Đề bài
Chứng minh rằng nếu \(x > - 1\) thì \({(1 + x)^n} \ge 1 + nx\) với mọi số tự nhiên n.
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh (5) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 0\) ta có \({(1 + x)^0} \ge 1 + 0.x\)
Vậy (5) đúng với \(n = 0\)
Giải sử (5) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({(1 + x)^k} \ge 1 + kx\)
Ta chứng minh (5) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({(1 + x)^{k + 1}} \ge 1 + (k + 1)x\)
Thật vậy, ta có
\({(1 + x)^{k + 1}} = (1 + x){(1 + x)^k} \ge (1 + x)(1 + kx) = 1 + (1 + k)x + k{x^2} \ge 1 + (k + 1)x\)
Do \(1 + x > 0,k{x^2} \ge 0\)
Vậy (5) đúng với mọi số tự nhiên n.