Đề bài
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), các đường phân giác \(BD, CE\) (\(D ∈ AC, E ∈ AB\)). Chứng minh rằng \(BEDC\) là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Hai tam giác bằng nhau có các cạnh tương ứng bằng nhau.
- Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau hai góc đáy bằng nhau.
- Hai đường thẳng song song khi có cặp góc đồng vị bằng nhau.
- Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song.
- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề với một đáy bằng nhau.
Lời giải chi tiết
\(∆ABD\) và \(∆ACE\) có:
\(AB = AC\) (vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\))
\(\widehat{A}\) chung
\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (vì \(\widehat {{B_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat B,\,\widehat {{C_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat C\,\,\text{và}\,\,\widehat B = \widehat C\))
Do đó \( \Delta ABD = \Delta ACE{\rm{ }}\left( {g.c.g} \right) \) suy ra \( A{\rm{D}} = A{\rm{E}}\)
Tam giác \( ABC\) cân nên \(\widehat B = \widehat C = \left( {{{180}^o} - \widehat A} \right):2\) (1)
Tam giác \(ADE\) cân nên \(\widehat {{E_1}} = \widehat {{D_1}} = \left( {{{180}^o} - \widehat A} \right):2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat B = \widehat {{E_1}}\), hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(ED//BC\).
Vậy \(BEDC\) là hình thang, lại có \(\widehat B = \widehat C \) nên là hình thang cân.
Do \(ED//BC\) nên \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{B_2}}\) (SLT), lại có \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) nên \(\widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}}\), suy ra \(\Delta BDE\) cân, do đó \(EB = ED\).
soanvan.me