Giá trị của biểu thức \(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \) là:
-
A
$5-2\sqrt 5$
-
B
$4$
-
C
$2+2\sqrt 5$
-
D
$1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};{a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\)
-Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
-Cộng trừ các căn thức bậc hai.
\(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } \)\( = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {5 - 2\sqrt 5 + 1} = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 5 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \)
\(= \left| {4 - \sqrt 5 } \right| - \left| {\sqrt 5 - 1} \right| \)
\(= 4 - \sqrt 5 - \sqrt 5 + 1 =5-2\sqrt 5 \)
Giá trị của biểu thức \(\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} \) là
-
A
$1$
-
B
$0$
-
C
$2$
-
D
$3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
-Sử dụng công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\) đưa biểu thức về các căn thức cùng loại (cùng biểu thức dưới dấu căn).
-Cộng trừ các căn thức
\(\sqrt {32} + \sqrt {50} - 3\sqrt 8 - \sqrt {18} \)\( = \sqrt {16.2} + \sqrt {25.2} - 3\sqrt {4.2} - \sqrt {9.2} \)
\(= 4\sqrt 2 + 5\sqrt 2 - 6\sqrt 2 - 3\sqrt 2 = 0\)
Rút gọn biểu thức \(5\sqrt a + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} - \sqrt {25a} \) với \(a > 0\) ta được
-
A
$\sqrt a $
-
B
$4\sqrt a $
-
C
$2\sqrt a $
-
D
$ - \sqrt a $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)\)
-Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\) và công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\)
-Cộng trừ các căn thức bậc hai.
\(5\sqrt a + 2\sqrt {\dfrac{a}{4}} - a\sqrt {\dfrac{4}{a}} - \sqrt {25a} \)\( = 5\sqrt a + 2.\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt 4 }} - a\dfrac{{\sqrt {4a} }}{a} - 5\sqrt a \)\( = 5\sqrt a + \sqrt a - 2\sqrt a - 5\sqrt a \)
\( = - \sqrt a \)
Giá trị biểu thức \(\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \) là
-
A
$4$
-
B
$5$
-
C
$2$
-
D
$3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};{a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\)
-Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,\,A \ge 0\\ - A\,\,khi\,\,A < 0\end{array} \right.\)
\(\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {7 - 2\sqrt {10} } \)
\(=\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {5 - 2\sqrt 5 .\sqrt 2 + 2} = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}^2}} = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\left| {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right|\)
\( = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right) = 5 - 2 = 3\)
Rút gọn biểu thức \(2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \) với $a > 0$ ta được
-
A
$14\sqrt a + a\sqrt a $
-
B
$14\sqrt a - a\sqrt a $
-
C
$14\sqrt a + 2a\sqrt a $
-
D
$20\sqrt a - 2a\sqrt a $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
-Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\) và công thức khai phương một tích \(\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)\)
-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)\)
-Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
-Cộng trừ các căn thức bậc hai.
Với $a>0$ ta có \(2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} \)$ = 2\sqrt a - \sqrt {9{a^2}.a} + {a^2}\dfrac{{\sqrt {16a} }}{a} + \dfrac{2}{{{a^2}}}.\sqrt {36{a^4}.a} $
$ = 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + \dfrac{2}{{{a^2}}}.6{a^2}\sqrt a $$ = 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + 12\sqrt a = 14\sqrt a + a\sqrt a $
Đẳng thức nào dưới đây là đúng?
-
A
$\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = a$ với $a - b > 0,b \ne 0$
-
B
$\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = \left| a \right|$ với $a - b > 0,b \ne 0$
-
C
$\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = ab$ với $a - b > 0,b \ne 0$
-
D
$\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = a - b$ với $a - b > 0,b \ne 0$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
-Sử dụng công thức khai phương một thương \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\)
-Đưa biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức \({a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\)
-Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\)
Ta có $\dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}\sqrt {\dfrac{{{a^2}{b^4}}}{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}} = \dfrac{{a - b}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\sqrt {{a^2}{b^4}} }}{{\sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\left| a \right|{b^2}}}{{\left| {a - b} \right|}} = \dfrac{{\left( {a - b} \right)}}{{{b^2}}}.\dfrac{{\left| a \right|{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)}} = \left| a \right|$
Chọn khẳng định đúng?
