Một tứ giác là hình bình hành nếu nó là:
-
A
Tứ giác có các góc kề bằng nhau.
-
B
Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau .
-
C
Hình thang có hai đường chéo bằng nhau.
-
D
Hình thang có hai đường chéo vuông góc
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Đáp án A là hình thang cân.
+ Đáp án C là hình thang cân.
+ Đáp án D chưa đủ điều kiện để là hình bình hành.
+ Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình bình hành ta thấy một tứ giác là hình bình hành nếu có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên đáp án B đúng.
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là:
-
A
Hình chữ nhật
-
B
Hình thoi
-
C
Hình vuông
-
D
Hình thang
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Theo dấu hiệu nhận biết hình thoi thì hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
Tứ giác có 2 cạnh đối song song và 2 đường chéo bằng nhau là:
-
A
Hình thang
-
B
Hình thang cân
-
C
Hình bình hành
-
D
Hình thoi.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Tứ giác có 2 cạnh đối song song là hình thang. Lại thêm có 2 đường chéo bằng nhau nên tứ giác đó là hình thang cân.
Trong các tứ giác sau, tứ giác nào là hình có \(4\) trục đối xứng?
-
A
Hình chữ nhật
-
B
Hình vuông
-
C
Hình bình hành
-
D
Hình thoi
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Dựa vào tính chất của các hình để suy ra trục đối xứng
+) Hình vuông là tứ giác có 4 trục đối xứng.
+) Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng là hai đường trung trực của các cạnh.
+) Hình bình hành không có trục đối xứng.
+) Hình thoi có 2 trục đối xứng là 2 đường chéo.
Một tam giác đều có độ dài cạnh bằng $14{\rm{ }}cm$ . Độ dài một đường trung bình của tam giác đó là:
-
A
\(34\,cm\)
-
B
\(7\,cm\)
-
C
\(6,5\,cm\)
-
D
\(21\,cm\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Dựa vào tính chất: đường trung bình của tam giác bằng một nửa cạnh đáy.
Độ dài một đường trung bình của tam giác là: \(14:2 = 7\,cm.\)
Cho tứ giác $ABCD,$ có \(\widehat A = {70^0},\) \(\widehat B = {120^0},\) \(\widehat D = {50^0},\) Số đo \(\widehat C\) là:
-
A
\({100^0}\)
-
B
\({105^0}\)
-
C
\({120^0}\)
-
D
\({115^0}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Dựa vào tính chất tổng các góc của một tứ giác bằng \({360^0}\).
Xét tứ giác \(ABCD\) ta có: $\hat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^0}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat C = {360^0} - \left( {\hat A + \widehat B + \widehat D} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {360^0} - \left( {{{70}^0} + {{120}^0} + {{50}^0}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {360^0} - {240^0} = {120^0}.\end{array}$
Hình thang $ABCD$ ($AB\, // \, CD$ ) có số đo góc $D$ bằng ${70^0},$ số đo góc $A$ là:
-
A
${130^0}$
-
B
${90^0}$
-
C
\(110^\circ \)
-
D
${120^0}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Ta sử dụng tính chất của hình thang: Ta thấy góc $A$ và $D$ là hai góc trong cùng phía nên \(\widehat A + \widehat D = {180^0}\) từ đó ta suy ra số đo góc $A.$
Ta có: \(\widehat A + \widehat D = {180^0}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \widehat D\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - {70^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {110^0}\end{array}\)
Một hình thang cân có cạnh bên là $2,5cm;$ đường trung bình là $3\,cm.$ Chu vi của hình thang là:
-
A
$8\,cm.$
-
B
$12\,cm$
-
C
$11,5\,cm.$
-
D
$11\,cm$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Dựa vào tính chất của hình thang cân suy ra hai cạnh bên bằng nhau và bằng 2,5cm.
+ Tổng độ dài hai đáy bằng hai lần độ dài đường trung bình
+ Tổng độ dài hai đáy và độ dài hai cạnh bên là chu vi hình thang cân cần tìm.
