Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $b = 2b';\Delta ' = b{'^2} - ac$. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi
-
A
$\Delta ' > 0$
-
B
$\Delta ' = 0$
-
C
$\Delta ' \ge 0$
-
D
$\Delta ' \le 0$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = b{'^2} - ac.$
Trường hợp 1. Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.
Trường hợp 2. Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}$
Trường hợp 3. Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,}}_2 = - \dfrac{{b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}$
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $b = 2b';\Delta ' = b{'^2} - ac$. Nếu $\Delta ' = 0$ thì
-
A
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
-
B
Phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{a}$
-
C
Phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}$
-
D
Phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{{2a}}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = b{'^2} - ac.$
Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}$
Tính $\Delta '$ và tìm số nghiệm của phương trình \(7{x^2} - 12x + 4 = 0\) .
-
A
$\Delta ' = 6$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt
-
B
$\Delta ' = 8$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt
-
C
$\Delta ' = 8$ và phương trình có nghiệm kép
-
D
$\Delta ' = 0$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Xét phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) với $b = 2b'$và \(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac\)
Trường hợp 1. Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2. Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b'}}{a}\)
Trường hợp 3. Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}\)
Phương trình \(7{x^2} - 12x + 4 = 0\) có $a = 7;b' = - 6;c = 4$ suy ra
$\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.7 = 8 > 0$
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Tìm $m$ để phương trình $2m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = 0$ có nghiệm là $x = 2$.
-
A
$m = - \dfrac{5}{4}$
-
B
$m = \dfrac{1}{4}$
-
C
$m = \dfrac{5}{4}$
-
D
$m = - \dfrac{1}{4}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Thay $x = {x_0}$ vào phương trình đã cho ta được phương trình ẩn $m$. Giải phương trình ta tìm được $m$.
Thay $x = 2$ vào phương trình $2m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = 0$ ta được: $2m{.2^2} - \left( {2m + 1} \right).2 - 3 = 0 \Leftrightarrow 4m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{4}$
Vậy $m = \dfrac{5}{4}$ là giá trị cần tìm.
Tính $\Delta '$ và tìm nghiệm của phương trình \(2{x^2} + 2\sqrt {11} x + 3 = 0\) .
-
A
$\Delta ' = 5$ và phương trình có hai nghiệm ${x_1} = {x_2} = \dfrac{{\sqrt 1 1}}{2}$
-
B
$\Delta ' = 5$ và phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{- 2\sqrt {11} + \sqrt 5}{2}$ ;${x_2} = \dfrac{-2 \sqrt {11} - \sqrt 5}{2}$
-
C
$\Delta ' = \sqrt 5 $ và phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \sqrt {11} + \sqrt 5 ;{x_2} = \sqrt {11} - \sqrt 5 $
-
D
$\Delta ' = 5$ và phương trình có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{- \sqrt {11} + \sqrt 5}{2}$ ;${x_2} = \dfrac{- \sqrt {11} - \sqrt 5}{2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Xét phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) với $b = 2b'$và \(\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac\)
Trường hợp 1. Nếu \(\Delta ' < 0\) thì phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2. Nếu \(\Delta ' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b'}}{a}\)
Trường hợp 3. Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \dfrac{{ - b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}\)
Phương trình \(2{x^2} + 2\sqrt {11} x + 3 = 0\) có $a = 2;b' = \sqrt {11} ;c = 3$ suy ra
$\Delta ' = {\left( {b'} \right)^2} - ac = 11 - 2.3 = 5 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
${x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{- \sqrt {11} + \sqrt 5}{2}$
${x_2} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \dfrac{- \sqrt {11} - \sqrt 5}{2} $.
Cho phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\). Với giá trị nào dưới đây của $m$ thì phương trình không có hai nghiệm phân biệt.
-
A
$m = - \dfrac{5}{4}$
-
B
$m = \dfrac{1}{4}$
-
C
$m = \dfrac{5}{4}$
-
D
$m = - \dfrac{1}{4}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Xét phương trình bậc hai dạng $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$
Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\)
Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 = 0\) có $a = m;b' = - \left( {m - 1} \right);c = m - 3$
Suy ra $\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - m\left( {m - 3} \right)$
$= m + 1$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m > - 1\end{array} \right.$
Nên với đáp án $A$: $m=-\dfrac{5}{4}<-1$ thì phương trình không có hai nghiệm phân biệt.
