)\( = \dfrac{{3\sqrt {60} + \sqrt {60} - 4.\sqrt {4.15} }}{{60}} = \dfrac{{4\sqrt {60} - 4\sqrt {60} }}{{60}} = 0.\)
Rút gọn biểu thức \(\dfrac{a}{{\sqrt 5 + 1}} + \dfrac{a}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{a}{{3 - \sqrt 5 }} - \sqrt 5 a\) ta được
-
A
$2a$
-
B
$a$
-
C
$3a$
-
D
$12a$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
-Trục căn thức ở mẫu theo công thức
Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$
-Quy đồng mẫu số các phân số rồi rút gọn
Ta có \(\dfrac{a}{{\sqrt 5 + 1}} + \dfrac{a}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{a}{{3 - \sqrt 5 }} - \sqrt 5 a\)$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} + \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}} - \dfrac{{a\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}} - \sqrt 5 a$
$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{4} + \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{1} - \dfrac{{a\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{4} - \sqrt 5 a$$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} \right) + 4a\left( {2 + \sqrt 5 } \right) - a\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - 4\sqrt 5 a}}{4}$
$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1 + 8+ 4\sqrt 5 - 3 - \sqrt 5 - 4\sqrt 5 } \right)}}{4} = \dfrac{{4a}}{4} = a$
Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \) với \(x \ge 2\) ta được:
-
A
\(A = 2\sqrt 2 \) hoặc \(A = 2\sqrt {x - 2} \)
-
B
\(A = 2\sqrt 2 \)
-
C
\(A = 2\sqrt {x - 2} \)
-
D
A, B, C đều sai
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để xử lý bài toán: \({\left( {A \pm B} \right)^2} = {A^2} \pm 2AB + {B^2}\)
Điều kiện: \(x \ge 2\)
\(A = \sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \)\( = \sqrt {x + 2\sqrt {2\left( {x - 2} \right)} } + \sqrt {x - 2\sqrt {2\left( {x - 2} \right)} } \)\( = \sqrt {x - 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + 2} + \sqrt {x - 2 - 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + 2} \)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2} + \sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 } \right)}^2}} \)\( = \left| {\sqrt {x - 2} + \sqrt 2 } \right| + \left| {\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 } \right| \)\( = \sqrt {x - 2} + \sqrt 2 + \left| {\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 } \right|\)
+) Với \(\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} \ge \sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow x - 2 \ge 2 \Leftrightarrow x \ge 4\) ta có: \(\left| {\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 } \right| = \sqrt {x - 2} - \sqrt 2 \)
\( \Rightarrow A = \sqrt {x - 2} + \sqrt 2 + \sqrt {x - 2} - \sqrt 2 \) \( = 2\sqrt {x - 2} .\)
+) Với \(\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 2} < \sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow x - 2 < 2 \Leftrightarrow x < 4\) ta có: \(\left| {\sqrt {x - 2} - \sqrt 2 } \right| = \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} \)
\( \Rightarrow A = \sqrt {x - 2} + \sqrt 2 + \sqrt 2 - \sqrt {x - 2} = 2\sqrt 2 .\)
Vậy \(A = \left\{ \begin{array}{l}2\sqrt {x - 2} \,\,\,khi\,\,\,x \ge 4\\2\sqrt 2 \,\,\,khi\,\,\,2 \le x < 4\end{array} \right..\)
Rút gọn biểu thức \(\left( {4\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\) với \(x\) không âm ta được:
-
A
\(0\)
-
B
\(1\)
-
C
\(\left( {6 - 5\sqrt 2 } \right)x\)
-
D
\(x\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\left( {4\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {2x} } \right)\\ = 4\sqrt x .\sqrt x - 4\sqrt {2x.x} - \sqrt {2x.x} + \sqrt {2x} .\sqrt {2x} \\ = 4x - 4\sqrt {2{x^2}} - \sqrt {2{x^2}} + 2x\\ = 6x - 5\sqrt {2{x^2}} \\ = 6x - 5\sqrt 2 \left| x \right|\\ = 6x - 5\sqrt 2 x\,\,\,\left( {do\,\,\,x \ge 0} \right)\\ = \left( {6 - 5\sqrt 2 } \right)x.\end{array}\)
Biểu thức \(2\sqrt {40\sqrt {12} } - 2\sqrt {\sqrt {75} } - 3\sqrt {5\sqrt {48} } \) sau khi rút gọn là:
-
A
\(2 + \sqrt 3 \)
-
B
\(0\)
-
C
\(1\)
-
D
\(2 + \sqrt 5 \)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
Sử dụng công thức hằng đẳng thức : \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2\sqrt {40\sqrt {12} } - 2\sqrt {\sqrt {75} } - 3\sqrt {5\sqrt {48} } \\ = 2\sqrt {40\sqrt {4.3} } - 2\sqrt {\sqrt {25.3} } - 3\sqrt {5\sqrt {16.3} } \\ = 2\sqrt {40.2\sqrt 3 } - 2\sqrt {5\sqrt 3 } - 3\sqrt {5.4\sqrt 3 } \\ = 2\sqrt {80} .\sqrt {\sqrt 3 } - 2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } - 3\sqrt {20} .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 2\sqrt {16.5} \sqrt {\sqrt 3 } - 2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } - 3\sqrt {4.5} .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 2.4\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } - 2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } - 3.2\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = \left( {2.4 - 2 - 3.2} \right)\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } \\ = 0.\sqrt 5 .\sqrt {\sqrt 3 } = 0.\end{array}\)
Rút gọn \(\dfrac{{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}\) với \(x > 0,\,y > 0.\)
-
A
\(x - y\)
-
B
\(x + y\)
-
C
\( - x + 2y\)
-
D
Kết quả khác
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ: \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)
Phân tích biểu thức ở trong căn thành nhân tử.
\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left( {x\sqrt y + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt x .\sqrt x .\sqrt y + \sqrt y .\sqrt y .\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}\\ = \dfrac{{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)}}{{\sqrt {xy} }}\\ = \left( {\sqrt x + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt y } \right)\\ = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2}\\ = x - y.\end{array}\)
Rút gọn biểu thức \(A = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}\) với \(x \ne 2\) ta được:
-
A
\(A = 1\)
-
B
\(A = - 1\)
-
C
\(A = 1\) hoặc \(A = - 1\)
-
D
\(A = 0\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Với \(B \ge 0\), ta có \(\sqrt {{A^2}.B} = \left| A \right|\sqrt B = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,\,khi\,\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right..\)
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ: \({A^2} - {B^2} = \left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right)\)
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để xử lý bài toán: \({(A \pm B)^2} = {A^2} \pm 2AB + {B^2}\)
Điều kiện : \( x \ne 2\)
Ta có: \(A = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }} = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} }} = \dfrac{{x - 2}}{{\left| {x - 2} \right|}}\)
+ Nếu \(x < 2\) thì \(\left| {x - 2} \right| = - \left( {x - 2} \right),\) ta có: \(A = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}\)\( = \dfrac{{x - 2}}{{ - \left( {x - 2} \right)}} = - 1\)
+ Nếu \(x > 2\) thì \(\left| {x - 2} \right| = x - 2,\) ta có: \(A = \dfrac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }} = \dfrac{{x - 2}}{{x - 2}} = 1\)