Đề bài
Bài 1 (1,5 điểm): Thực hiện các phép tính:
a) \(2x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {5 - 2x} \right)\) b) \(\left( {20{x^2}{y^2} - 5{x^2}y + 15{x^2}{y^3}} \right):5{x^2}y\)
Bài 2 (2 điểm): Phâ tích đa thức thành nhân tử:
a) \(5\left( {x - y} \right) - x\left( {x - y} \right)\) b) \({x^2} - {y^2} + 5x - 5y\)
c) \(1 - 8x + 16{x^2} - {y^2}\) d) \(5{x^2}y - 35xy + 60y\)
Bài 3 (1,0 điểm): Tìm \(x\), biết:
a) \({\left( {x - 5} \right)^2} - x\left( {x + 2} \right) = 5\) b) \(8x\left( {x - 5} \right) - 2x + 10 = 0\)
Bài 4 (1,5 điểm): Nhân dịp nhà sách khuyến mãi \(20\% \) cho tất cả các mặt hàng, bạn Hà mua một cái cặp giá \(300,000\) đồng, một cuốn sách giá \(120,000\) đồng (số tiền cặp và sách chưa được giảm giá). Em hãy tính số tiền của cặp và sách mà bạn Hà phải trả sau khi được giảm giá.
Bài 5 (1,5 điểm): Nhà ông Hùng có một cái sân hình chữ nhật rộng \(8m\), dài \(10m\). Ông Hùng dự định lát gạch trên toàn bộ mặt sân bằng những viên gạch hình vuông cạnh \(40cm\). Biết giá mỗi viên gạch là \(60,000\) đồng (diện tích vữa để gắn kết các viên gạch không đáng kể).
a) Tính diện tích sân nhà ông Hùng.
b) Hỏi ông Hùng cần chuẩn bị bao nhiêu tiền để mua gạch?
Bài 6 (2,5 điểm): Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\,\,\left( {AC < BC} \right)\), gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Kẻ \(IE \bot BC\) tại \(E\), kẻ \(IF \bot AC\) tại \(F\).
a) Chứng minh tứ giác \(CEIF\) là hình chữ nhật.
b) Gọi \(H\) là điểm đối xứng của \(I\) qua \(F\). Chứng minh rằng tứ giác \(CHFE\) là hình bình hành.
c) \(CI\) cắt \(BF\) tại \(G\), \(O\) là trung điểm của \(FI\). Chứng minh ba điểm \(A,\,\,O,\,\,G\) thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
Bài 1:
Phương pháp:
a) Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức.
b) Áp dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức.
Cách giải:
\(\begin{array}{l}a)\,\,\,2x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 2} \right)\left( {5 - 2x} \right)\\ = \left( {2{x^2} - 6x} \right) + \left( {5x - x.2x - 2.5 + 4x} \right)\\ = \left( {2{x^2} - 6x} \right) + \left( {5x - 2{x^2} - 10 + 4x} \right)\\ = 2{x^2} - 6x + 5x - 2{x^2} - 10 + 4x\\ = 3x - 10\end{array}\) \(\begin{array}{l}b)\,\,\,\,\left( {20{x^2}{y^2} - 5{x^2}y + 15{x^2}{y^3}} \right):5{x^2}y\\ = 20{x^2}{y^2}:5{x^2}y - 5{x^2}y:5{x^2}y + 15{x^2}{y^3}:5{x^2}y\\ = 4y - 1 + 3{y^2}\\ = 3{y^2} + 4y - 1\end{array}\)
Bài 2:
Phương pháp:
a) Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung.
b) Áp dụng phương pháp nhóm hạng tử, dùng hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung.
c) Áp dụng phương pháp nhóm hạng tử, dùng hằng đẳng thức.
d) Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung.
Cách giải:
Phân tích các đa thức thành nhân tử:
a) \(5\left( {x - y} \right) - x\left( {x - y} \right)\)\( = \left( {5 - x} \right)\left( {x - y} \right)\)
b) \({x^2} - {y^2} + 5x - 5y\)\( = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right) + 5\left( {x - y} \right)\)\( = \left( {x - y} \right)\left( {x + y + 5} \right)\)
c) \(1 - 8x + 16{x^2} - {y^2} = {\left( {4x - 1} \right)^2} - {y^2}\)\( = \left( {4x - y - 1} \right)\left( {4x + y - 1} \right)\)
d) \(5{x^2}y - 35xy + 60y\)\( = 5y\left( {{x^2} - 7x + 12} \right)\)\( = 5y\left( {{x^2} - 3x - 4x + 12} \right)\)
\( = 5y\left[ {x\left( {x - 3} \right) - 4\left( {x - 3} \right)} \right]\) \( = 5y\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right).\)
Bài 3:
Phương pháp:
a) Khai triển hằng đẳng thức, áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức.
b) Áp dụng quy tắc nhóm hạng tử, đặt nhân tử chung.
Cách giải:
\(\begin{array}{l}a)\,\,\,{\left( {x - 5} \right)^2} - x\left( {x + 2} \right) = 5\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 10x + 25} \right) - \left( {{x^2} + 2x} \right) = 5\\ \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 25 - {x^2} - 2x = 5\\ \Leftrightarrow - 12x = - 20\\ \Leftrightarrow x = \frac{5}{3}\end{array}\)
Vậy \(x = \frac{5}{3}\).