Tổng độ dài hai đáy là: \(3.2 = 6(cm)\)
Chu vi hình thang là: \(2,5.2 + 6 = 11(cm)\)
Độ dài một cạnh hình vuông bằng $5\,cm.$ Thì độ dài đường chéo hình vuông đó sẽ là:
-
A
$25\,cm$
-
B
\(5\sqrt 2 \,cm\)
-
C
$10\,cm$
-
D
\(5\,cm\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Áp dụng định lý Py-ta-go để tính độ dài đường chéo hình vuông.
Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $5cm.$
Xét tam giác $ABD$ vuông tại $A,$ theo định lý Pytago ta có:
\(\begin{array}{l}B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {5^2} + {5^2} = 50\\ \Rightarrow BD = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 (cm)\end{array}\)
Hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt bằng $12cm$ và $16cm.$ Độ dài cạnh hình thoi đó là:
-
A
$14{\rm{ }}cm$
-
B
$28{\rm{ }}cm$
-
C
$100\;\;cm$
-
D
$10{\rm{ }}cm$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Dựa vào tính chất của hình thoi để suy ra hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường.
+ Sử dụng định lý Pytago để tính độ dài cạnh hình thoi.
Giả sử hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC = 16cm,{\rm{ }}BD = 12cm$ cắt nhau tại $O.$
Theo tính chất hình thoi ta có $AC$ vuông góc với $BD,{\rm{ }}O$ là trung điểm của $AC,{\rm{ }}BD.$
Do đó: \(OA = \dfrac{1}{2}AC = 16:2 = 8(cm);\,\,\,OB = \dfrac{1}{2}BD = 12:2 = 6(cm)\)
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác $ABO$ vuông tại $O$ ta có:
\(A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {6^2} + {8^2} = 100 \Rightarrow AB = 10(cm)\)
Vậy độ dài cạnh hình thoi là $10\,cm.$
Cho hình thang $ABCD\left( {AB//CD} \right),{\rm{ }}M$ là trung điểm của $AD,{\rm{ }}N$ là trung điểm của $BC.$ Gọi $I,{\rm{ }}K$ theo thứ tự là giao điểm của $MN$ với $BD,{\rm{ }}AC.$ Cho biết $AB = 6cm,{\rm{ }}CD = 14cm.$ Tính độ dài $MI,{\rm{ }}IK.$
-
A
\(MI = 4cm;IK = 7cm.\)
-
B
\(MI = 4cm;IK = 3cm.\)
-
C
\(MI = 3cm;IK = 7cm.\)
-
D
\(MI = 3cm;IK = 4cm.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác để tính độ dài $MI,{\rm{ }}MK.$ Từ đó suy ra độ dài $IK.$
- Hình thang $ABCD$ có:
$\left. \begin{array}{l}{\rm{AM}} = {\rm{MD(gt)}}\\{\rm{BN}} = {\rm{NC (gt)}}\end{array} \right\} \Rightarrow $$MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD.$
\( \Rightarrow \) $MN//AB//CD$ (tính chất).
- Tam giác $ABD$ có: $\left. \begin{array}{l}{\rm{AM }} = {\rm{ MD}}\\MI//AB\end{array} \right\} \Rightarrow $$ID = IB$ (định lý đảo về đường trung bình của tam giác).
\( \Rightarrow \) $MI$ là đường trung bình của $\Delta ADB$ $ \Rightarrow MI = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}.6 = 3(cm)$
- Tương tự tam giác \(ACD\) có: $AM = MD,{\rm{ }}MK//DC$ nên $AK = KC,$ hay ${\rm{ }}MK$ là đường trung bình của tam giác $ACD$, ta có:
$MK = \dfrac{1}{2}CD = \dfrac{1}{2}.14 = 7(cm)$
\( \Rightarrow \) $IK = MK - MI = 7 - 3 = 4\left( {cm} \right)$
Vậy \(MI = 3cm;IK = 4cm.\)
Cho hình bình hành \(ABCD\) có $DC = 2BC$. Gọi $E,F$ là trung điểm của $AB,DC$. Gọi $AF$ cắt $DE$ tại $I,{\rm{ }}BF$ cắt $CE$ tại $K.$
Chọn câu đúng nhất.