Cho phương trình \(\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0\). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình vô nghiệm
-
A
$m < - 2$
-
B
$m < 2$
-
C
$m < 3$
-
D
$m < - 3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Xét phương trình bậc hai dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ với $b = 2b'$
TH1: $a = 0$
TH2: $a \ne 0$. Khi đó, phương trình vô nghiệm\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\)
Phương trình \(\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0\) có $a = m - 3;b' = - m;c = m - 6$
Suy ra $\Delta ' = {m^2} - \left( {m - 3} \right)\left( {m - 6} \right) = 9m - 18$
TH1: $m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3 \Rightarrow - 6x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}$
TH2: $m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 3$
Để phương trình có vô nghiệm phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\9m - 18 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\m < 2\end{array} \right. \Rightarrow m < 2$
Vậy $m < 2$ là giá trị cần tìm.
Cho phương trình \((m - 2){x^2} - 2(m + 1)x + m = 0\). Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có một nghiệm
-
A
$m = - 2$
-
B
$m = 2;m = - \dfrac{1}{4}$
-
C
$m = - \dfrac{1}{4}$
-
D
$m \ne 2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Xét phương trình bậc hai dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ với $b = 2b'$
TH1: $a = 0$
TH2: $a \ne 0$. Khi đó, phương trình có nghiệm kép\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right.\)
Phương trình \((m - 2){x^2} - 2(m + 1)x + m = 0\) có $a = m - 2;b' = - \left( {m + 1} \right);c = m$
Suy ra $\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)m = 4m + 1$
TH1: $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2 \Rightarrow - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}$. Với $m = 2$ phương trình có một nghiệm $x = \dfrac{1}{3}$
TH2: $m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2$
Để phương trình có nghiệm kép thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\4m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m = - \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Rightarrow m = - \dfrac{1}{4}$
Vậy $m = - \dfrac{1}{4}$ và $m = 2$ là giá trị cần tìm.
Tìm các giá trị của $m$ để phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 2 = 0\) có nghiệm
-
A
$m \le \dfrac{1}{4}$
-
B
$m = 0$
-
C
$m \le \dfrac{1}{4};m \ne 0$
-
D
$m \ne \dfrac{1}{4}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Xét phương trình bậc hai dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ với $b = 2b'$
TH1: $a = 0$
TH2: $a \ne 0$. Khi đó, phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right.\)
Phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 2 = 0\) có $a = m;b' = - \left( {m - 1} \right);c = m + 2$
Suy ra $\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - m\left( {m + 2} \right) = - 4m + 1$
TH1: $m = 0$ ta có phương trình $2x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$.
TH2: $m \ne 0$. Phương trình có nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\ - 4m + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \le \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$
Kết hợp cả hai trường hợp ta có với $m \le \dfrac{1}{4}$ thì phương trình có nghiệm.
Trong trường hợp phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có hai nghiệm phân biệt. Hai nghiệm của phương trình là
-
A
${x_1} = m - \sqrt { - m} ;{x_2} = m + \sqrt { - m} $
-
B
${x_1} = m - \sqrt m ;{x_2} = m + \sqrt m $
-
C
${x_1} = m - 2\sqrt { - m} ;{x_2} = m + 2\sqrt { - m} $
-
D
${x_1} = 2m - \sqrt { - m} ;{x_2} = 2m + \sqrt { - m} $
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = b{'^2} - ac.$
Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}}= \dfrac{{-b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}$
Phương trình \( - {x^2} + 2mx - {m^2} - m = 0\) có $a = - 1;b' = m;c = - {m^2} - m$
Suy ra $\Delta ' = {m^2} - \left( { - 1} \right).\left( { - {m^2} - m} \right) = - m$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $ - m > 0 \Leftrightarrow m < 0$
Khi đó ${x_1} = \dfrac{{ - m + \sqrt { - m} }}{{ - 1}} = m - \sqrt { - m} $ ; ${x_2} = \dfrac{{ - m - \sqrt { - m} }}{{ - 1}} = m + \sqrt { - m} $.
