Đề bài
Chứng minh rằng \({n^3} - n + 3\) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh (3) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({0^3} - 0 + 3 = 3\) chia hết cho 3.
Vậy (3) đúng với \(n = 1\)
Giải sử (3) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({k^3} - k + 3\) chia hết cho 3
Ta chứng minh (3) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({(k + 1)^3} - (k + 1) + 3\) chia hết cho 3
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{(k + 1)^3} - (k + 1) + 3 = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 - k - 1 + 3\\ = {k^3} + 3{k^2} + 2k + 3 = ({k^3} - k + 3) + 3{k^2} + 3k\\ = ({k^3} - k + 3) + 3({k^2} + k)\end{array}\)
Chia hết cho 3 do \({k^3} - k + 3 \vdots 3\)
Vậy (3) đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\).