-
A
$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{ - 3a}}{2}$
-
B
$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{3a}}{2}$
-
C
$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{{ - a}}{2}$
-
D
$\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) = \dfrac{a}{2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
- Sử dụng đưa thừa số ra ngoài dấu căn theo công thức $\sqrt {{A^2}B} = \left| A \right|.B\,\,\left( {B \ge 0} \right)$, công thức khai phương một tích $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \,\,\,\left( {A \ge 0,B \ge 0} \right)$ và nhóm nhân tử chung để có thể rút gọn phân số trước khi quy đồng.
-Quy đồng mẫu số và cộng trừ các căn thức
Ta có $\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 8 - 2}} - \dfrac{{\sqrt {216} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$
$ = \left( {\dfrac{{2\sqrt 3 - \sqrt 2 .\sqrt 3 }}{{\sqrt {4.2} - 2}} - \dfrac{{\sqrt {36.6} }}{3}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$
$ = \left[ {\dfrac{{\sqrt 3 \left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{2\sqrt 2 - 2}} - \dfrac{{6\sqrt 6 }}{3}} \right].\left( { - \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}} \right)$
$ = \left[ {\dfrac{{\sqrt 6 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} - 2\sqrt 6 } \right].\left( { - \dfrac{a}{{\sqrt 6 }}} \right)$
$ = \left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{2} - 2\sqrt 6 } \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right) $
$= \left( { - \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}} \right).\left( {\dfrac{{ - a}}{{\sqrt 6 }}} \right)$
$= \dfrac{{3a}}{2}$
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{2x}}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = 9$ là
-
A
$\dfrac{9}{2}$
-
B
$\dfrac{9}{4}$
-
C
$9$
-
D
$18$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
-Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính
Ta có $P = \dfrac{{2.9}}{{\sqrt 9 + 1}}$= $\dfrac{{18}}{3+1}$$= \dfrac{{18}}{4} = \dfrac{9}{2}.$
Cho biểu thức \(P = \dfrac{x}{{\sqrt x + 1}}\). Giá trị của $P$ khi $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }}$ là
-
A
$4$
-
B
$2$
-
C
$3$
-
D
$1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
-Sử dụng các phép biến đổi như trục căn thức ở mẫu và đưa về hằng đẳng thức để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức
-Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính
Ta có $x = \dfrac{2}{{2 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{2\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{4 - 3}} = 4 + 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 + 1} \right)^2}$.$ \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1$
Khi đó ta có $P = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 1 + 1}} = \dfrac{{4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{\sqrt 3 + 2}} = 2$.
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\).
Giá trị của $P$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2 $ là:
-
A
$4 + 3\sqrt 2 $
-
B
$4 - 3\sqrt 2 $
-
C
$3$
-
D
$3\sqrt 2 $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
- Sử dụng hằng đẳng thức ${a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2};\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ để rút gọn biến số trước khi thay vào biểu thức.
- Thay giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức và thực hiện phép tính.
Ta có $x = 3 + 2\sqrt 2 $$ = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2}$
$\Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 + 1$
Thay $\sqrt x = \sqrt 2 + 1$ vào biểu thức $P$ ta được
$P = \dfrac{{\sqrt 2 + 1 + 1}}{{\sqrt 2 + 1 - 2}} = \dfrac{{\sqrt 2 + 2}}{{\sqrt 2 - 1}}$
$ = \dfrac{{\left( {\sqrt 2 + 2} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}} $
$= 4 + 3\sqrt 2 $
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\)với $x > 0$. So sánh $P$ với $4$.
