Câu hỏi 1 :

Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn

  • A

    ${x^2} - \sqrt x  + 1 = 0$

  • B

    $2{x^2} - 2018 = 0$

  • C

    $x + \dfrac{1}{x} - 4 = 0$

  • D

    $2x - 1 = 0$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Lời giải chi tiết :

- Phương trình bậc hai một ẩn ( hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

$a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ trong đó  $a,b,c$ là các số thực cho trước, $x$ là ẩn số.

Câu hỏi 2 :

Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$. Phương trình đã cho vô nghiệm khi:

  • A

    $\Delta  < 0$

  • B

    $\Delta  = 0$

  • C

    $\Delta  \ge 0$

  • D

    $\Delta  \le 0$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

và biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$.

TH1. Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

TH2. Nếu  $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}}$

TH3. Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

Câu hỏi 3 :

Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac > 0$ . Khi đó phương trình có hai nghiệm là

  • A

    ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}}$

  • B

    ${x_1} = \dfrac{{b + \sqrt \Delta  }}{{2a}};{x_2} = \dfrac{{b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

  • C

    ${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{{2a}};{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

  • D

    ${x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta  }}{a};{x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta  }}{a}$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình bậc hai một ẩn $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

và biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$.

TH1. Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

TH2. Nếu  $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}}$

TH3. Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

Câu hỏi 4 :

Không dùng công thức nghiệm, tính tổng các nghiệm của phương trình $6{x^2} - 7x = 0$.

  • A

    $ - \dfrac{7}{6}$

  • B

    $\dfrac{7}{6}$

  • C

    $\dfrac{6}{7}$

  • D

    $ - \dfrac{6}{7}$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.

Lời giải chi tiết :

Ta có $6{x^2} - 7x = 0$$ \Leftrightarrow x\left( {6x - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{7}{6}\end{array} \right.$

Nên tổng các nghiệm của phương trình là $0 + \dfrac{7}{6} = \dfrac{7}{6}$.

Câu hỏi 5 :

Không dùng công thức nghiệm, tìm số nghiệm của phương trình $ - 4{x^2} + 9 = 0$.

  • A

    $0$

  • B

    $1$

  • C

    $3$

  • D

    $2$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Giải phương trình bằng cách đưa về bình phương của một số.

Lời giải chi tiết :

Ta có $ - 4{x^2} + 9 = 0$$ \Leftrightarrow 4{x^2} = 9 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{2}\\x =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$

Phương trình có hai nghiệm $x = \dfrac{3}{2};x =  - \dfrac{3}{2}$.

Câu hỏi 6 :

Tìm tích các giá trị của m để phương trình $4m{x^2} - x - 14{m^2} = 0$ có nghiệm $x = 2$.

  • A

    $\dfrac{1}{7}$

  • B

    $\dfrac{2}{7}$

  • C

    $\dfrac{6}{7}$

  • D

    $\dfrac{8}{7}$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Thay nghiệm $x = {x_0}$ vào phương trình ta được phương trình mới ẩn $m$

Bước 2: Giải phương trình thu được ta tìm được $m$.

Lời giải chi tiết :

Thay $x = 2$ vào phương trình $4m{x^2} - x - 10{m^2} = 0$ , ta có

$4m{.2^2} - 2 - 14{m^2} = 0 $

$\Leftrightarrow 14{m^2} - 16m + 2 = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {14m - 2} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{7}\\m = 1\end{array} \right.$

Suy ra tích các giá trị của $m$ là $\dfrac{1}{7}.1 = \dfrac{1}{7}$.

Câu hỏi 7 :

Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm số nghiệm của phương trình $9{x^2} - 15x + 3 = 0$.

  • A

    $\Delta  = 117$ và phương trình có nghiệm kép.