-
A
Tứ giác \(DEBF\) là hình bình hành.
-
B
Tứ giác \(AEFD\) là hình thoi
-
C
Tứ giác \(EBCF\) là hình vuông
-
D
Cả A, B đều đúng.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+ Chỉ ra các cặp cạnh song song và bằng nhau
+ Sử dụng các dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình thoi, hình vuông
Xét hình bình hành \(ABCD\) có \(E;F\) lần lượt là trung điểm của \(AB;CD\); \(DC = 2BC\) nên
\(AE = EB = BC = CF = DF = AD\) ;\(AB//CD;\,AD//BC\)
Xét tứ giác \(DEBF\) có \(\left\{ \begin{array}{l}EB//DF\\EB = DF\end{array} \right.\) nên \(DEBF\) là hình bình hành (dhnb)
Xét tứ giác \(AEFD\) có \(AE = DF;AE//DF\) nên \(AEFD\) là hình bình hành (dhnb), lại có \(AE = AD\) nên hình bình hành \(AEFD\) là hình thoi.
Tương tự ta cũng có \(EBCF\) là hình thoi. Nhận thấy chưa đủ điều kiện để \(EBCF\) là hình vuông.
Nên A, B đúng, C sai.
Tứ giác $EIFK$ là hình gì?
-
A
Hình chữ nhật
-
B
Hình thoi
-
C
Hình vuông
-
D
Cả A, B, C đều sai
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Chứng minh $EIFK$ là hình bình hành dựa vào dấu hiệu tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau.
Tìm thêm tính chất của hình bình hành $EIFK$ để sử dụng dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông.
Theo câu trước ta có tứ giác \(BEDF\) là hình bình hành nên \(ED = BF;\,ED//BF \Rightarrow EI//FK\,\left( 1 \right)\)
Theo câu trước ta có tứ giác \(AEDF\) và \(BEFC\) là hình thoi nên \(I;K\) lần lượt là trung điểm của \(DE\) và \(BF\)
Suy ra \(EI = \dfrac{{DE}}{2};\,FK = \dfrac{{BF}}{2}\) mà \(DE = BF\left( {cmt} \right) \Rightarrow EI = FK\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \(EIFK\) là hình bình hành.
Mà \(AEDF\) là hình thoi nên \(AF \bot DE\) (tính chất hình thoi)\( \Rightarrow \widehat {EIF} = 90^\circ \)
Hình bình hành \(EIFK\) có một góc vuông \(\widehat {EIF} = 90^\circ \) nên \(EIFK\) là hình chữ nhật.
Hình bình hành $ABCD$ có thêm điều kiện gì thì $EIFK$ là hình vuông ?
-
A
\(AD = AC\)
-
B
\(ABCD\) là hình thoi
-
C
\(\widehat {ADC} = 60^\circ \)
-
D
\(ABCD\) là hình chữ nhật.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Dựa vào dấu hiệu nhận biết: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông để suy ra điều kiện của hình bình hành \(ABCD.\)
Ta có $EIFK$ là hình chữ nhật (theo câu trước).
Để hình chữ nhật $EIFK$ là hình vuông $ \Leftrightarrow IE = {\rm{IF}}\left( 1 \right)$.
Mà \(I\) là giao điểm hai đường chéo \(DE;AF\) của hình thoi\(AEFD\) nên $IE = \dfrac{1}{2}DE;{\rm{IF = }}\dfrac{1}{2}{\rm{AF}} \Rightarrow {\rm{DE = AF}}$
Mặt khác ta có $AEFD$ là hình thoi (chứng minh ở câu trước) (2).
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow AEFD$ là hình vuông $ \Rightarrow AD \bot DC$.
Suy ra hình bình hành \(ABCD\) phải là hình chữ nhật thì \(EIFK\) là hình vuông.
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A,$ trung tuyến $AM.$ Gọi $I$ là trung điểm của $AC,{\rm{ }}K$ là điểm đối xứng với $M$ qua $I.$
Tứ giác $AMCK$ là hình gì?