-
A
$P > 4$
-
B
$P < 4$
-
C
$P = 4$
-
D
$P \le 4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
- Muốn so sánh hai biểu thức $A$ và $B$ ta so sánh hiệu $A - B$ với số $0$.
Nếu $A - B > 0 \Leftrightarrow A > B$, nếu $A - B < 0 \Leftrightarrow A < B$
-Khi so sánh với số $0$ ta thường đưa về hằng đẳng thức để so sánh.
Ta xét $P - 4 = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} - 4 = \dfrac{{x + 2\sqrt x + 2 - 4\sqrt x }}{{\sqrt x }} = \dfrac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$$ = \dfrac{{\left( {x - 2\sqrt x + 1} \right) + 1}}{{\sqrt x }} = \dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} + 1}}{{\sqrt x }}$
Vì ${\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} + 1 \ge 1 > 0,\,\forall x > 0$ và $\sqrt x > 0,\,\forall x > 0$ nên $P - 4 > 0 \Leftrightarrow P > 4$ với $x > 0$.
Cho biểu thức \(P = \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\)với $x \ge 0$. Tìm $x$ biết $P = \sqrt x $ .
-
A
$1$
-
B
$2$
-
C
$3$
-
D
$4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Giải phương trình chứa căn bằng cách quy đồng mẫu số, đưa phương trình về dạng chứa căn cơ bản đã biết
Với $x \ge 0$ ta có $P = \sqrt x $
$\Leftrightarrow \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \sqrt x $
$\Leftrightarrow \dfrac{{3\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}}$
$ \Rightarrow 3\sqrt x - 1 = x + \sqrt x $
$\Leftrightarrow x - 2\sqrt x + 1 = 0 $
$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 0 $
$\Leftrightarrow \sqrt x = 1 $
$\Leftrightarrow x = 1\,\left( {TM} \right)$
Cho $P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$.
Có bao nhiêu giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$ ?
-
A
$1$
-
B
$2$
-
C
$0$
-
D
$4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng: với $P = \dfrac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z}$ thì $P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow a \vdots b$
Ta có để $P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$ thì $2 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) \in $Ư$\left( 2 \right) = \left\{ {1; - 1;2; - 2} \right\}$
Mà $\sqrt x + 1 > 0$ với $x \ge 0$ nên $\sqrt x + 1 \in \left\{ {1;2} \right\}$
+) $\sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0$ (TM )
+) $\sqrt x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1$ (TM )
Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện.
Cho \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 1}} - \sqrt {27} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 }};\)\(B = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }}\). Chọn câu đúng.
-
A
\(B > A > 0\)
-
B
\(A < B < 0\)
-
C
\(A < 0 < B\)
-
D
\(B < 0 < A\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
- Tính giá trị \(A\) và \(B\) rồi so sánh.
- Sử dụng \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B \left( {A,B \ge 0} \right);\)\(\dfrac{1}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{\sqrt A + B}}{{A - {B^2}}}\,\left( {A \ge 0;A \ne {B^2}} \right)\)
Ta có: \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 3 - 1}} - \sqrt {27} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 }} \)\(= \dfrac{{\sqrt 3 + 1}}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}} - \sqrt {9.3} + \dfrac{{\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}\)
\( = \dfrac{{\sqrt 3 + 1}}{2} - 3\sqrt 3 + \sqrt 3 \)\( = \dfrac{{\sqrt 3 + 1 - 4\sqrt 3 }}{2}\)\( = \dfrac{{1 - 3\sqrt 3 }}{2}\)
Và \(B = \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + 2}} + \dfrac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 - 1}} - \dfrac{{3\sqrt 5 }}{{3 + \sqrt 5 }} \)\(= \dfrac{{\left( {5 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} + \dfrac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} - \dfrac{{3\sqrt 5 \left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}}\)
\( = \dfrac{{3\sqrt 5 - 5}}{1} + \dfrac{{5 + \sqrt 5 }}{4} - \dfrac{{9\sqrt 5 - 15}}{4} \)\(= \dfrac{{12\sqrt 5 - 20 + 5 + \sqrt 5 - 9\sqrt 5 + 15}}{4} = \sqrt 5 \)
Ta thấy \(A = \dfrac{{1 - 3\sqrt 3 }}{2} < 0\,\left( {do\,1 - 3\sqrt 3 < 0} \right)\) và \(B = \sqrt 5 > 0\) nên \(A < 0 < B\).