  • B

    $\Delta  =  - 117$ và phương trình vô nghiệm

  • C

    $\Delta  = 117$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt

  • D

    $\Delta  =  - 117$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Xác định các hệ số  $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$

Bước 2: Kết luận

- Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu  $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{a}$

- Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có $9{x^2} - 15x + 3 = 0$$\left( {a = 9;b =  - 15;c = 3} \right)$$ \Rightarrow \Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 15} \right)^2} - 4.9.3 = 117 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Câu hỏi 8 :

Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m – 4=0\) , với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm trái dấu?

 

  • A
    m = 4
  • B
    m = - 4
  • C
    m < 4
  • D
    m > 4

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Phương trình có hai nghiệm trái dấu  \(\Leftrightarrow ac < 0\)

Lời giải chi tiết :

Để phương trình:  \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m – 4=0\) có hai nghiệm trái dấu  \( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow m - 4 < 0 \Leftrightarrow m < 4.\)

Vậy với m < 4 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

Câu hỏi 9 :

Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm các nghiệm (nếu có ) của phương trình ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0$

  • A

    $\Delta  = 0$ và phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = \sqrt 2 $.

  • B

    $\Delta  < 0$ và phương trình vô nghiệm

  • C

    $\Delta  = 0$ và phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} =  - \sqrt 2 $.

  • D

    $\Delta  > 0$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1} =  - \sqrt 2 ;{x_2} = \sqrt 2 $

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Xác định các hệ số  $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$

Bước 2: Kết luận

- Nếu $\Delta  < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu  $\Delta  = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{a}$

- Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 = 0$$\left( {a = 1;b =  - 2\sqrt 2 ;c = 2} \right)$$ \Rightarrow \Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 4.1.2 = 0$ nên phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 $.

Câu hỏi 10 :

Cho phương trình \({x^2} + 1 = 9{m^2}{x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x\,\left( {m \in \,R} \right).\) Tích \(P\) tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình đã cho không là phương trình bậc hai bằng

  • A

    \(P = \dfrac{1}{9}\)                   

  • B

    \(P =  - \dfrac{1}{3}\)    

  • C

    \(P = \dfrac{1}{3}\)       

  • D

    \(P =  - \dfrac{1}{9}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

+) Đưa phương trình về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\).

+) Phương trình trên không là phương trình bậc hai \( \Leftrightarrow a = 0\).

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}{x^2} + 1 = 9{m^2}{x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x\\ \Leftrightarrow \left( {9{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {3m + 1} \right)x - 1 = 0\end{array}\)

Phương trình trên không là phương trình bậc hai \( \Leftrightarrow 9{m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm \dfrac{1}{3}\).

Vậy tích các giá trị của m là \(P =  - \dfrac{1}{9}\).

Câu hỏi 11 :

Tìm điều kiện của tham số  $m$ để phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt .

  • A

    $m \ge 0$

  • B

    $m = 0$

  • C

    $m > 0$

  • D

    $m < 0$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

Bước 1: Xác định các hệ số  $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$

Bước 2: 

1. PT có nghiệm kép $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  = 0\end{array} \right.$

2. PT có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\end{array} \right.$

3. PT vô nghiệm $ \Leftrightarrow a \ne 0;\,\Delta  < 0$

Từ đó giải các điều kiện và tìm ra $m$.

Lời giải chi tiết :

Phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\)$\left( {a =  - 1;b = 2m;c =  - {m^2} - m} \right)$

$ \Rightarrow \Delta  = {\left( {2m} \right)^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - {m^2} - m} \right) = 4{m^2} - 4{m^2} - 4m =  - 4m$

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \ne 0\\ - 4m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0$

Vậy với $m < 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Câu hỏi 12 :

Tìm các giá trị của tham số  $m$ để  phương trình \({x^2} + mx - m = 0\) có nghiệm kép.

