Đề bài
Cho đường tròn \((O)\), cung \(BC\) có số đo bằng \(120^\circ \), điểm \(A\) di chuyển trên cung lớn \(BC\). Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AD=AC\). Hỏi điểm \(D\) di chuyển trên đường nào?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Tính \(\widehat {BDC}\) dựa vào tính chất tam giác cân và tính chất góc nội tiếp rồi sử dụng quỹ tích cung chứa góc dựng trên đoạn \(BC.\)
+ Xác định giới hạn quỹ tích của điểm \(D\) rồi kết luận.
Lời giải chi tiết
Tam giác \(ACD\) có \(AD = AC \Rightarrow \Delta ACD\) cân tại \(A\) nên \(\widehat {BDC} = \widehat {ACD}\) \(= \dfrac {1}{2} \widehat {BAC}\) (vì \(\widehat {BAC}\) là góc ngoài tại đỉnh \(A\) của tam giác \(ACD\))
\(\widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}\) sđ\(\overparen{BC}\) \( \Leftrightarrow \widehat {BAC} = \dfrac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \) (vì \(\widehat {BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung \(BC \))
Từ đó \(\widehat {BDC} = \dfrac{{\widehat {BAC}}}{2} = \dfrac{{60^\circ }}{2} = 30^\circ .\)
Vì thế điểm \(D\) nhìn đoạn \(BC\) cho trước dưới một góc \(30^\circ \) nên điểm \(D\) nằm trên cung chứa góc \(30^\circ \) dựng trên đoạn \(BC.\)
Khi \(A \equiv C\) thì \(D \equiv C.\)
Khi \(A \equiv B\) thì \(D \equiv P\) (\(BP\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(B\) và \(P\) thuộc cung chứa góc \(30^\circ \) dựng trên đoạn \(BC.\))
Vậy khi \(A\) di chuyển trên cung lớn \(BC\) thì điểm \(D\) di chuyển trên cung \(CE\) thuộc cung chứa góc \(30^\circ \) dựng trên đoạn \(BC\) (cung này nằm cùng phía với \(A\) so với bờ \(BC\))
soanvan.me