Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn
-
A
${x^2} - \sqrt x + 1 = 0$
-
B
$2{x^2} - 2018 = 0$
-
C
$x + \dfrac{1}{x} - 4 = 0$
-
D
$2x - 1 = 0$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
- Phương trình bậc hai một ẩn ( hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:
$a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ trong đó $a,b,c$ là các số thực cho trước, $x$ là ẩn số.
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:
-
A
$\Delta < 0$
-
B
$\Delta = 0$
-
C
$\Delta \ge 0$
-
D
$\Delta \le 0$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$
và biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$.
TH1. Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
TH2. Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}$
TH3. Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac > 0$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm là
-
A
${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}$
-
B
${x_1} = \dfrac{{b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \dfrac{{b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$
-
C
${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}};{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}$
-
D
${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{a};{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{a}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$
và biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$.
TH1. Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
TH2. Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}}$
TH3. Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$
Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình $6{x^2} - 7x = 0$.
-
A
$ - \dfrac{7}{6}$
-
B
$\dfrac{7}{6}$
-
C
$\dfrac{6}{7}$
-
D
$ - \dfrac{6}{7}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.
Ta có $6{x^2} - 7x = 0$$ \Leftrightarrow x\left( {6x - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{7}{6}\end{array} \right.$
Nên tổng các nghiệm của phương trình là $0 + \dfrac{7}{6} = \dfrac{7}{6}$.
Không dùng công thức nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình $ - 4{x^2} + 9 = 0$.
-
A
$0$
-
B
$1$
-
C
$3$
-
D
$2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Giải phương trình bằng cách đưa về bình phương của một số.
Ta có $ - 4{x^2} + 9 = 0$$ \Leftrightarrow 4{x^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{2}\\x = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$
Phương trình có hai nghiệm $x = \dfrac{3}{2};x = - \dfrac{3}{2}$.
Tìm tích các giá trị của m để phương trình $4m{x^2} - x - 14{m^2} = 0$ có nghiệm $x = 2$.
-
A
$\dfrac{1}{7}$
-
B
$\dfrac{2}{7}$
-
C
$\dfrac{6}{7}$
-
D
$\dfrac{8}{7}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Thay nghiệm $x = {x_0}$ vào phương trình ta được phương trình mới ẩn $m$
Bước 2: Giải phương trình thu được ta tìm được $m$.
Thay $x = 2$ vào phương trình $4m{x^2} - x - 10{m^2} = 0$ , ta có
$4m{.2^2} - 2 - 14{m^2} = 0 $
$\Leftrightarrow 14{m^2} - 16m + 2 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {14m - 2} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 $
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{7}\\m = 1\end{array} \right.$
Suy ra tích các giá trị của $m$ là $\dfrac{1}{7}.1 = \dfrac{1}{7}$.
Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm số nghiệm của phương trình $9{x^2} - 15x + 3 = 0$.
-
A
$\Delta = 117$ và phương trình có nghiệm kép.
-
B
$\Delta = - 117$ và phương trình vô nghiệm
-
C
$\Delta = 117$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt
-
D
$\Delta = - 117$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$
Bước 2: Kết luận
- Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{a}$
- Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$
Ta có $9{x^2} - 15x + 3 = 0$$\left( {a = 9;b = - 15;c = 3} \right)$$ \Rightarrow \Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 15} \right)^2} - 4.9.3 = 117 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m – 4=0\) , với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm trái dấu?
-
A
m = 4
-
B
m = - 4
-
C
m < 4
-
D
m > 4
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Phương trình có hai nghiệm trái dấu \(\Leftrightarrow ac < 0\)
Để phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m – 4=0\) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow m - 4 < 0 \Leftrightarrow m < 4.\)
Vậy với m < 4 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.
Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm các nghiệm (nếu có ) của phương trình ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0$
-
A
$\Delta = 0$ và phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \sqrt 2 $.
-
B
$\Delta < 0$ và phương trình vô nghiệm
-
C
$\Delta = 0$ và phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \sqrt 2 $.
-
D
$\Delta > 0$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = - \sqrt 2 ;{x_2} = \sqrt 2 $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$
Bước 2: Kết luận
- Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
- Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{a}$
- Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$
Ta có ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0$$\left( {a = 1;b = - 2\sqrt 2 ;c = 2} \right)$$ \Rightarrow \Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 4.1.2 = 0$ nên phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 $.