  • A

    $m = 0;m =  - 4$

  • B

    $m = 0$

  • C

    $m =  - 4$

  • D

    $m = 0;m = 4$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

Bước 1: Xác định các hệ số  $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$

Bước 2: 

1. PT có nghiệm kép $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  = 0\end{array} \right.$

2. PT có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\end{array} \right.$

3. PT vô nghiệm $ \Leftrightarrow a \ne 0;\,\Delta  < 0$

Từ đó giải các điều kiện và tìm ra $m$.

Lời giải chi tiết :

Phương trình \({x^2} + mx - m = 0\)$\left( {a = 1;b = m;c =  - m} \right)$

$ \Rightarrow \Delta  = {m^2} - 4.1.\left( { - m} \right) = {m^2} + 4m$

Để phương trình đã cho có nghiệm kép thì

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\\{m^2} + 4m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 4\end{array} \right.$

Vậy với $m = 0;m =  - 4$ thì phương trình có nghiệm kép.

Câu hỏi 13 :

Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \({x^2} + (1 - m)x - 3 = 0\) vô nghiệm

  • A

    $m = 0$

  • B

    Không tồn tại $m$

  • C

    $m =  - 1$

  • D

    $m = 1$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$

Bước 1: Xác định các hệ số  $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$

Bước 2: 

1. PT có nghiệm kép $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta= 0\end{array} \right.$

2. PT có hai nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\end{array} \right.$

3. PT vô nghiệm $ \Leftrightarrow a \ne 0;\,\Delta  < 0$

Từ đó giải các điều kiện và tìm ra $m$.

Lời giải chi tiết :

Phương trình \({x^2} + (1 - m)x - 3 = 0\)$\left( {a = 1;b = 1 - m;c =  - 3} \right)$

$ \Rightarrow \Delta  = {\left( {1 - m} \right)^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = {\left( {1 - m} \right)^2} + 12 \ge 12 > 0;\,\forall m$

Nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt

Hay không có giá trị nào của $m$ để phương trình vô nghiệm.

Câu hỏi 14 :

Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình \((m + 2){x^2} + 2x + m = 0\) vô nghiệm

  • A

    $\left[ \begin{array}{l}m \ge 1 + \sqrt 2 \\m \le 1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$

  • B

    $\left[ \begin{array}{l}m > -1 + \sqrt 2 \\m < -1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$

  • C

    $1 - \sqrt 2  \le m \le 1 + \sqrt 2 $

  • D

    $1 - \sqrt 2  < m < 1 + \sqrt 2 $

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Xét phương trình bậc hai: ${\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c = 0$

Bước 1: Xác định các hệ số  $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$

Bước 2: 

TH1: Xét \( a=0\)

Th2: Xét \(a \ne 0\)  thì PT vô nghiệm $ \Leftrightarrow \Delta  < 0$

Từ đó giải các điều kiện và tìm ra $m$.

Lời giải chi tiết :

Phương trình \((m + 2){x^2} + 2x + m = 0\)$\left( {a = m + 2;b = 2;c = m} \right)$

TH1: $m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2$ ta có phương trình: $2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

TH2: $m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 2$

Ta có $\Delta  = {2^2} - 4\left( {m + 2} \right).m =  - 4{m^2} - 8m + 4$

Để phương trình đã cho vô nghiệm thì $\left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 2\\ - 4{m^2} - 8m + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne -2\\2 - {\left( {m + 1} \right)^2} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne -2\\{\left( {m + 1} \right)^2} > 2\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne -2\\\left[ \begin{array}{l}m + 1 > \sqrt 2 \\m + 1 <  - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > -1 + \sqrt 2\\m < -1 - \sqrt 2 \end{array} \right.$

Câu hỏi 15 :

Tìm điều kiện của tham số $m$  để phương trình \(m{x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0\) có nghiệm.

  • A

    $m \ge 1$

  • B

    $m > 1$

  • C

    $m \ge  - 1$

  • D

    $m \le  - 1$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

TH1: Xét $a = 0$

TH2: Xét $a \ne 0$

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm khi $\Delta  \ge 0$.

