Phương pháp giải:

- Nếu a chia cho 2 dư 1 thì chữ số tận cùng của nó bằng 1 ; 3; ;5 ; 7 hoặc 9

- Nếu a chia cho 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của nó bằng 1 hoặc 6 ; dư 2 thì chữ số tận cùng bằng 2 hoặc 7; dư 3 thì chữ số tận cùng là 3 hoặc 8 và dư 4 thì chữ số tận cùng bằng 4 hoặc 9. 

- Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của chúng chia hết cho 2

  Cũng có tính chất tương tự đối với các trường hợp khi chia cho 3 ; 4 ; 5 hoặc 9.

- Nếu a chia cho b dư b - 1 thì a + 1 chia hết cho b.

- Nếu a chia cho b dư 1 thì a - 1 chia hết cho b

Ví dụ 1: Thay x và y bởi những chữ số thích hợp để nhận được số tự nhiên N = $\overline {x459y} $ mà khi chia cho 2 ; 5 và 9 đều dư 1.

Giải

N chia cho 5 dư 1 nên y = 1 bằng 1 hoặc 6.

Mặt khác, N chia 2 dư 1 nên y = 1. Thay vào ta được N = $\overline {x4591} $

N chia cho 9 dư 1 nên x + 4 + 5 + 9 + 1 = x + 19 chia cho 9 dư 1. Suy ra x = 0 hoặc 9. Mà x không thể bằng 0 nên x = 9.

Vậy x = 9 ; y = 1 và N = 94591.

 

Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên bé nhất khác 1 sao cho khi chia số đó cho 3 ; 4 ;5 và 7 đều dư 1.

Giải:

Gọi số cần tìm là a.

Theo đề bài, a chia cho 3; 4; 5; 7 đều dư 1 nên b = a - 1 chia hết cho 3; 4; 5; 6; 7.

b chia hết cho 4 và 5 nên b có tận cùng là 0.

- Trường hợp b có 1 chữ số: b = 0 Suy ra a = 1 (loại vì số phải tìm lớn hơn 1)

- Trường hợp b có 2 chữ số: b có tận cùng bằng 0 và chia hết cho 7 nên b = 70 (loại vì 70 không chia hết cho 3).

- Trường hợp b có 3 chữ số: b có tận cùng là 0, vậy b = $\overline {xy0} $

+ Vì b chia hết cho 4 nên y bằng 0; 2; 4; 6 hoặc 8;

+ Số $\overline {xy0} $ chia hết cho 7 nên b có thể là: 140; 280; 420; 560; 700; 840 hoặc 980.

Trong các số trên chỉ có 420 và 840 chia hết cho 3 nên b bằng 420 hoặc 840

Suy ra a bằng 421 hoặc 841.

Vậy số bé nhất khi chia số đó cho 3 ; 4 ;5 và 7 đều dư 1 là 421.

 

Ví dụ 3: Hãy viết thêm vào bên trái và bên phải số 35 mỗi bên một chữ số để nhận được số chẵn lớn nhất có bốn chữ số khác nhau mà khi chia cho 3 dư 2, cho 5 dư 3.

Giải

Gọi chữ số viết thêm vào bên trái là a, bên phải là b. Số cần tìm có dạng n = $\overline {a35b} $.

Vì n chia cho 5 dư 3 nên b bằng 3 hoặc 8.

Mặt khác n là số chẵn nên b = 8. Thay vào ta được n = $\overline {a358} $

Vì n chia cho 3 dư 2 nên a + 3 + 5 + 8 = a + 16 chia cho 3 dư 2.

Suy ra a bằng 1 ; 4 hoặc 7.

Số lớn nhất cần tìm là 7358.

 

Ví dụ 4: Tổng số học sinh khối lớp Một của một trường tiểu học là số có ba chữ số có chữ số hàng trăm là 3. Nếu các em xếp hàng 10 hoặc hàng 12 đều dư 8, mà xếp hàng 8 thì không dư. Tính số học sinh khối lớp 1 của trường đó?

Giải

Theo đề bài, số học sinh khối lớp Một của trường có dạng $\overline {3ab} $.

Các em xếp hàng 10 dư 8 vậy b = 8. Thay vào ta được số $\overline {3a8} $

Mặt khác, các em xếp hàng 12 dư 8, nên số $\overline {3a8} $ - 8 = $\overline {3a0} $ phải chia hết cho 12. Suy ra a bằng 0 hoặc 6.

Vì 308 không chia hết cho 8 nên số học sinh khối lớp Một của trường đó là 368 em.