-
A
Hình chữ nhật
-
B
Hình thoi
-
C
Hình vuông
-
D
Cả A, B, C đều sai
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Chứng minh $AKCM$ là hình bình hành dựa vào dấu hiệu hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường
+ Tìm thêm tính chất của \(AKCM\) để sử dụng dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông.
\(\Delta ABC\) cân tại $A$ có $AM$ là trung tuyến nên $AM$ đồng thời là đường cao\( \Rightarrow AM \bot BC \Rightarrow \widehat {AMC} = {90^0}.\) (1)
Xét tứ giác $AMCK$ có: $AC$ cắt $MK$ tại $I,$ mà $AI = IC,MI = IK\;$ (gt)
\( \Rightarrow \) Tứ giác $AMCK$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) $AMCK$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).
Tứ giác $AKMB$ là hình gì?
-
A
Hình chữ nhật
-
B
Hình thoi
-
C
Hình vuông
-
D
Hình bình hành
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Dựa vào dấu hiệu tứ giác có một cặp cạnh song song và bằng nhau.
Tứ giác $AMCK$ là hình chữ nhật (theo câu trước)
\( \Rightarrow \) $AK//CM$ \( \Rightarrow \)$AK//BM$ (3)
mà $AK = MC{\rm{ }}(AMCK$ là hình chữ nhật) và $MC = MB$ (gt)
\( \Rightarrow \)$AK = BM$ (4)
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \)Tứ giác $AKMB$ là hình bình hành. (dấu hiệu nhận biết)
Tìm điều kiện của tam giác $ABC$ để tứ giác $AMCK$ là hình vuông?
-
A
Tam giác $ABC$ đều
-
B
\(\widehat {ABC} = 30^\circ \)
-
C
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A.$
-
D
\(\widehat {BAC} = 30^\circ \)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Để $AMCK$ là hình vuông ta dựa vào dấu hiệu hình chữ nhật có hai cạnh bên bằng nhau là hình vuông, từ đó suy ra điều kiện của tam giác $ABC.$
Theo câu trước thì \(AKCM\) là hình chữ nhật.
Để hình chữ nhật $AMCK$ là hình vuông thì $AM = MC$
Mà $AM$ là đường trung tuyến của tam giác cân $ABC$
\( \Rightarrow AM = MC = \dfrac{1}{2}BC \Rightarrow \) Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A.$
Cho hình bình hành $ABCD$ có $BC = 2AB\;$ và $\widehat A = 60^\circ $ . Gọi $E,F\;$ theo thứ tự là trung điểm của $BC$ và $AD.$ Gọi $I$ là điểm đối xứng với $A$ qua $B.$
Tứ giác $BICD$ là hình gì?
-
A
Hình chữ nhật
-
B
Hình thoi
-
C
Hình vuông
-
D
Hình bình hành
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Chứng minh \(BICD\) là hình bình hành
+ Tìm thêm tính chất của \(BICD\) để sử dụng dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông
Do $AB//CD$ (giả thiết) nên $BI//CD$
Mặt khác $BI = AB$ (giả thiết); $AB = CD$ (giả thiết)
$ \Rightarrow BI = CD$
Vậy $BICD$ là hình bình hành (dhnb) (1)
Theo giả thiết ta có \(BI = AB = AF = FD \Rightarrow AI = AD\) mà \(\widehat {IAD} = 60^\circ \) (gt) nên tam giác \(ADI\) đều.
Xét tam giác $ADI$ đều có $BD$ là trung tuyến đồng thời là đường cao.
$ \Rightarrow \widehat {DBI} = 90^\circ $ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $BICD$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).
Số đo góc $AED$ là:
-
A
\(45^\circ \)
-
B
\(60^\circ \)
-
C
\(90^\circ \)
-
D
\(100^\circ \)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng tính chất hình chữ nhật
Sử dụng tính chất tam giác đều
Theo câu trước ta có \(BICD\) là hình chữ nhật lại có \(E\) là trung điểm của \(BC\) (gt) nên \(E\) cũng là trung điểm của \(ID.\)
Mà tam giác \(ADI\) đều (theo câu trước) có \(AE\) là đường trung tuyến nên \(AE\) cũng là đường cao, suy ra \(AE \bot BD \Rightarrow \widehat {AED} = 90^\circ .\)
Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}DA.$ Hai đường chéo $AC$ và $BD$ phải thỏa mãn điều kiện gì để $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$ là bốn đỉnh của hình vuông.