Cho \(A = \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}\) với \(x \ge 0.\) Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.
-
A
\(2\)
-
B
\(1\)
-
C
\(0\)
-
D
\(3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Ta đánh giá giá trị của \(A\) sau đó chọn ra các giá trị nguyên \(A\) có thể đạt được, từ đó tìm \(x.\)
Ta có: \(A = \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{\left( {2\sqrt x + 4} \right) - 5}}{{\sqrt x + 2}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}} - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2 - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}}\)
Ta có: \(x \ge 0 \Rightarrow \sqrt x \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt x + 2 \ge 2 > 0 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} > 0\) suy ra \(2 - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} < 2\) hay \(A < 2\) (1)
Lại có: \(\sqrt x + 2 \ge 2 \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \dfrac{5}{2}\) suy ra \(2 - \dfrac{5}{{\sqrt x + 2}} \ge 2 - \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow A \ge - \dfrac{1}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \( - \dfrac{1}{2} \le A < 2\) mà \(A \in \mathbb{Z} \Rightarrow A \in \left\{ {0;1} \right\}\)
+ Với \(A = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 0 \Rightarrow 2\sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\left( {tm} \right)\)
+ Với \(A = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = 1 \Rightarrow 2\sqrt x - 1 = \sqrt x + 2 \Leftrightarrow \sqrt x = 3 \Leftrightarrow x = 9\left( {tm} \right)\)
Vậy với \(x = \dfrac{1}{4};x = 9\) thì \(A\) đạt giá trị nguyên. Hay có 2 giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài.
Cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$
Rút gọn biểu thức $A$ ta được
-
A
$A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
-
B
$A = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
-
C
$A = \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
-
D
$A = \dfrac{3}{{\sqrt x + 2}}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
- Xác định mẫu thức chung
- Quy đồng mẫu thức các phân thức
-Cộng trừ các phân thức đã quy đồng
Chú ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản đã biết
Ta có $A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{4 - x}}$$ = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \dfrac{{2 + 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$
$ = \dfrac{{x + 3\sqrt x + 2 + 2x - 4\sqrt x - 2 - 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{3x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
Vậy $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$
Tìm $x$ để $A = 2$.
-
A
$12$
-
B
$4$
-
C
$16$
-
D
$25$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
- Sử dụng kết quả câu trước $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ với $x \ge 0;x \ne 4$
- Cho $A=2$ rồi quy đồng mẫu số hoặc nhân chéo để đưa phương trình về dạng cơ bản đã biết
Với $x \ge 0;x \ne 4$ ta có $A = \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$
Xét $A = 2$$ \Leftrightarrow \dfrac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = 2 \Rightarrow 3\sqrt x = 2\left( {\sqrt x + 2} \right) \Leftrightarrow \sqrt x = 4 $
$\Leftrightarrow x = 16\,\,\left( {TM} \right)$
Vậy $x = 16$.
Cho biểu thức
$B = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0;x \ne 1$
Rút gọn biểu thức $B$ ta được
-
A
$B = x - \sqrt x $
-
B
$B = \sqrt x - x$
-
C
$B = \sqrt x + x$
-
D
$B = x + 2\sqrt x $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
- Xác định mẫu thức chung
- Quy đồng mẫu thức các phân thức
-Cộng trừ các phân thức đã quy đồng
Chú ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản đã biết
Ta có $B = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$$ = \left( {\dfrac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 2}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2}$
$ = \left( {\dfrac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{2}$
$ = \dfrac{{x - \sqrt x - 2 - x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right){{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}.{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{2}$$ = \dfrac{{ - 2\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{2} = \sqrt x - x$
Vậy $B = \sqrt x - x$.