Lời giải chi tiết :

Phương trình \(m{x^2} - 2(m - 1)x + m - 3 = 0\)$\left( {a = m;b =  - 2\left( {m - 1} \right);c = m - 3} \right)$

TH1: $m = 0$ ta có phương trình $2x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2x=3\Leftrightarrow x = \dfrac{3}{2}$

TH2: $m \ne 0$, ta có $\Delta  = b^2-4ac=4{\left( {m - 1} \right)^2} - 4m.\left( {m - 3} \right)$$=4m^2-8m+4-4m^2+12m = 4m + 4$

Để phương trình đã cho có nghiệm thì $\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow 4m + 4 \ge 0 \Leftrightarrow 4m\ge -4 \Leftrightarrow m \ge  - 1$.

Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì $m \ge  - 1$.

Câu hỏi 16 :

Cho phương trình ${x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0$. Kết luận nào sau đây là đúng?

  • A

    Phương trình vô nghiệm với mọi $m$

  • B

    Phương trình có nghiệm kép với mọi $m$

  • C

    Phương trình hai nghiệm phân biệt  với mọi $m$

  • D

    Phương trình có nghiệm  với mọi $m$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

+) Tính biệt thức $\Delta $, đánh giá $\Delta $ và kết luận số nghiệm của phương trình.

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} - \left( {m - 1} \right)x - m = 0$ có $a = 1;b =  - \left( {m - 1} \right);c =  - m$

Suy ra $\Delta  = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4.1.\left( { - m} \right) = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0,\forall m$

Nên phương trình đã cho có nghiệm với mọi $m$.

Câu hỏi 17 :

Biết rằng phương trình ${x^2} - {\rm{ }}2(3m + 2)x + {\rm{ }}2{m^2} - 3m - 10 = 0$

 có một trong các nghiệm bằng $ - 1$. Tìm nghiệm còn lại với $m > 0$

  • A

    $x = 11$

  • B

    $x =  - 11$

  • C

    $x = 10$

  • D

    $x =  - 10$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Thay nghiệm $x = {x_0}$ vào phương trình ta tìm được $m$.

Bước 2: Thay $m$ trở lại phương trình ban đầu và giải phương trình nhận được ta tìm được nghiệm còn lại.

Lời giải chi tiết :

Thay $x =  - 1$ vào phương trình: ${\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( {3m + 2} \right).\left( { - 1} \right) + 2{m^2} - 3m - 10 = 0$$ \Leftrightarrow 2{m^2} + 3m - 5 = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {2m + 5} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - \dfrac{5}{2}\,\,\left( L \right)\\m = 1\,\,\left( N \right)\end{array} \right.$

+) Với $m = 1$ ta có  phương trình ${x^2} - 10x - 11 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 11} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 11\\x =  - 1\end{array} \right.$

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là $x = 11$.

Câu hỏi 18 :

Phương trình \({x^2} - \left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 6  = 0\) có các nghiệm đều là nghiệm của phương trình \({x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\left(  *  \right).\) Tìm \(b,c\) và giải phương trình \(\left(  *  \right)\) ứng với \(b,c\) vừa tìm được.

  • A
    \(b =  - 5;\,\,c = 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.\)
  • B
    \(b =  - 5;\,\,c = 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm 2;\,\, \pm 3} \right\}.\)
  • C
    \(b = 5;\,\,c =  - 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.\)
  • D
    \(b = 5;\,\,c =  - 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm 2;\,\, \pm 3} \right\}.\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Giải phương trình đã cho, sau đó thay các giá trị của nghiệm vào phương trình \(\left(  *  \right)\).

