Đề bài
Câu 1 (3,0 điểm): Giải các phương trình :
a) \({\left( {x - 5} \right)^2} + 3\left( {x - 5} \right) = 0\)
b) \(\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{5x + 2}}{7} = x + 13\)
c) \(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{7x - 6}}{{4 - {x^2}}}\)
Câu 2 (3,0 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một xe máy đi từ \(A\) đến \(B\) với vận tốc và thời gian dự định trước. Sau khi đi được nửa quãng đường, xe tăng vận tốc thêm \(10\,km/h\), vì vậy xe máy đi đến \(B\) sớm hơn \(30\) phút so với dự định. Tính vận tốc dự định của xe máy, biết quãng đường \(AB\) dài \({\rm{120}}\,km\).
Câu 3 (3,5 điểm): Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Đường phân giác của \(\angle ABC\) cắt \(AC\) tại \(D\) và cắt \(AH\) tại \(E\).
a) Chứng minh: \(\Delta ABC\) đồng dạng \(\Delta HBA\) và \(A{B^2} = BC.BH\).
b) Biết \(AB = 9cm,\,\,BC = 15cm\). Tính \(DC\) và \(AD\).
c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(ED\). Chứng minh: \(\angle BIH = \angle ACB\).
Câu 4 (0,5 điểm): Giải phương trình: \({\left( {2017 - x} \right)^3} + {\left( {2019 - x} \right)^3}\)\( + {\left( {2x - 4036} \right)^3} = 0\).
Lời giải chi tiết
Câu 1 (VD)
Phương pháp:
a) Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình tích:
\(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.\)
b) Phương trình không chứa ẩn ở mẫu:
Đưa phương trình về dạng \(ax + b = 0\) hay \(ax = - b\).
c) Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
+ Tìm điều kiện xác định của phương trình.
+ Quy đồng hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
+ Giải phương trình vừa nhận được.
+ Kết luận.
Cách giải:
Giải các phương trình:
a) \({\left( {x - 5} \right)^2} + 3\left( {x - 5} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l}{\left( {x - 5} \right)^2} + 3\left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right).\left( {x - 5} \right) + 3.\left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left[ {\left( {x - 5} \right) + 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 5 + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {2;\,\,5} \right\}\).
b) \(\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{5x + 2}}{7} = x + 13\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\frac{{2x - 1}}{3} - \frac{{5x + 2}}{7} = x + 13\\ \Rightarrow 7\left( {2x - 1} \right) - 3\left( {5x + 2} \right) = 21\left( {x + 13} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {14x - 7} \right) - \left( {15x + 6} \right) = 21x + 273\\ \Leftrightarrow 14x - 7 - 15x - 6 = 21x + 273\\ \Leftrightarrow 14x - 15x - 21x = 7 + 6 + 273\\ \Leftrightarrow - 22x = 286\\ \Leftrightarrow x = - 13\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 13} \right\}.\)
c) \(\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{7x - 6}}{{4 - {x^2}}}\)
Điều kiện: \(x \ne \pm 2\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{7x - 6}}{{4 - {x^2}}}\\ \Rightarrow \frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{x}{{2 - x}} = \frac{{7x - 6}}{{4 - {x^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{x}{{2 - x}} = \frac{{7x - 6}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)}}\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right) + x\left( {2 + x} \right) = 7x - 6\\ \Leftrightarrow 2x - {x^2} - 2 + x + 2x + {x^2} = 7x - 6\\ \Leftrightarrow 5x - 2 = 7x - 6\\ \Leftrightarrow 5x - 7x = - 6 + 2\\ \Leftrightarrow - 2x = - 4\\ \Leftrightarrow x = 2\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \emptyset \).
Câu 2 (VD)
Phương pháp:
Gọi vận tốc dự định của xe máy là \(x\,\,\left( {km/h,\,\,x > 0} \right)\).