-
A
\(BD = AC\)
-
B
\(BD \bot AC\)
-
C
\(BD\) tạo với \(AC\) góc \(60^\circ \)
-
D
\(BD = AC;BD \bot AC\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Chứng minh \(MNPQ\) là hình bình hành
Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình vuông để tìm ra điều kiện của hai đường chéo $AC$ và $BD$ tương ứng.
Xét tam giác $ABD$ có:
$M$ là trung điểm của $AB$ (gt)
$Q$ là trung điểm của $AD$ (gt)
\( \Rightarrow \) $QM$ là đường trung bình của tam giác $ABD.$ (định lý)
Do đó $QM//BD$ và \(QM = \dfrac{1}{2}BD\) (1)
Tương tự ta cũng có $NP$ là đường trung bình của tam giác $BCD.$
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}NP//BD\\NP = \dfrac{1}{2}BD\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Từ (1) và (2) ta suy ra $MNPQ$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Tương tự ta cũng có $MN$ là đường trung bình của tam giác $BAC$ nên $MN//AC$ và \(MN = \dfrac{1}{2}AC\)
Để hình bình hành $MNPQ$ là hình vuông \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN \bot NP\\MN = NP\end{array} \right.\)
+ Để \(MN \bot NP \Leftrightarrow AC \bot BD\) (vì $MN//AC,{\rm{ }}NP//BD$ )
+ Để \(MN = NP \Leftrightarrow AC = BD\) (vì \(MN = \dfrac{1}{2}AC,NP = \dfrac{1}{2}BD\) )
Vậy điều kiện cần tìm để $MNPQ$ là hình vuông là \(BD = AC;BD \bot AC.\) .
Cho tam giác $ABC.$ Gọi $D,E,F\;$ theo thứ tự là trung điểm của $AB,BC,CA.$ Gọi $M,N,P,Q$ theo thứ tự là trung điểm của $AD,AF,EF,ED.\;$
$\Delta ABC$ có điều kiện gì thì $MNPQ$ là hình chữ nhật?
-
A
$\Delta ABC$ cân tại $A$
-
B
$\Delta ABC$ cân tại $B$
-
C
$\Delta ABC$ cân tại $C$
-
D
$\Delta ABC$ vuông tại $A$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Chứng minh \(MNPQ\) là hình bình hành
Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật để suy ra điều kiện của tam giác \(ABC.\)
Xét $\Delta ADE$ có: $AM = DM;DQ = EQ$ nên $MQ$ là đường trung bình của $\Delta ADE$ .
$ \Rightarrow MQ//AE;MQ = \dfrac{1}{2}AE$
Xét$\;\Delta AEF$ có: $AN = NF;FP = PE$ (giả thiết) nên $NP$ là đường trung bình của $\Delta AFE$.
$ \Rightarrow NP//AE;NP = \dfrac{1}{2}AE$
Suy ra $MQ//NP $ ( cùng $//AE$ ) và $MQ = NP(= \dfrac{1}{2}AE)$
Tứ giác $MNPQ$ có: $MQ//NP$ và $MQ = NP$ nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Để $MNPQ$ là hình chữ nhật thì $MN \bot NP$ (1)
Ta có: $NP//AE$ (chứng minh trên) (2).
Ta lại có: $AM = MD,AN = NF$ (giả thiết)
$ \Rightarrow MN//DF$.
Mặt khác: $AD = DB,AF = FC$ (giả thiết)
$ \Rightarrow DF//BC$
Vậy $MN//BC$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: $AE \bot BC$ .
Mà $BE = EC$ (giả thiết)
Do đó $\Delta ABC$ cân tại $A$ (do \(AE\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến).
