1. Lý thuyết
+ Kí hiệu \(\forall \) đọc là “với mọi”
+ Kí hiệu \(\exists \) đọc là “tồn tại”
+ Mệnh đề “\(\forall x \in X,P(x)\)”
Đúng nếu với mọi \({x_0} \in X\), \(P({x_0})\) là mệnh đề đúng.
Sai nếu có \({x_0} \in X\) sao cho \(P({x_0})\) là mệnh đề sai.
+ Mệnh đề “\(\exists x \in X,P(x)\)”
Đúng nếu có \({x_0} \in X\) sao cho \(P({x_0})\) là mệnh đề đúng.
Sai nếu mọi \({x_0} \in X\) ta có \(P({x_0})\) là mệnh đề sai.
+ Mệnh đề phủ định
Phủ định của mệnh đề \(\forall x \in X,P(x)\) là \(\exists x \in X,\overline {P(x)} \).
Phủ định của mệnh đề \(\exists x \in X,P(x)\) là \(\forall x \in X,\overline {P(x)} \).
2. Ví dụ minh họa
A: “Mọi số tự nhiên đều không âm”
B: “Với mọi số thực x, \(\sqrt x \) là số vô tỉ”
C: “Có số tự nhiên n sao cho \(n(n + 2)\) là số chính phương”
+ Viết lại các mệnh đề, sử dụng kí hiệu \(\forall ,\;\exists \)
A: “\(\forall n \in \mathbb{N},n \ge 0\)”
B: “\(\forall x \in \mathbb{R}|\sqrt x \) là số vô tỉ”
C: “\(\exists n \in \mathbb{N}|n(n + 3)\) là số chính phương”
+ Xét tính đúng sai:
Mệnh đề A đúng.
Mệnh đề B sai vì \(x = 1 \in \mathbb{R},\sqrt x = 1\) không là số vô tỉ.
Mệnh đề C đúng, vì \(n = 1\) thì \(n(n + 3) = 4\) là số chính phương.