Lời giải chi tiết :

Phương trình \({x^2} - \left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 6  = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 3 } \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = \sqrt 3 \end{array} \right..\)

Ta có \(x = \sqrt 2 \) và \(x = \sqrt 3 \) là các nghiệm của \(\left( * \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + b{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + c = 0\\{\left( {\sqrt 3 } \right)^4} + b{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + c =  - 4\\3b + c =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 5\\c = 6\end{array} \right..\)

Thay \(\left\{ \begin{array}{l}c = 6\\b =  - 5\end{array} \right.\) vào \(\left(  *  \right)\): \({x^4} - 5{x^2} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2\\{x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 2 \\x =  - \sqrt 3 \\x = \sqrt 2 \\x = \sqrt 3 \end{array} \right..\)

Vậy với \(b =  - 5;\,\,c = 6\) ta được phương trình \(\left( * \right)\) có tập nghiệm: \(S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.\)

Câu hỏi 19 :

Giải phương trình:

Câu 19.1
\(x(2x - 3) + 1 = 4(x - 1).\)
  • A
    \(S = \left\{ {1;\,\frac{5}{2}} \right\}.\)
  • B
    \(S = \left\{ { - 1;\,\frac{5}{2}} \right\}.\)
  • C
    \(S = \left\{ {1;\, - \frac{5}{2}} \right\}.\)
  • D
    \(S = \left\{ { - 1;\, - \frac{5}{2}} \right\}.\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Nhân biểu thức sau đó biến đổi phương trình đưa về phương trình bậc hai một ẩn rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm hoặc đưa về phương trình tích.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}x\left( {2x - 3} \right) + 1 = 4\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 - 4x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\2x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ {1;\,\dfrac{5}{2}} \right\}.\)

Câu 19.2
\({x^2}({x^2} - 2) = 3({x^2} + 12)\)
  • A
    \(S = \left\{ { - 9;\,\,9} \right\}.\)
  • B
    \(S = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}.\)
  • C
    \(S = \left\{ { - 3;\,\,3} \right\}.\)
  • D
    \(S = \left\{ { - \sqrt 3 ;\,\,\sqrt 3 } \right\}.\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Đưa phương trình về phương trình trùng phương và giải phương trình.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}{x^2}({x^2} - 2) = 3({x^2} + 12)\\ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} - 3{x^2} - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {x^4} - 5{x^2} - 36 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 5t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - 9t + 4t - 36 = 0\\ \Leftrightarrow t\left( {t - 9} \right) + 4\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t + 4} \right)\left( {t - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 4 = 0\\t - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 4\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 9\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x =  \pm 3.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là : \(S = \left\{ { - 3;\,\,3} \right\}.\)

Câu hỏi 20 :

Cho phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + m + 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\), với m là tham số.

Câu 20.1
Giải phương trình khi \(m =  - 1\) .
  • A
    \(x = 0\)
  • B
    \(x = 1\)
  • C
    \(x = 2\)
  • D
    \(x = 3\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Thay \(m =  - 1\) vào phương trình rồi giải nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Với \(m =  - 1\) phương trình thành: \( - x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\)

Vậy với \(m =  - 1\) phương trình có nghiệm \(x = 3.\)

Câu 20.2
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.
  • A

    \(m \le \dfrac{7}{8}\)

  • B

    \(m \ge  - \dfrac{7}{8}\)

  • C

    \(m \le  - \dfrac{7}{8}\)

  • D

    \(m \ge \dfrac{7}{8}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0\)

Lời giải chi tiết :

Với \(m =  - 1\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x = 3\)

Với \(m \ne  - 1,\,\,\,\left( 1 \right)\) là phương trình bậc hai có:

\(\Delta  = {\left( {2m + 3} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right)\left( {m + 4} \right) = 4{m^2} + 12m + 9 - 4{m^2} - 20m - 16 =  - 8m - 7\)

Để phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow  - 8m - 7 \ge 0 \Leftrightarrow m \le  - \dfrac{7}{8}\)

Vậy với \(m \le  - \dfrac{7}{8}\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.