Cho tam giác $ABC$ \(\left( {\widehat {A\,\,} < {{90}^0}} \right)\). Về phía ngoài của tam giác $ABC$ dựng các hình vuông $ABDE,{\rm{ }}ACFG.$ Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $DF.$ Chọn câu đúng.
-
A
Tam giác $MBC$ vuông cân tại $M.$
-
B
Tam giác $MBC$ cân tại $B.$
-
C
Tam giác $MBC$ cân tại $C.$
-
D
Tam giác $MBC$ đều.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Vẽ thêm điểm $H$ sao cho tam giác $BHC$ vuông cân đỉnh $B,{\rm{ }}H$ thuộc nửa mặt phẳng bờ $BC$ có chứa điểm $A.$
+ Chứng minh $M$ là trung điểm của $HC$
+ Chứng minh $MB$ vuông góc với $MC$ để suy ra tính chất tam giác \(MBC\) .
Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ có chứa $A$ dựng tam giác $BHC$ vuông cân đỉnh $B.$
Xét tam giác $BHD$ và tam giác $BCA$ có:
$DB = BA$ (Vì $ADBE$ là hình vuông)
\(\widehat {DBH} = \widehat {ABC}\) (vì cùng phụ với góc $HBA$ )
$BH = BC$ (vì tam giác $BHC$ vuông cân đỉnh $B$ )
Do đó: \(\Delta BHD = \Delta BCA\,\,(c.g.c)\), suy ra \(DH = AC,\widehat {BHD} = \widehat {BCA}\).
$AC$ cắt $HD$ tại $K,$ cắt $BH$ tại $I.$
Xét tam giác $IHK$ và tam giác $ICB$ có: \(\widehat {HIK} = \widehat {CIB}\) (đối đỉnh), \(\widehat {BHD} = \widehat {BCA}\), do đó \(\widehat {HKI} = \widehat {IBC} = {90^0} \Rightarrow KC \bot DH\)
Mặt khác \(KC \bot CF\), do đó $DH//CF$ .
Ta có $DH = CF{\rm{ }}\left( { = AC} \right)$ và $DH//CF$ nên $DHFC$ là hình bình hành.
Mà $M$ là trung điểm của $DF$ nên $M$ là trung điểm của $HC,$ suy ra tam giác $MBC$ vuông cân đỉnh $M.$
Cho hình vuông $ABCD,{\rm{ }}E$ là một điểm trên cạnh $CD.$ Tia phân giác của góc $BAE$ cắt $BC$ tại $M.$ Chọn câu đúng.
-
A
\(AM = ME\)
-
B
\(AM < ME\)
-
C
\(AM \le 2ME\)
-
D
\(AM > 2ME\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Vẽ $EF \bot AM(F \in AB)$
Chứng minh $EF = AM.$
Chứng minh tam giác $AEF$ cân đỉnh$A.$
Chỉ ra $ME = MF.$
Xét ba điểm $M,{\rm{ }}E,{\rm{ }}F$ ta có: \(EF \le ME + MF\) để suy ra hệ thức đúng.
Vẽ $EF \bot AM(F \in AB),EG \bot AB(G \in AB)$.
Tứ giác $AGED$ là hình chữ nhật( vì \(\widehat G = \widehat A = \widehat D = {90^0}\) ), suy ra $GE = AD.$
Lại thấy \(\widehat {FEG} = \widehat {MAB}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {AFE}\) )
Xét \(\Delta GEF\) và \(\Delta BAM\)có: \(\widehat {EGF} = \widehat {ABM} = {90^0}\); $GE = AB{\rm{ }}\left( { = CD} \right);$\(\widehat {FEG} = \widehat {MAB}\)
Do đó \(\Delta GEF = \Delta BAM\)(g.c.g) suy ra $EF = AM.$
Tam giác $AEF$ có $AM$ là đường phân giác và là đường cao nên tam giác $AEF$ cân đỉnh $A.$
Ta có $AM$ là đường trung trực của $EF,$ nên $ME = MF.$
Xét ba điểm $M,{\rm{ }}E,{\rm{ }}F$ ta có: \(EF \le ME + MF \Leftrightarrow EF \le 2ME\). Do đó \(AM \le 2ME\).