Tìm $x$ để $B > 0$
-
A
$x > 1$
-
B
$x < 2$
-
C
$0 < x < 1$
-
D
$x \le 1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
-Đưa về phương trình tích rồi xét các trường hợp
-So sánh với điều kiện rồi kết luận nghiệm
Theo câu trước ta có $B = \sqrt x - x$.
Xét $B > 0$$ \Leftrightarrow \sqrt x - x > 0 \Leftrightarrow \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0$
Với $x \ge 0$, $x \ne 1$ ta có $\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - \sqrt x > 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x < 1\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x \ne 0\end{array} \right.$
Kết hợp điều kiện ta có $0 < x < 1$.
Tìm giá trị lớn nhất của $B$
-
A
$1$
-
B
$2$
-
C
$3$
-
D
$\dfrac{1}{4}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Thêm bớt hạng tử để đưa biểu thức về hằng đẳng thức để đánh giá.
Ta có $B = \sqrt x - x$ với $x \ge 0;x \ne 1$
Khi đó $B = \sqrt x - x = - \left( {x - \sqrt x } \right) = \dfrac{1}{4} - \left( {x - \sqrt x + \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{1}{4} - {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
Nhận thây $\dfrac{1}{4} - {\left( {\sqrt x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{1}{4}$ với $x \ge 0;x \ne 1$
Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \sqrt x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\,\,\left( {TM} \right)$
Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là $\dfrac{1}{4}$ khi và chỉ khi $x = \dfrac{1}{4}$.
Cho biểu thức $C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$
với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$.
Rút gọn biểu thức $C$ ta được
-
A
$C = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 3}}$
-
B
$C = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}}$
-
C
$C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$
-
D
$C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
-Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử
-Quy đồng mẫu thức các phân thức.
-Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn.
Ta có $x - 5\sqrt x + 6 = x - 2\sqrt x - 3\sqrt x + 6 = \sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) - 3\left( {\sqrt x - 2} \right) = \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)$ nên
$C = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$$ = \dfrac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \dfrac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$
$ = \dfrac{{2\sqrt x - 9 - \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + \left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$$ = \dfrac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$
$ = \dfrac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{x - 2\sqrt x + \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right) + \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$
Vậy $C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$
Tìm $x$ để $C < 1$
-
A
$0 \le x < 9$
-
B
$0 \le x < 9;x \ne 4$
-
C
$4 < x < 9$
-
D
$0 < x < 4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
- Chuyển vế, quy đồng các phân thức sau đó xét các trường hợp xảy ra của bất phương trình
-So sánh điều kiện rồi kết luận nghiệm.
Theo câu trước ta có $C = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$ với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$
Để $C < 1$$ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} < 1 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} - \dfrac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{4}{{\sqrt x - 3}} < 0$
Mà $4 > 0$ nên $\sqrt x - 3 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x < 3 \Rightarrow x < 9$
Kết hợp điều kiện $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$ suy ra $0 \le x < 9;x \ne 4$.
Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\)
Rút gọn P.
-
A
\(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)
-
B
\(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}\)
-
C
\(P = \dfrac{{3 + \sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)
-
D
\(P = \dfrac{{ - \sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
- Tìm mẫu thức chung bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử.
- Quy đồng mẫu thức các phân thức.
- Cộng trừ các phân thức đã quy đồng và rút gọn.
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\sqrt {{x^3}} - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \dfrac{{x + 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\ = \left( {\dfrac{{2x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right):\left( {\dfrac{{x + \sqrt x + 1 - x - 4}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\\ = \dfrac{{2x + 1 - x - \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x - 3}}{{x + \sqrt x + 1}}\\ = \dfrac{{x - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}\,\,\,\,\left( {x \ne 9} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}.\end{array}\)
Vậy \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9\)
Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên dương.