Cho phương trình \({x^2} + 1 = 9{m^2}{x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x\,\left( {m \in \,R} \right).\) Tích \(P\) tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho không là phương trình bậc hai bằng
-
A
\(P = \dfrac{1}{9}\)
-
B
\(P = - \dfrac{1}{3}\)
-
C
\(P = \dfrac{1}{3}\)
-
D
\(P = - \dfrac{1}{9}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+) Đưa phương trình về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\).
+) Phương trình trên không là phương trình bậc hai \( \Leftrightarrow a = 0\).
\(\begin{array}{l}{x^2} + 1 = 9{m^2}{x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x\\ \Leftrightarrow \left( {9{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x - 1 = 0\end{array}\)
Phương trình trên không là phương trình bậc hai \( \Leftrightarrow 9{m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \pm \dfrac{1}{3}\).
Vậy tích các giá trị của m là \(P = - \dfrac{1}{9}\).
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt .
-
A
$m \ge 0$
-
B
$m = 0$
-
C
$m > 0$
-
D
$m < 0$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$
Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$
Bước 2:
1. PT có nghiệm kép $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 0\end{array} \right.$
2. PT có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.$
3. PT vô nghiệm $ \Leftrightarrow a \ne 0;\,\Delta < 0$
Từ đó giải các điều kiện và tìm ra $m$.
Phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\)$\left( {a = - 1;b = 2m;c = - {m^2} - m} \right)$
$ \Rightarrow \Delta = {\left( {2m} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - {m^2} - m} \right) = 4{m^2} - 4{m^2} - 4m = - 4m$
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì
$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \ne 0\\ - 4m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0$
Vậy với $m < 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình \({x^2} + mx - m = 0\) có nghiệm kép.
-
A
$m = 0;m = - 4$
-
B
$m = 0$
-
C
$m = - 4$
-
D
$m = 0;m = 4$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$
Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$
Bước 2:
1. PT có nghiệm kép $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 0\end{array} \right.$
2. PT có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.$
3. PT vô nghiệm $ \Leftrightarrow a \ne 0;\,\Delta < 0$
Từ đó giải các điều kiện và tìm ra $m$.
Phương trình \({x^2} + mx - m = 0\)$\left( {a = 1;b = m;c = - m} \right)$
$ \Rightarrow \Delta = {m^2} - 4.1.\left( { - m} \right) = {m^2} + 4m$
Để phương trình đã cho có nghiệm kép thì
$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\{m^2} + 4m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 4\end{array} \right.$
Vậy với $m = 0;m = - 4$ thì phương trình có nghiệm kép.
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \({x^2} + (1 - m)x - 3 = 0\) vô nghiệm
-
A
$m = 0$
-
B
Không tồn tại $m$
-
C
$m = - 1$
-
D
$m = 1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$
Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$
Bước 2:
1. PT có nghiệm kép $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta= 0\end{array} \right.$
2. PT có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.$
3. PT vô nghiệm $ \Leftrightarrow a \ne 0;\,\Delta < 0$
Từ đó giải các điều kiện và tìm ra $m$.
Phương trình \({x^2} + (1 - m)x - 3 = 0\)$\left( {a = 1;b = 1 - m;c = - 3} \right)$
$ \Rightarrow \Delta = {\left( {1 - m} \right)^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = {\left( {1 - m} \right)^2} + 12 \ge 12 > 0;\,\forall m$
Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay không có giá trị nào của $m$ để phương trình vô nghiệm.
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \((m + 2){x^2} + 2x + m = 0\) vô nghiệm
-
A
$\left[ \begin{array}{l}m \ge 1 + \sqrt 2 \\m \le 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$
-
B
$\left[ \begin{array}{l}m > -1 + \sqrt 2 \\m < -1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$
-
C
$1 - \sqrt 2 \le m \le 1 + \sqrt 2 $
-
D
$1 - \sqrt 2 < m < 1 + \sqrt 2 $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0$
Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$
Bước 2:
TH1: Xét \( a=0\)
Th2: Xét \(a \ne 0\) thì PT vô nghiệm $ \Leftrightarrow \Delta < 0$
Từ đó giải các điều kiện và tìm ra $m$.
