Đề bài
Chứng minh rằng \({n^2} - n + 41\) là số lẻ với mọi số nguyên dương n.
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Với \(n = 1\) ta có \({1^2} - 1 + 41 = 41\) là số lẻ
Với \(n \ge 2\) ta có \({n^2} - n + 41 = n(n - 1) + 41\) không chia hết cho 2 (do \(n(n - 1)\)tích hai số tự nhiên liên tiếp, luôn chia hết cho 2. Còn 41 không chia hết cho 2)
Nói cách khác với \(n \ge 2\) thì \({n^2} - n + 41\) là số lẻ.
Vậy \({n^2} - n + 41\) là số lẻ với mọi số nguyên dương n.
Cách 2:
Ta chứng minh (4) bằng phương pháp quy nạp
Với \(n = 1\) ta có \({1^2} - 1 + 41 = 41\) là số lẻ.
Vậy (4) đúng với \(n = 1\)
Giải sử (4) đúng với \(n = k\) tức là ta có \({k^2} - k + 41\) là số lẻ.
Ta chứng minh (3) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \({(k + 1)^2} - (k + 1) + 41\) là số lẻ.
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{(k + 1)^2} - (k + 1) + 41 = {k^2} + 2k + 1 - k - 1 + 41\\ = {k^2} + k + 41 = \left( {{k^2} - k + 41} \right) + 2k\end{array}\)
Là số lẻ vì \({k^2} - k + 41\) lẻ và \(2k\) chẵn.
Vậy (4) đúng với mọi số nguyên dương n.