Câu hỏi 21 :

 Giải phương trình \(5{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-16=10-{{x}^{2}}\)

  • A
    \(x=\sqrt{2}\)              
  • B
    \(x=\pm \sqrt{2}\)                            
  • C
     \(x=-\sqrt{2}\)           
  • D
      \(x=2\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

 Thu gọn phương trình ban đầu về phương trình trùng phương. Đặt \({{x}^{2}}=t\,\,(t\ge 0)\) đưa phương trình trùng phương ban đầu về phương trình bậc hai. Giải phương trình bậc hai tìm t, kết hợp với điều kiện, tìm x ban đầu.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,5{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-16=10-{{x}^{2}} \\  & \Leftrightarrow 5{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-26=0 \\ \end{align}\)

Đặt  \({{x}^{2}}=t\,\,\,\left( t\ge 0 \right)\)

PT  \(\Leftrightarrow 5{{t}^{2}}+3t-26=0\,\,\left( * \right)\)

\(\Delta ={{3}^{2}}-4.5.(-26)=529>0\).

PT  (*) có 2 nghiệm phân biệt: \(\left[ \begin{align}  & {{t}_{1}}=\frac{-3+\sqrt{529}}{2.5}=2\ \ \left( tm \right) \\  & {{t}_{2}}=\frac{-3-\sqrt{529}}{2.5}=\frac{-13}{5}\ \ \left( ktm \right) \\ \end{align} \right.\) 

Với \(t=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}.\)  

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:  \(x=\pm \sqrt{2}\)

Câu hỏi 22 :

Tìm m để parabol  \(\left( P \right):y = {x^2} - (m - 1)x + m + 2\) và đường thẳng \(d:y = 2x + 4\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

  • A

    \(\displaystyle m =  - {4 \over 3}\)

  • B

    \(\displaystyle m = {4 \over 3}\)

  • C

    \(\displaystyle m =  {3 \over 4}\)

  • D
    \(m \in R\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Sử dụng phương trình hoành độ giao điểm để biện luận số giao điểm

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để biện luận

Lời giải chi tiết :

Parabol (P)  và đường thẳng d cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow {x^2} - (m - 1)x + m + 2 - 2x - 4 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow {x^2} - (m + 1)x + m - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta  = {( - (m + 1))^2} - 4(m - 2) > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - 4m + 8 > 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 1 + 8 > 0 \Leftrightarrow {(m - 1)^2} + 8 > 0\) (luôn đúng với mọi m).

Câu hỏi 23 :

Tìm \(m\) để hai phương trình \({x^2} + mx + 1 = 0\) và \({x^2} + x + m = 0\) có ít nhất một nghiệm chung.

  • A

    \(1\)

  • B

    \(2\)

  • C

    \( - 1\)

  • D

    \( - 2\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Hai phương trình có nghiệm chung thì nghiệm chung đó phải thoả mãn cả hai phương trình

Lời giải chi tiết :

Gọi \({x_0}\) là nghiệm chung của hai phương trình thì \({x_0}\) phải thỏa mãn hai phương trình trên.

Thay \(x = {x_0}\) vào hai phương trình trên ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0}^2 + m{x_0} + 1 = 0\\{x_0}^2 + {x_0} + m = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow (m - 1){x_0} + 1 - m = 0\) \(\Leftrightarrow (m - 1)(x_0-1) = 0\,(*)\)

Xét phương trình (*)

+) Nếu \(m = 1\) thì \(0 = 0\) (luôn đúng) hay hai phương trình trùng nhau.

Lúc này phương trình \({x^2} + x + 1 = 0\) vô nghiệm nên cả hai phương trình đều vô nghiệm.

Vậy \(m = 1\) không thỏa mãn.

+) Nếu \(m \ne 1\) thì \({x_0} = 1\).

Thay \({x_0} = 1\) vào phương trình \({x_0}^2 + m{x_0} + 1 = 0\) ta được \(m =  - 2\).

Vậy \(m =  - 2\) thì hai phương trình có nghiệm chung.