Phương trình \((m + 2){x^2} + 2x + m = 0\)$\left( {a = m + 2;b = 2;c = m} \right)$
TH1: $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2$ ta có phương trình: $2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$
TH2: $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 2$
Ta có $\Delta = {2^2} - 4\left( {m + 2} \right).m = - 4{m^2} - 8m + 4$
Để phương trình đã cho vô nghiệm thì $\left\{ \begin{array}{l}m \ne - 2\\ - 4{m^2} - 8m + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne -2\\2 - {\left( {m + 1} \right)^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne -2\\{\left( {m + 1} \right)^2} > 2\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne -2\\\left[ \begin{array}{l}m + 1 > \sqrt 2 \\m + 1 < - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > -1 + \sqrt 2\\m < -1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$
Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \(m{x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0\) có nghiệm.
-
A
$m \ge 1$
-
B
$m > 1$
-
C
$m \ge - 1$
-
D
$m \le - 1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
TH1: Xét $a = 0$
TH2: Xét $a \ne 0$
Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm khi $\Delta \ge 0$.
Phương trình \(m{x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0\)$\left( {a = m;b = - 2\left( {m - 1} \right);c = m - 3} \right)$
TH1: $m = 0$ ta có phương trình $2x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2x=3\Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$
TH2: $m \ne 0$, ta có $\Delta = b^2-4ac=4{\left( {m - 1} \right)^2} - 4m.\left( {m - 3} \right)$$=4m^2-8m+4-4m^2+12m = 4m + 4$
Để phương trình đã cho có nghiệm thì $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 4m + 4 \ge 0 \Leftrightarrow 4m\ge -4 \Leftrightarrow m \ge - 1$.
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì $m \ge - 1$.
Cho phương trình ${x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0$. Kết luận nào sau đây là đúng?
-
A
Phương trình vô nghiệm với mọi $m$
-
B
Phương trình có nghiệm kép với mọi $m$
-
C
Phương trình hai nghiệm phân biệt với mọi $m$
-
D
Phương trình có nghiệm với mọi $m$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+) Tính biệt thức $\Delta $, đánh giá $\Delta $ và kết luận số nghiệm của phương trình.
Phương trình ${x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0$ có $a = 1;b = - \left( {m - 1} \right);c = - m$
Suy ra $\Delta = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4.1.\left( { - m} \right) = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0,\forall m$
Nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi $m$.
Biết rằng phương trình ${x^2} - {\rm{ }}2(3m + 2)x + {\rm{ }}2{m^2} - 3m - 10 = 0$
có một trong các nghiệm bằng $ - 1$. Tìm nghiệm còn lại với $m > 0$
-
A
$x = 11$
-
B
$x = - 11$
-
C
$x = 10$
-
D
$x = - 10$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Bước 1: Thay nghiệm $x = {x_0}$ vào phương trình ta tìm được $m$.
Bước 2: Thay $m$ trở lại phương trình ban đầu và giải phương trình nhận được ta tìm được nghiệm còn lại.
Thay $x = - 1$ vào phương trình: ${\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( {3m + 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2{m^2} - 3m - 10 = 0$$ \Leftrightarrow 2{m^2} + 3m - 5 = 0$
$ \Leftrightarrow \left( {2m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{5}{2}\,\,\left( L \right)\\m = 1\,\,\left( N \right)\end{array} \right.$
+) Với $m = 1$ ta có phương trình ${x^2} - 10x - 11 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 11} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 11\\x = - 1\end{array} \right.$
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là $x = 11$.
Phương trình \({x^2} - \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 6 = 0\) có các nghiệm đều là nghiệm của phương trình \({x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\left( * \right).\) Tìm \(b,c\) và giải phương trình \(\left( * \right)\) ứng với \(b,c\) vừa tìm được.
-
A
\(b = - 5;\,\,c = 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.\)
-
B
\(b = - 5;\,\,c = 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm 2;\,\, \pm 3} \right\}.\)
-
C
\(b = 5;\,\,c = - 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.\)
-
D
\(b = 5;\,\,c = - 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm 2;\,\, \pm 3} \right\}.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Giải phương trình đã cho, sau đó thay các giá trị của nghiệm vào phương trình \(\left( * \right)\).
