1. Lý thuyết
+ Định nghĩa: Tập hợp con
Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con (tập con) của B.
+ Kí hiệu
\(A \subset B\) (đọc là A chứa trong B) hoặc \(B \supset A\)(đọc là B chứa A).
+ Nhận xét:
· \(A \subset A\) và \(\emptyset \subset A\) với mọi tập A.
· Nếu A không là tập con của B thì ta viết \(A \not\subset B\)
· Nếu \(A \subset B\) hoặc \(A \subset B\) thì ta nói A và B có quan hệ bao hàm.
+ Số tập hợp con:
Cho tập hợp A có n phần tử, khi đó số tập hợp con của A là: \({2^n}\)
+ Biểu đồ Ven:
Người ta thường minh họa tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một đường kín.
Theo cách này, ta có thể minh họa A là tập con của B như sau:
+ Mối quan hệ giữa các tập hợp số
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)
+ Kiểm tra A là tập con của B
\(A \subset B \Leftrightarrow \forall x \in A\) suy ra \(x \in B\)
\(A \not\subset B \Leftrightarrow \exists x \in A:x \notin B\)
+ Định nghĩa: Hai tập hợp bằng nhau
Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau nếu mỗi phần tử của A cũng là phần tử của tập hợp B và ngược lại.
+ Kí hiệu: \(A = B\)
+ Nhận xét: \(A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \subset B\\B \subset A\end{array} \right.\)
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ về tập hợp con
Cho tập hợp \(A = \{ 2;3;7\} \)
Các tập \(B = \{ 2\} ,C = \{ 2;7\} \) là các tập con của A. Kí hiệu: \(B \subset A\), \(C \subset A\)
Các tập \(D = \{ 4;5\} ,E = \{ 0\} \) không là tập con của A. Kí hiệu: \(D \not\subset A\), \(E \not\subset A\)
Ví dụ về hai tập hợp bằng nhau
C là tập hợp các hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.
D là tập hợp các hình vuông
Ta có: \(C \subset D\) và \(D \subset C\) nên \(C = D\)