Câu hỏi 24 :

Cho hai phương trình \({x^2} - 13x + 2m = 0\) (1) và \({x^2} - 4x + m = 0\) (2). Xác định \(m\) để một nghiệm phương trình (1) gấp đôi \(1\)  nghiệm phương trình (2).

  • A

    \( - 45\)

  • B

    \( - 5\)

  • C

    \(0\) và \( - 5\)

  • D

    Đáp án khác

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Một số là nghiệm của phương trình thì thoả mãn phương trình.

Lời giải chi tiết :

Gọi nghiệm phương trình (2) là \({x_0}\left( {{x_0} \ne 0} \right)\) thì  nghiệm phương trình (1) là \(2{x_0}\).

Thay \({x_0},2{x_0}\) lần lượt vào phương trình (2) và (1) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{(2{x_0})^2} - 13.2{x_0} + 2m = 0\\{x_0}^2 - 4{x_0} + m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2}_0 - 26{x_0} + 2m = 0\\{x_0}^2 - 4{x_0} + m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2}_0 - 26{x_0} + 2m = 0\\4{x_0}^2 - 16{x_0} + 4m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 10{x_0} =  - 2m\)\( \Leftrightarrow {x_0} =  - \dfrac{m}{5}\)

Do \({x_0} \ne 0\) nên \(m \ne 0\).

Thay \({x_0} =  - \dfrac{m}{5}\) vào phương trình (2) ta được \({\left( { - \dfrac{m}{5}} \right)^2} - 4.\left( { - \dfrac{m}{5}} \right) + m = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{4m}}{5} + m = 0\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{m^2}}}{{25}} + \dfrac{{9m}}{5} = 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 45\end{array} \right.\)

Kết hợp \(m \ne 0\) ta được \(m =  - 45\)

Câu hỏi 25 :

Cho hai phương trình \({x^2} + \left( {2{m^2} + 1} \right)x + {m^3} + 7\sqrt 2  - 23 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(2{x^2} + \left( {{m^2} - m} \right)x + 9\sqrt 2  - 30 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\) (\(x\) là ẩn số, \(m\) là tham số).

Tìm giá trị của tham số \(m\) để phương trình (1) và phương trình (2) có nghiệm chung \(x = 3\).

  • A

    \(m = \sqrt 2\)

  • B

    \(m=1\)

  • C

    \(m =  2\)

  • D

    \(m = \sqrt 2-1\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Một số là nghiệm của phương trình thì thoả mãn phương trình.

Lời giải chi tiết :

Phương trình (1) có hai nghiệm \({\Delta _1} \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {2{m^2} + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^3} + 7\sqrt 2  - 23} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^4} + 4{m^2} + 1 - 4{m^3} - 28\sqrt 2  + 92 \ge 0\\ \Leftrightarrow 4{m^4} - 4{m^3} + 4{m^2} - 28\sqrt 2  + 93 \ge 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Phương trình (2) có hai nghiệm \({\Delta _2} \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{m^2} - m} \right)^2} - 8\left( {9\sqrt 2  - 30} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {m^4} - 2{m^3} + {m^2} - 72\sqrt 2  + 240 \ge 0\,\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