Thời gian dự định của xe máy để đi hết quãng đường là \(\frac{{120}}{x}\,\,\left( h \right)\).
Thời gian xe máy đi nửa quãng đường đầu là \(\frac{{60}}{x}\,\,\left( h \right)\) .
Vận tốc xe máy đi nửa quãng đường sau là \(x + 10\,\,\left( {km/h} \right)\).
Thời gian xe máy đi nửa quãng đường sau là \(\frac{{60}}{{x + 10}}\,\,\left( h \right)\).
Dựa vào giả thiết bài cho để lập phương trình. Giải phương trình tìm ẩn \(x.\)
Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Cách giải:
Gọi vận tốc dự định của xe máy là \(x\,\,\left( {km/h,\,\,x > 0} \right)\).
Thời gian dự định của xe máy để đi hết quãng đường \(AB\) là \(\frac{{120}}{x}\,\,\left( h \right)\).
Thời gian xe máy đi nửa quãng đường đầu là \(\frac{{60}}{x}\,\,\left( h \right)\).
Vận tốc xe máy đi nửa quãng đường sau là \(x + 10\,\,\left( {km/h} \right)\).
Thời gian xe máy đi nửa quãng đường sau là \(\frac{{60}}{{x + 10}}\,\,\left( h \right)\).
Vì xe máy đi đến \(B\) sớm hơn \(30\) phút so với dự định nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\frac{{60}}{x} + \frac{{60}}{{x + 10}} + \frac{1}{2} = \frac{{120}}{x}\\ \Rightarrow 120\left( {x + 10} \right) + 120x + \left( {{x^2} + 10x} \right) = 240\left( {x + 10} \right)\\ \Leftrightarrow 120x + 1200 + 120x + {x^2} + 10x - 240x - 2400 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 10x - 1200 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 40x - 30x - 1200 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 40x} \right) - \left( {30x + 1200} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 40} \right) - 30\left( {x + 40} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 30} \right)\left( {x + 40} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 30 = 0\\x + 40 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 30\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 40\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy vận tốc dự định của xe máy là \(30\left( {km/h} \right)\).
Câu 3 (VD)
Phương pháp:
a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc để suy ra các tỉ số bằng nhau \(\left( {\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}}} \right)\) từ đó suy ra đẳng thức \(A{B^2} = BC.BH\).
b) Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác, dùng phương pháp thế để tìm được \(DC\) và \(AD\).
c) Chứng minh \(\angle BIH\) và \(\angle ACB\) cùng bằng \(\angle BAH\): Sử dụng hai góc phụ nhau, chứng minh tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Cách giải:
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Đường phân giác của góc \(ABC\) cắt \(AC\) tại \(D\) và cắt \(AH\) tại \(E\).
a) Chứng minh: \(\Delta ABC\) đồng dạng \(\Delta HBA\) và \(A{B^2} = BC.BH\)
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta HBA\) ta có:
\(\begin{array}{l}\angle B\,\,\,chung\\\angle BAC = \angle BHA\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\\ \Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HBA\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\) chung
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{BA}}\) (Tỷ số cặp cạnh tương ứng)
\( \Rightarrow AB.BA = HB.BC\)
\( \Rightarrow A{B^2} = BC.BH\) (đpcm)
b) Biết \(AB = 9cm,\,\,BC = 15cm\). Tính \(DC\) và \(AD\).
Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), áp dụng định lý Py-ta-go ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = B{C^2} - A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {15^2} - {9^2}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = 144\\ \Leftrightarrow AC = 12\left( {cm} \right)\end{array}\)
Xét \(\Delta ABC\) có \(BD\) là đường phân giác của góc \(ABC\).
Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác ta có:
\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{DC}}\)\( \Rightarrow \frac{9}{{15}} = \frac{{AD}}{{DC}}\)\( \Rightarrow \frac{{AD}}{{DC}} = \frac{3}{5}\)\( \Rightarrow AD = \frac{3}{5}DC\).