\(\begin{array}{l}b)\,\,8x\left( {x - 5} \right) - 2x + 10 = 0\\ \Leftrightarrow 8x\left( {x - 5} \right) - \left( {2x - 10} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 8x\left( {x - 5} \right) - 2\left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8x - 2} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x - 2 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\x = 5\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(x \in \left\{ {\frac{1}{4};\,\,5} \right\}\).
Bài 4:
Phương pháp:
Áp dụng quy tắc tìm giá trị phần trăm của một số cho trước: Tính giá tiền của cái cặp và cuốn sách sau khi giảm.
Cách giải:
Giá tiền một cái cặp sau khi giảm giá là:
\(300\,000.\left( {100\% - 20\% } \right) = 240\,000\) (đồng)
Giá tiền một cuốn sách sau khi được giảm giá là:
\(120\,000.\left( {100\% - 20\% } \right) = 96\,000\) (đồng)
Số tiền mà bạn Hà phải trả là:
\(240\,000 + 96\,000 = 336\,000\) (đồng)
Vậy bạn Hà cần phải trả \(336\,000\) đồng để mua cặp và sách sau khi được giảm giá.
Bài 5:
Phương pháp:
a) Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật, diện tích hình vuông.
b) Số viên gạch cần dùng = Diện tích sân : Diện tích 1 viên gạch.
Số tiền ông Hùng cần chuẩn bị = Số tiến 1 viên gạch x Số viên gạch cần dùng.
Cách giải:
a) Diện tích sân nhà ông Hùng là: \(10.8 = 80\,\,\,\left( {{m^2}} \right).\)
b) Diện tích của một viên gạch hình vuông là: \(40.40 = 1600\,\,\left( {c{m^2}} \right) = 0,16\,\,\left( {{m^2}} \right).\)
Số viên gạch cần dùng là: \(80:0,16 = 500\) (viên gạch)
Ông Hùng cần chuẩn bị số tiền là: \(60\,000.500 = 30\,000\,000\)(đồng)
Vậy ông Hùng cần chuẩn bị 30 triệu đồng để mua gạch.
Bài 6:
Phương pháp:
a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.
b) Áp dụng tính chất của hình chữ nhật, hai điểm đối xứng nhau qua một điểm.
c) Áp dụng định lý đường trung bình trong tam giác; Dấu hiệu nhận biết, tính chất hình bình hành; Tính chất hình chữ nhật.
Cách giải:
a) Chứng minh tứ giác \(CEIF\) là hình chữ nhật.
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) nên \(\angle C = {90^0}\).
Ta lại có: \(IE \bot BC\,\,\,\left( {gt} \right)\) tại \(E\) và \(IF \bot BC\,\,\,\left( {gt} \right)\) tại \(F\).
\( \Rightarrow \angle E = {90^0},\,\,\angle F = {90^0}\)
Xét tứ giác \(IFCE\) ta có: \(\angle C = \angle E = \angle F = {90^0}\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(IFCE\) là hình chữ nhật (dhnb).
b) Gọi \(H\) là điểm đối xứng của \(I\) qua \(F\). Chứng minh rằng tứ giác \(CHFE\) là hình bình hành.
Vì tứ giác \(IFCE\) là hình chữ nhật nên \(IF = CE\) và \(IF\,{\rm{//}}\,CE\).
Vì \(H\) là điểm đối xứng của \(I\) qua \(F\) nên \(IF = HF\) và \(H,\,\,F,\,\,I\) thẳng hàng.
\( \Rightarrow CE = HF\,\,\left( { = FI} \right)\) và \(CE\,{\rm{//}}\,HF\,.\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(CHFE\) là hình bình hành (dhnb).
c) \(CI\) cắt \(BF\) tại \(G\), \(O\) là trung điểm của \(FI\). Chứng minh ba điểm \(A,\,\,O,\,\,G\) thẳng hàng.
*) Chứng minh \(A,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng
Xét tam giác \(ABC\) ta có:
\(I\) là trung điểm của \(AB\,\,\,\left( {gt} \right)\)
\(IF\,{\rm{//}}\,BC\)(do \(CEIF\) là hình chữ nhật)
\( \Rightarrow F\) là trung điểm \(AC\) (định lý đảo).
Chứng minh tương tự ta được \(E\) là trung điểm của \(BC\).
\( \Rightarrow BF,\,\,AE\) là các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)
Mà \(CI\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) và \(BF \cap CI = \left\{ G \right\}\).
\( \Rightarrow \)\(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).
\( \Rightarrow A,\,\,G,\,\,E\) thẳng hàng (1)
*) Chứng minh \(A,\,\,O,\,\,E\) thẳng hàng
Vì \(CEIF\) là hình chữ nhật (cmt) \( \Rightarrow IE = CF\) (tính chất hình chữ nhật)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}AF = FC\,\,\,\left( {cmt} \right)\\IE = FC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AF = IE\\AF\,{\rm{//}}\,IE\end{array} \right\} \Rightarrow \) Tứ giác \(AFEI\) là hình bình hành.
Mà \(O\) là trung điểm của \(IF\) \( \Rightarrow O\) cũng là trung điểm của \(AE\).
\( \Rightarrow A,\,\,O,\,\,E\) thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(A,\,\,O,\,\,G\) thẳng hàng.