-
A
\(x = 1;x = 36\)
-
B
\(x = 16\)
-
C
\(x = 4;x = 6\)
-
D
\(x = 16; x = 36\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng kết quả câu trước \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}\) với \(x \ge 0;x \ne 1;x \ne 9\)
Đưa P về dạng \(P = a + \dfrac{m}{{\sqrt x - 3}}\left( {a;m \in \mathbb{Z}} \right)\), khi đó để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\a + \dfrac{m}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 9\end{array} \right.\)
Ta có: \(P = \dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} = \dfrac{{\sqrt x - 3 + 3}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}}.\)
Để \(P\) nhận giá trị là số nguyên dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \mathbb{Z}\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} \in \mathbb{Z}\\1 + \dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} \in Z\\\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{3}{{\sqrt x - 3}} \in Z\\\dfrac{{3 + \sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {\sqrt x - 3} \right) \in U\left( 3 \right)(1)\\\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} > 0(2)\end{array} \right.\\(1) \Leftrightarrow \left( {\sqrt x - 3} \right) \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x - 3 = 1\\\sqrt x - 3 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 4\\\sqrt x = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 16\,\,\left( {tm} \right)\\x = 36\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy x = 16 hoặc x = 36 thì P nguyên dương.
Tính giá trị của \(A =\dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}\)
-
A
\(A=1-\dfrac{2}{\sqrt{2018}}\)
-
B
\(A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2028}}\)
-
C
\(A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2015}}\)
-
D
\(A=1-\dfrac{1}{\sqrt{2018}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng: \(\dfrac{1}{{k\sqrt {k - 1} + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }} \)\(= \dfrac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt k }}\)
Ta có: \(k\sqrt {k - 1} + \left( {k - 1} \right)\sqrt k \, = \sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k - 1} } \right)\) với \(k \ge 1\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{k\sqrt {k - 1} + \left( {k - 1} \right)\sqrt k }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k - 1} } \right)}} \\= \dfrac{{\left( {\sqrt k - \sqrt {k - 1} } \right)}}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} \left( {\sqrt k + \sqrt {k - 1} } \right)\left( {\sqrt k - \sqrt {k - 1} } \right)}}\\ = \dfrac{{\sqrt k - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt {k\left( {k - 1} \right)} }} \\= \dfrac{{\sqrt k - \sqrt {k - 1} }}{{\sqrt k .\sqrt {k - 1} }} \\= \dfrac{1}{{\sqrt {k - 1} }} - \dfrac{1}{{\sqrt k }}\end{array}\)
Thay lại vào A ta được:
\(A = \dfrac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }}\)\( + ... + \dfrac{1}{{2018\sqrt {2017} + 2017\sqrt {2018} }}\)\(= \,\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 1 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) \)\(+ ..... + \left( {\dfrac{1}{{\sqrt {2017} }} - \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}} \right)\)\(= 1 - \dfrac{1}{{\sqrt {2018} }}\)
Rút gọn biểu thức: \(T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} - 2\sqrt 2 } \right)\left( {a - 1} \right)}}{{a - \sqrt a - 2}}\left( {a > 0;a \ne 4} \right)\)
-
A
\(T = \left( {\sqrt a + 1} \right)\).
-
B
\(T = \left( {\sqrt a - 1} \right)\).
-
C
\(T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a + 1} \right)\).
-
D
\(T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a - 1} \right)\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn.
\(\begin{array}{l}T = \dfrac{{\left( {\sqrt {2a} - 2\sqrt 2 } \right)\left( {a - 1} \right)}}{{a - \sqrt a - 2}}\,\,\,\,\left( {a > 0;a \ne 4} \right)\\ = \dfrac{{\sqrt 2 \left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}\\ = \sqrt 2 \left( {\sqrt a - 1} \right)\end{array}\)
Vậy \(T = \sqrt 2 \left( {\sqrt a - 1} \right)\).