Bài 2.1 trang 30

Đề bài

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\)

a) \(2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)\)

b) \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \(2.1 = 1.(1 + 1)\)

Vậy a) đúng với \(n = 1\)

Giải sử a) đúng với \(n = k\) tức là ta có \(2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)\)

Ta chứng minh a) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \(2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)\)

Thật vậy, ta có

\(\left( {2 + 4 + 6 + ... + 2k} \right) + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)\)

Vậy a) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)

b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({1^2} = \frac{{1.(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6}\)

Vậy b) đúng với \(n = 1\)

Giải sử b) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\)

Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\)

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}\left[ {k(2k + 1) + 6(k + 1)} \right] = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)\\ = \frac{{(k + 1)}}{6}.\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right) = \frac{{(k + 1)}}{6}.(k + 2).(2k + 3)\\ = \frac{{(k + 1)(k + 2)\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6}\end{array}\)

Vậy b) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1.\)