Đề bài
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M. N, O lần lượt là trung điểm cùa AD, BC và MN. Qua O vẽ một dường thẳng cắt hai đáy AB và CD tại P và Q. Chứng minh hai tứ giác APQD và BCQP có diện tích bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Tứ giác APQD có AP // DQ (AB // CD, \(P \in AB,\,\,Q \in CD\))
\( \Rightarrow \) Tứ giác APQD là hình thang
M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC (gt)
\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của hình thang ABCD \( \Rightarrow MN//AB//CD\)
Hình thang APQD có AP // MO // DQ
(MN // AB // CD, \(P \in AB,\,\,Q \in CD,\,\,O \in MN\))
Và M là trung điểm của AD
\( \Rightarrow O\) là trung điểm của PQ
Do đó MO là đường trung bình của hình thang APQD \( \Rightarrow MO = {{AP + DQ} \over 2}\)
Kẻ \(AH \bot CD\) tại H
\({S_{APQD}} = {1 \over 2}AH\left( {AP + DQ} \right) \)\(\,= AH.{{AP + DQ} \over 2} = AH.MO\)
Chứng minh tương tự: \({S_{PBCQ}} = AH.ON\)
Mà \(MO = ON\) (O là trung điểm của MN) nên \(S = {S_{PBCQ}}\)
soanvan.me