Hai phương trình đã cho có nghiệm chung là \(x = 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 + \left( {2{m^2} + 1} \right).3 + {m^3} + 7\sqrt 2  - 23 = 0\\2.9 + \left( {{m^2} - m} \right).3 + 9\sqrt 2  - 30 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} + 6{m^2} + 7\sqrt 2  - 11 = 0\\3{m^2} - 3m + 9\sqrt 2  - 12 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^3} + 6{m^2} + 7\sqrt 2  - 11 = 0\,\,\,\,\left( 3 \right)\\{m^2} - m + 3\sqrt 2  - 4 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Giải phương trình (4) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( 4 \right) \Leftrightarrow {m^2} - m = 4 - 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {m^2} - 2.m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{{17}}{4} - 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{17 - 12\sqrt 2 }}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{9 - 2.3.2\sqrt 2  + 8}}{4}\\ \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}\\m - \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{{3 - 2\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 - \sqrt 2 \,\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right),\,\,\left( {**} \right)} \right)\\m = \sqrt 2  - 1\,\,\,\left( {tm\,\,\,\left( * \right),\,\,\left( {**} \right)} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(m = 2 - \sqrt 2 \) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^3} + 6{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^2} + 7\sqrt 2  - 11 = 0\\ \Leftrightarrow 20 - 14\sqrt 2  + 6\left( {6 - 4\sqrt 2 } \right) + 7\sqrt 2  - 11 = 0\\ \Leftrightarrow 9 - 7\sqrt 2  + 36 - 24\sqrt 2  = 0\\ \Leftrightarrow 45 - 31\sqrt 2  = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow m = 2 - \sqrt 2 \) không thỏa mãn bài toán.

+) Với \(m = \sqrt 2  - 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^3} + 6{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} + 7\sqrt 2  - 11 = 0\\ \Leftrightarrow  - 7 + 5\sqrt 2  + 6\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) + 7\sqrt 2  - 11 = 0\\ \Leftrightarrow  - 18 + 12\sqrt 2  + 18 - 12\sqrt 2  = 0\\ \Leftrightarrow 0 = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow m = \sqrt 2  - 1\) thỏa mãn bài toán.

Vậy \(m = \sqrt 2  - 1\) thỏa mãn bài toán.

Câu hỏi 26 :

Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm: \({(x - 1)^3} + {(2x + 3)^3} = 27{x^3} + 8\)

  • A
    Phương trình vô nghiệm                     
  • B
    1 nghiệm         
  • C
    2 nghiệm         
  • D
    3 nghiệm         

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

- Phân tích các hằng đẳng thức để đưa phương trình đã cho về dạng một phương trình bậc ba.- Phân tích đa thức bậc ba thành tích của các phân thức bậc thấp hơn để giải phương trình.

Lời giải chi tiết :

\(\eqalign{& \,\,\,\,\,\,{(x - 1)^3} + {(2x + 3)^3} = 27{x^3} + 8  \cr &  \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 8{x^3} + 36{x^2} + 54x + 27 = 27{x^3} + 8  \cr &  \Leftrightarrow 18{x^3} - 33{x^2} - 57x - 18 = 0  \cr &  \Leftrightarrow 3(6{x^3} - 11{x^2} - 19x - 6) = 0  \cr &  \Leftrightarrow 6{x^3} - 11{x^2} - 19x - 6 = 0  \cr &  \Leftrightarrow 6{x^3} - 18{x^2} + 7{x^2} - 21x + 2x - 6 = 0  \cr  &  \Leftrightarrow 6{x^2}(x - 3) + 7x(x - 3) + 2(x - 3) = 0  \cr &  \Leftrightarrow (x - 3)(6{x^2} + 7x + 2) = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - 3 = 0 \hfill \cr 6{x^2} + 7x + 2 = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 3 \hfill \cr 6{x^2} + 7x + 2 = 0 \hfill \cr}  \right. \cr} \)

+) Giải phương trình:  \(6{x^2} + 7x + 2 = 0\)

Ta có : \(\Delta  = {( - 7)^2} - 4.6.2 = 1 > 0\) suy ra phương trình có hai nghiệm là:   \(\displaystyle {x_1} = {{ - 7 - \sqrt 1 } \over {2.6}} = {{ - 2} \over 3};\,\,\,\displaystyle {x_2} = {{ - 7 + \sqrt 1 } \over {2.6}} = {{ - 1} \over 2}.\)

Tập nghiệm của phương trình đã cho là  \(\displaystyle S = \left\{ {3;{{ - 2} \over 3};{{ - 1} \over 2}} \right\}.\)

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.