Phương trình \({x^2} - \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 6 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 3 } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = \sqrt 3 \end{array} \right..\)
Ta có \(x = \sqrt 2 \) và \(x = \sqrt 3 \) là các nghiệm của \(\left( * \right)\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + b{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + c = 0\\{\left( {\sqrt 3 } \right)^4} + b{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + c = - 4\\3b + c = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 5\\c = 6\end{array} \right..\)
Thay \(\left\{ \begin{array}{l}c = 6\\b = - 5\end{array} \right.\) vào \(\left( * \right)\): \({x^4} - 5{x^2} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2\\{x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 \\x = - \sqrt 3 \\x = \sqrt 2 \\x = \sqrt 3 \end{array} \right..\)
Vậy với \(b = - 5;\,\,c = 6\) ta được phương trình \(\left( * \right)\) có tập nghiệm: \(S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.\)
Giải phương trình:
-
A
\(S = \left\{ {1;\,\frac{5}{2}} \right\}.\)
-
B
\(S = \left\{ { - 1;\,\frac{5}{2}} \right\}.\)
-
C
\(S = \left\{ {1;\, - \frac{5}{2}} \right\}.\)
-
D
\(S = \left\{ { - 1;\, - \frac{5}{2}} \right\}.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Nhân biểu thức sau đó biến đổi phương trình đưa về phương trình bậc hai một ẩn rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm hoặc đưa về phương trình tích.
\(\begin{array}{l}x\left( {2x - 3} \right) + 1 = 4\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;\,\dfrac{5}{2}} \right\}.\)
-
A
\(S = \left\{ { - 9;\,\,9} \right\}.\)
-
B
\(S = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}.\)
-
C
\(S = \left\{ { - 3;\,\,3} \right\}.\)
-
D
\(S = \left\{ { - \sqrt 3 ;\,\,\sqrt 3 } \right\}.\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Đưa phương trình về phương trình trùng phương và giải phương trình.
\(\begin{array}{l}{x^2}({x^2} - 2) = 3({x^2} + 12)\\ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} - 3{x^2} - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - 5{x^2} - 36 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 5t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - 9t + 4t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t - 9} \right) + 4\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 4} \right)\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 4 = 0\\t - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 4\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 9\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là : \(S = \left\{ { - 3;\,\,3} \right\}.\)
Cho phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m + 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\), với m là tham số.
-
A
\(x = 0\)
-
B
\(x = 1\)
-
C
\(x = 2\)
-
D
\(x = 3\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Thay \(m = - 1\) vào phương trình rồi giải nghiệm.
Với \(m = - 1\) phương trình thành: \( - x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\)
Vậy với \(m = - 1\) phương trình có nghiệm \(x = 3.\)
-
A
\(m \le \dfrac{7}{8}\)
-
B
\(m \ge - \dfrac{7}{8}\)
-
C
\(m \le - \dfrac{7}{8}\)
-
D
\(m \ge \dfrac{7}{8}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\)
Với \(m = - 1\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x = 3\)
Với \(m \ne - 1,\,\,\,\left( 1 \right)\) là phương trình bậc hai có:
\(\Delta = {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right)\left( {m + 4} \right) = 4{m^2} + 12m + 9 - 4{m^2} - 20m - 16 = - 8m - 7\)
Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0 \Leftrightarrow - 8m - 7 \ge 0 \Leftrightarrow m \le - \dfrac{7}{8}\)
Vậy với \(m \le - \dfrac{7}{8}\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.
Giải phương trình \(5{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-16=10-{{x}^{2}}\)
-
A
\(x=\sqrt{2}\)
-
B
\(x=\pm \sqrt{2}\)
-
C
\(x=-\sqrt{2}\)
-
D
\(x=2\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Thu gọn phương trình ban đầu về phương trình trùng phương. Đặt \({{x}^{2}}=t\,\,(t\ge 0)\) đưa phương trình trùng phương ban đầu về phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc hai tìm t, kết hợp với điều kiện, tìm x ban đầu.
\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,5{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-16=10-{{x}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 5{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-26=0 \\ \end{align}\)
Đặt \({{x}^{2}}=t\,\,\,\left( t\ge 0 \right)\)
PT \(\Leftrightarrow 5{{t}^{2}}+3t-26=0\,\,\left( * \right)\)
\(\Delta ={{3}^{2}}-4.5.(-26)=529>0\).