Ta lại có:
\(\begin{array}{l}AD + DC = AC\\ \Leftrightarrow AD + DC = 12\\ \Leftrightarrow \frac{3}{5}DC + DC = 12\\ \Leftrightarrow \frac{8}{5}DC = 12\\ \Leftrightarrow DC = 7,5\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow AD = AC - DC\\ \Leftrightarrow AD = 12 - 7,5 = 4,5\end{array}\)
c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(ED\). Chứng minh: \(\angle BIH = \angle ACB\).
Vì \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) nên \(\angle BDA + \angle ABD = {90^0}\).
Vì \(\Delta BEH\) vuông tại \(H\) nên \(\angle EBH + \angle BEH = {90^0}\).
Mà \(\angle ABD = \angle EBH\) (vì \(BD\) là tia phân giác của \(\angle ABC\)).
Suy ra, \(\angle BDA = \angle BEH\).
Ta lại có: \(\angle AED = \angle BEH\) (hai góc đối đỉnh).
\( \Rightarrow \angle AED = \angle BDA\,\,\left( { = \angle BEH} \right)\) hay \(\angle AED = \angle ADE\).
\( \Rightarrow \Delta AED\) cân tại \(A\).
Mà \(I\) là trung điểm của \(ED\) nên \(AI \bot BD\) tại \(I\).
Xét \(\Delta BEH\) và \(\Delta AEI\) có:
\(\angle BHE = \angle EIA\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\).
\(\angle BEH = \angle AEI\) (hai góc đối đỉnh).
\( \Rightarrow \Delta BEH \sim \Delta AEI\) (góc-góc).
\( \Rightarrow \frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{EH}}{{EI}}\)\( \Rightarrow \frac{{HE}}{{BE}} = \frac{{EI}}{{EA}}\).
Xét \(\Delta HEI\) và \(\Delta BEA\) có:
\(\angle HEI = \angle BEA\) (hai góc đối đỉnh).
\(\frac{{HE}}{{BE}} = \frac{{EI}}{{EA}}\) (chứng minh trên).
\( \Rightarrow \Delta HEI \sim \Delta BEA\) (cạnh-góc-cạnh).
\( \Rightarrow \angle EIH = \angle EAB\) (hai góc tương ứng) hay \(\angle BIH = \angle BAH\) \(\left( 1 \right)\)
Ta lại có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle BAH + \angle ABH = {90^0}\\\angle ABH + \angle ACH = {90^0}\end{array} \right\}\) \( \Rightarrow \angle BAH = \angle ACH\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\angle BIH = \angle ACH\) (đpcm).
Câu 4 (VDC)
Phương pháp:
Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về dạng tích \(A\left( x \right).B\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.\)
Cách giải:
Giải phương trình: \({\left( {2017 - x} \right)^3} + {\left( {2019 - x} \right)^3} + {\left( {2x - 4036} \right)^3} = 0\)
Đặt: \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2017 - x\\v = 2019 - x\end{array} \right.\)\( \Rightarrow u + v = 4036 - 2x\)
Phương trình \(\left( * \right)\) trở thành:
\(\begin{array}{l}{u^3} + {v^3} - {\left( {u + v} \right)^3} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{u^3} + {v^3}} \right) - \left( {{u^3} + 3{u^2}v + 3u{v^2} + {v^3}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {u^3} + {v^3} - {u^3} - 3{u^2}v - 3u{v^2} - {v^3} = 0\\ \Leftrightarrow - 3{u^2}v - 3u{v^2} = 0\\ \Leftrightarrow 3uv\left( {u + v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow uv\left( {u + v} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 0\\v = 0\\u + v = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2017 - x = 0\\2019 - x = 0\\2017 - x + 2019 - x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2017 - x = 0\\2019 - x = 0\\4036 - 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2017\\x = 2019\\x = 2018\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(S = \left\{ {2017;\,\,2018;\,\,2019} \right\}\).
soanvan.me