Cho phương trình \({x^2} + \left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0\) với \(a,b,c\) là ba cạnh của một tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
-
B
Phương trình luôn có nghiệm kép
-
C
Chưa đủ điều kiện để kết luận
-
D
Phương trình luôn vô nghiệm.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+) Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai
+) Sử dụng bất đẳng thức tam giác để đánh giá $\Delta $.
Phương trình \({x^2} + \left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0\)
Có $\Delta = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 4\left( {ab + bc + ca} \right)$$ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2ac - 2bc = {\left( {a - b} \right)^2} - {c^2} + {\left( {b - c} \right)^2} - {a^2} + {\left( {a - c} \right)^2} - {b^2}$
$ = \left( {a - b - c} \right)\left( {a + c - b} \right) + \left( {b - c - a} \right)\left( {a + b - c} \right) + \left( {a - c - b} \right)\left( {a - c + b} \right)$
Mà $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác nên $\left\{ \begin{array}{l}a - b - c < 0\\b - c - a < 0\\a - c - b < 0\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}a + c - b > 0\\a + b - c > 0\end{array} \right.$
Nên $\Delta < 0$ với mọi $a,b,c$
Hay phương trình luôn vô nghiệm với mọi $a,b,c$.
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x + {m^2} + 3m - 6 = 0\) có hai nghiệm phân biệt.
-
A
\(m > - \dfrac{{31}}{7}\)
-
B
\(m < - \dfrac{31}{7}\)
-
C
\(m \le - \dfrac{31}{7}\)
-
D
\(m \ge - \dfrac{31}{7}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với \(a\ne 0\) có hai nghiệm phân biệt khi \(\Delta'>0\).
Xét phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 5} \right)x + {m^2} + 3m - 6 = 0\) có \(a = 1;b' = - \left( {m + 5} \right);c = {m^2} + 3m - 6\)
Ta có: \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 5} \right)} \right]^2} - \left( {{m^2} + 3m - 6} \right)\)
\(\begin{array}{l} = {m^2} + 10m + 25 - {m^2} - 3m + 6\\ = 7m + 31\end{array}\)
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 \ne 0\left( {ld} \right)\\7m + 31 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 7m > - 31 \Leftrightarrow m > \dfrac{{ - 31}}{7}\)
Vậy với \(m > - \dfrac{{31}}{7}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4mx - 4} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt.
-
A
\(m \in \mathbb{R}\)
-
B
\(m \ne 0\)
-
C
\(m \ne \dfrac{3}{4}\)
-
D
\(m \ne - \dfrac{3}{4}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
+) \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4mx - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 4mx - 4 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
+) Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt không trùng với phương trình (1).
Ta có : \(\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4mx - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\{x^2} - 4mx - 4 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\g\left( x \right) = {x^2} - 4mx - 4 = 0\end{array} \right.\)
Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt thì :
\(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _g}' = {\left( {2m} \right)^2} + 4 > 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} + 4 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\1 - 4m - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne - \dfrac{3}{4}\).
Cho Parabol \((P):y=\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}\) và đường thẳng \((d):y=mx-2m+1\). Tìm m để (P) và (d) tiếp xúc nhau.
-
A
m = – 2
-
B
m = 2
-
C
m = – 1
-
D
m = 1
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d). Áp dụng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm kép. Từ đó tìm giá trị của tham số m.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
\(\dfrac{1}{4}{{x}^{2}}=mx-2m+1\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}{{x}^{2}}-mx+2m-1=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4mx+8m-4=0\,\,(*)\)
(P) và (d) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép
\(\Leftrightarrow \Delta '=0\Leftrightarrow {{(-2m)}^{2}}-(8m-4)=0\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m+4=0\Leftrightarrow {{(2m-2)}^{2}}=0\Leftrightarrow m=1\)
Cho hàm số \(y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}\) có đồ thị (P) và đường thẳng (d): \(y=3mx-2\).Tìm m để đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
-
A
\(m<\dfrac{-2}{3}\)
-
B
\(m>\dfrac{2}{3}\)
-
C
\(m<\dfrac{-2}{3}\) hoặc \(m>\dfrac{2}{3}\)
-
D
\(\dfrac{-2}{3}<m<\dfrac{2}{3}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d). Áp dụng điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Từ đó tìm giá trị của tham số m.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}{{x}^{2}}=3mx-2 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-6mx+4=0\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \end{align}\)
Để (d) và (P) có 2 giao điểm thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \Delta ' > 0\\
\Leftrightarrow 9{m^2} - 4 > 0\\
\Leftrightarrow (3m - 2)(3m + 2) > 0
\end{array}\)
\(\Leftrightarrow m<\dfrac{-2}{3}\) hoặc \(m>\dfrac{2}{3}\).