PT (*) có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{align} & {{t}_{1}}=\frac{-3+\sqrt{529}}{2.5}=2\ \ \left( tm \right) \\ & {{t}_{2}}=\frac{-3-\sqrt{529}}{2.5}=\frac{-13}{5}\ \ \left( ktm \right) \\ \end{align} \right.\)
Với \(t=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}.\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(x=\pm \sqrt{2}\)
Tìm m để parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - (m - 1)x + m + 2\) và đường thẳng \(d:y = 2x + 4\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
-
A
\(\displaystyle m = - {4 \over 3}\)
-
B
\(\displaystyle m = {4 \over 3}\)
-
C
\(\displaystyle m = {3 \over 4}\)
-
D
\(m \in R\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng phương trình hoành độ giao điểm để biện luận số giao điểm
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để biện luận
Parabol (P) và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow {x^2} - (m - 1)x + m + 2 - 2x - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + m - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \Delta = {( - (m + 1))^2} - 4(m - 2) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - 4m + 8 > 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 8 > 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + 8 > 0\) (luôn đúng với mọi m).
Tìm \(m\) để hai phương trình \({x^2} + mx + 1 = 0\) và \({x^2} + x + m = 0\) có ít nhất một nghiệm chung.
-
A
\(1\)
-
B
\(2\)
-
C
\( - 1\)
-
D
\( - 2\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Hai phương trình có nghiệm chung thì nghiệm chung đó phải thoả mãn cả hai phương trình
Gọi \({x_0}\) là nghiệm chung của hai phương trình thì \({x_0}\) phải thỏa mãn hai phương trình trên.
Thay \(x = {x_0}\) vào hai phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 + m{x_0} + 1 = 0\\{x_0}^2 + {x_0} + m = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow (m - 1){x_0} + 1 - m = 0\) \(\Leftrightarrow (m - 1)(x_0-1) = 0\,(*)\)
Xét phương trình (*)
+) Nếu \(m = 1\) thì \(0 = 0\) (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau.
Lúc này phương trình \({x^2} + x + 1 = 0\) vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm.
Vậy \(m = 1\) không thỏa mãn.
+) Nếu \(m \ne 1\) thì \({x_0} = 1\).
Thay \({x_0} = 1\) vào phương trình \({x_0}^2 + m{x_0} + 1 = 0\) ta được \(m = - 2\).
Vậy \(m = - 2\) thì hai phương trình có nghiệm chung.
Cho hai phương trình \({x^2} - 13x + 2m = 0\) (1) và \({x^2} - 4x + m = 0\) (2). Xác định \(m\) để một nghiệm phương trình (1) gấp đôi \(1\) nghiệm phương trình (2).
-
A
\( - 45\)
-
B
\( - 5\)
-
C
\(0\) và \( - 5\)
-
D
Đáp án khác
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Một số là nghiệm của phương trình thì thoả mãn phương trình.
Gọi nghiệm phương trình (2) là \({x_0}\left( {{x_0} \ne 0} \right)\) thì nghiệm phương trình (1) là \(2{x_0}\).
Thay \({x_0},2{x_0}\) lần lượt vào phương trình (2) và (1) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{(2{x_0})^2} - 13.2{x_0} + 2m = 0\\{x_0}^2 - 4{x_0} + m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2}_0 - 26{x_0} + 2m = 0\\{x_0}^2 - 4{x_0} + m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2}_0 - 26{x_0} + 2m = 0\\4{x_0}^2 - 16{x_0} + 4m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 10{x_0} = - 2m\)\( \Leftrightarrow {x_0} = - \dfrac{m}{5}\)
Do \({x_0} \ne 0\) nên \(m \ne 0\).
Thay \({x_0} = - \dfrac{m}{5}\) vào phương trình (2) ta được \({\left( { - \dfrac{m}{5}} \right)^2} - 4.\left( { - \dfrac{m}{5}} \right) + m = 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{4m}}{5} + m = 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{9m}}{5} = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 45\end{array} \right.\)
Kết hợp \(m \ne 0\) ta được \(m = - 45\)
Cho hai phương trình \({x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x + {m^3} + 7\sqrt 2 - 23 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(2{x^2} + \left( {{m^2} - m} \right)x + 9\sqrt 2 - 30 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\) (\(x\) là ẩn số, \(m\) là tham số).
Tìm giá trị của tham số \(m\) để phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung \(x = 3\).
-
A
\(m = \sqrt 2\)
-
B
\(m=1\)
-
C
\(m = 2\)
-
D
\(m = \sqrt 2-1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Một số là nghiệm của phương trình thì thoả mãn phương trình.
Phương trình (1) có hai nghiệm \({\Delta _1} \ge 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2{m^2} + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^3} + 7\sqrt 2 - 23} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^4} + 4{m^2} + 1 - 4{m^3} - 28\sqrt 2 + 92 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^4} - 4{m^3} + 4{m^2} - 28\sqrt 2 + 93 \ge 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Phương trình (2) có hai nghiệm \({\Delta _2} \ge 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - m} \right)^2} - 8\left( {9\sqrt 2 - 30} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^4} - 2{m^3} + {m^2} - 72\sqrt 2 + 240 \ge 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)
Hai phương trình đã cho có nghiệm chung là \(x = 3\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 + \left( {2{m^2} + 1} \right).3 + {m^3} + 7\sqrt 2 - 23 = 0\\2.9 + \left( {{m^2} - m} \right).3 + 9\sqrt 2 - 30 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} + 6{m^2} + 7\sqrt 2 - 11 = 0\\3{m^2} - 3m + 9\sqrt 2 - 12 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} + 6{m^2} + 7\sqrt 2 - 11 = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\\{m^2} - m + 3\sqrt 2 - 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Giải phương trình (4) ta được:
\(\begin{array}{l}\left( 4 \right) \Leftrightarrow {m^2} - m = 4 - 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {m^2} - 2.m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{17}}{4} - 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{17 - 12\sqrt 2 }}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{9 - 2.3.2\sqrt 2 + 8}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}\\m - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 - \sqrt 2 \,\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right),\,\,\left( {**} \right)} \right)\\m = \sqrt 2 - 1\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right),\,\,\left( {**} \right)} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
+) Với \(m = 2 - \sqrt 2 \) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^3} + 6{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^2} + 7\sqrt 2 - 11 = 0\\ \Leftrightarrow 20 - 14\sqrt 2 + 6\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right) + 7\sqrt 2 - 11 = 0\\ \Leftrightarrow 9 - 7\sqrt 2 + 36 - 24\sqrt 2 = 0\\ \Leftrightarrow 45 - 31\sqrt 2 = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow m = 2 - \sqrt 2 \) không thỏa mãn bài toán.
+) Với \(m = \sqrt 2 - 1\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^3} + 6{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} + 7\sqrt 2 - 11 = 0\\ \Leftrightarrow - 7 + 5\sqrt 2 + 6\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) + 7\sqrt 2 - 11 = 0\\ \Leftrightarrow - 18 + 12\sqrt 2 + 18 - 12\sqrt 2 = 0\\ \Leftrightarrow 0 = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow m = \sqrt 2 - 1\) thỏa mãn bài toán.
Vậy \(m = \sqrt 2 - 1\) thỏa mãn bài toán.
Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: \({(x - 1)^3} + {(2x + 3)^3} = 27{x^3} + 8\)
-
A
Phương trình vô nghiệm
-
B
1 nghiệm
-
C
2 nghiệm
-
D
3 nghiệm
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
- Phân tích các hằng đẳng thức để đưa phương trình đã cho về dạng một phương trình bậc ba.- Phân tích đa thức bậc ba thành tích của các phân thức bậc thấp hơn để giải phương trình.
\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,{(x - 1)^3} + {(2x + 3)^3} = 27{x^3} + 8 \cr & \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 8{x^3} + 36{x^2} + 54x + 27 = 27{x^3} + 8 \cr & \Leftrightarrow 18{x^3} - 33{x^2} - 57x - 18 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3(6{x^3} - 11{x^2} - 19x - 6) = 0 \cr & \Leftrightarrow 6{x^3} - 11{x^2} - 19x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow 6{x^3} - 18{x^2} + 7{x^2} - 21x + 2x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow 6{x^2}(x - 3) + 7x(x - 3) + 2(x - 3) = 0 \cr & \Leftrightarrow (x - 3)(6{x^2} + 7x + 2) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - 3 = 0 \hfill \cr 6{x^2} + 7x + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 3 \hfill \cr 6{x^2} + 7x + 2 = 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Giải phương trình: \(6{x^2} + 7x + 2 = 0\)
Ta có : \(\Delta = {( - 7)^2} - 4.6.2 = 1 > 0\) suy ra phương trình có hai nghiệm là: \(\displaystyle {x_1} = {{ - 7 - \sqrt 1 } \over {2.6}} = {{ - 2} \over 3};\,\,\,\displaystyle {x_2} = {{ - 7 + \sqrt 1 } \over {2.6}} = {{ - 1} \over 2}.\)
Tập nghiệm của phương trình đã cho là \(\displaystyle S = \left\{ {3;{{ - 2} \over 3};{{ - 1} \over 2}} \right\}.\)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.