Vậy với \(m<\dfrac{-2}{3}\) hoặc \(m>\dfrac{2}{3}\) thì đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Cho phương trình \({x^2} + 4x + 2m + 1 = 0\) (\(m\) là tham số).
Giải phương trình với \(m = 1\).
-
A
\(S = \left \{ - 1; - 3 \right \}\)
-
B
\(S = \left \{ - 1; 3 \right \}\)
-
C
\(S = \left \{ 1; - 3 \right \}\)
-
D
\(S = \left \{ 1; 3 \right \}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Thay m=1 vào phương trình rồi dùng công thức nghiệm thu gọn.
Với \(m = 1\), phương trình đã cho trở thành: \({x^2} + 4x + 3 = 0\).
Ta có: \(\Delta'=2^2-3=1>0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} =\dfrac{-2+1}{1} = - 1\\{x_2} = - \dfrac{-2-1}{1} = - 3\end{array} \right.\).
Vậy khi \(m = 1\) thì tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 1; - 3} \right\}\).
Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm kép.
-
A
\(m = 1\)
-
B
\(m = \dfrac{1}{2}\)
-
C
\(m = \dfrac{3}{2}\)
-
D
\(m = \dfrac{5}{2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Phương trình \(ax^2+bx+c=0\) (với \(a\ne 0)\) có nghiệm kép khi \(\Delta'=0\)
Phương trình \({x^2} + 4x + 2m + 1 = 0\) có \(\Delta ' = {2^2} - \left( {2m + 1} \right) = 4 - 2m - 1 = 3 - 2m\).
Để phương trình có nghiệm kép thì \(\Delta = 3 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\).
Vậy với \(m = \dfrac{3}{2}\) thì phương trình đã cho có nghiệp kép.
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 8\\\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = m\end{array} \right.\)
-
A
\(m = 4\)
-
B
\(m = - 2\)
-
C
\(m = 2\)
-
D
\(m = 1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0\)
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 8\\\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\{x^2} + {y^2} = mxy\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\{x^2} + {(8 - x)^2} = mx(8 - x)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\{x^2} + 64 - 16x + {x^2} = 8mx - m{x^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\(m + 2){x^2} - 8x(m + 2) + 64 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \) phương trình \((m + 2){x^2} - 8x(m + 2) + 64 = 0\) \((I)\) có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x \ne 0;x \ne 8(y \ne 0)\)
Nếu \(m=-2 \Rightarrow (I) \Leftrightarrow 64=0\) (vô lí) \( \Rightarrow \) hệ phương trình vô nghiệm với \(m = - 2\)
Nếu \(m \ne - 2 \Rightarrow (I)\) là phương trình bậc hai 1 ẩn,để phương trình này có nghiệm duy nhất thì \(\begin{array}{l}{\Delta'} = 0 \Leftrightarrow 16{(m + 2)^2} - 64(m + 2) = 0 \Leftrightarrow {(m + 2)^2} - 4(m + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\m + 2 = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 2\\m = 2\end{array} \right.\end{array}\)
Do \(m \ne - 2\) nên chỉ có \(m = 2\) là thỏa mãn để phương trình \((I)\) có nghiệm duy nhất
Nghiệm đó là \({x_0} = 4\) (thỏa mãn \(x \ne 0;x \ne 8\))
Với \(x = 4\) thay vào ta tìm được \(y=4\)
Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm.