Câu hỏi 1 :

Phương trình ${x^4} - 6{x^2} - 7 = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

  • A

    $0$

  • B

    $1$

  • C

    $2$

  • D

    $4$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Lời giải chi tiết :

Đặt ${x^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} - 6t - 7 = 0$ (*)

Nhận thấy $a - b + c = 1 + 6 - 7 = 0$ nên phương trình (*) có hai nghiệm ${t_1} =  - 1\,\,\left( L \right);{t_2} = 7\,\left( N \right)$

Thay lại cách đặt ta có ${x^2} = 7 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 7 $

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Câu hỏi 2 :

Phương trình \({\left( {x + 1} \right)^4} - 5{\left( {x + 1} \right)^2} - 84 = 0\) có tổng các nghiệm là

  • A

    $ - \sqrt {12} $

  • B

    $ - 2$

  • C

    $ - 1$

  • D

    $2\sqrt {12} $

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Lời giải chi tiết :

Đặt ${\left( {x + 1} \right)^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} - 5t - 84 = 0$ (*)

Ta có  $\Delta  = 361$ nên phương trình (*) có hai nghiệm ${t_1} = \dfrac{{5 + \sqrt {361} }}{2} = 12\,\,\left( N \right);{t_2} = \dfrac{{5 - \sqrt {361} }}{2} =  - 7\,\left( L \right)$

Thay lại cách đặt ta có ${\left( {x + 1} \right)^2} = 12 \Leftrightarrow x =  - 1 \pm \sqrt {12} $

Suy ra tổng các nghiệm là $ - 1 + \sqrt {12}  - 1 - \sqrt {12}  =  - 2$.

Câu hỏi 3 :

Phương trình \(\dfrac{{2x}}{{x - 2}} - \dfrac{5}{{x - 3}} = \dfrac{{ - 9}}{{{x^2} - 5x + 6}}\)có số nghiệm là

  • A

    $2$

  • B

    $1$

  • C

    $0$

  • D

    $3$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ne 2;x \ne 3$

\(\dfrac{{2x}}{{x - 2}} - \dfrac{5}{{x - 3}} = \dfrac{-9}{{{x^2} - 5x + 6}}\)$ \Leftrightarrow \dfrac{{2x\left( {x - 3} \right) - 5\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{ - 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}$$ \Rightarrow 2{x^2} - 11x + 19 = 0$

Nhận thấy \(\Delta = {11^2} - 4.19.2 = - 31 < 0\) nên phương trình $2{x^2} - 11x + 19 = 0$ vô nghiệm. Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu hỏi 4 :

Phương trình \(\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - 1} \right) = \dfrac{3}{{14 - x}}\) có nghiệm là:

  • A

    $x = \sqrt 2 $

  • B

    $x = 2$

  • C

    $x = 3$

  • D

    $x = 5$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ne 1;x \ne  - 1;x \ne 14$

Ta có \(\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - 1} \right) = \dfrac{3}{{14 - x}}\)$ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^2} - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}:\dfrac{{1 + x - 1 + x}}{{1 - x}} = \dfrac{3}{{14 - x}}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}.\dfrac{{1 - x}}{{2x}} = \dfrac{3}{{14 - x}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{x + 1}} = \dfrac{3}{{14 - x}}$$ \Rightarrow 28 - 2x = 3x + 3 \Leftrightarrow 5x = 25 \Leftrightarrow x = 5\,\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 5$

Câu hỏi 5 :

Tích các nghiệm của phương trình \({\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2}\) là:

  • A

    $\dfrac{{10}}{3}$

  • B

    $0$

  • C

    $\dfrac{1}{2}$

  • D

    $\dfrac{5}{3}$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Sử dụng ${A^2} = {B^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A =  - B\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có \({\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2}\)$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 5 = {x^2} - x + 5\\{x^2} + 2x - 5 =  - {x^2} + x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 10\\2{x^2} - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{10}}{3}\\x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Nên tích các nghiệm là $\dfrac{{10}}{3}.0.\dfrac{1}{2} = 0$

Câu hỏi 6 :

Số nghiệm của phương trình \(3{x^3} + 3{x^2} + 5x + 5 = 0\) là:

  • A

    $2$

  • B

    $0$

  • C

    $1$

  • D

    $3$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Lời giải chi tiết :

Ta có \(3{x^3} + 3{x^2} + 5x + 5 = 0\)$ \Leftrightarrow 3{x^2}\left( {x + 1} \right) + 5\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 5} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} + 5 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} =  - 5\left( L \right)\\x =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow x =  - 1$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x =  - 1$.

Câu hỏi 7 :

Tổng các nghiệm của phương trình \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8\) là

  • A

    $ - 3$

  • B

    $3$

  • C

    $1$

  • D

    $ - 4$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Lời giải chi tiết :

Ta có \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 8\)$ \Leftrightarrow x\left( {x + 3} \right).\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 8 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 8$

Đặt ${x^2} + 3x + 1 = t$ , thu được phương trình $\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) = 8 \Leftrightarrow {t^2} - 1 = 8 \Leftrightarrow {t^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t =  - 3\end{array} \right.$

+) Với $t = 3 \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 = 3 $

$\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 2 = 0$ , có $\Delta  = 17 \Rightarrow {x_1} = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2};$

${x_2} = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}$

+) Với $t =  - 3 \Rightarrow {x^2} + 3x + 1 =  - 3$

$\Leftrightarrow {x^2} + 3x + 4 = 0$ có $\Delta  =  - 7 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1} = \dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2};{x_2} = \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2}$

Suy ra tổng các nghiệm là $\dfrac{{ - 3 + \sqrt {17} }}{2} + \dfrac{{ - 3 - \sqrt {17} }}{2} =  - 3$

Câu hỏi 8 :

Hai nghiệm của phương trình \(\dfrac{x}{{x + 1}} - 10\dfrac{{x + 1}}{x} = 3\) là ${x_1} > {x_2}$. Tính $3{x_1} + 4{x_2}$.

  • A

    $ - 3$

  • B

    $3$

  • C

    $7$

  • D

    $ - 7$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ne 0;x \ne  - 1$

Đặt $\dfrac{x}{{x + 1}} = t\,\left( {t \ne 0} \right)$, khi đó phương trình đã cho trở thành $t - 10.\dfrac{1}{t} = 3 \Rightarrow {t^2} - 3t - 10 = 0$

Ta có $\Delta  = 49 \Rightarrow {t_1} = \dfrac{{3 + \sqrt {49} }}{2} = 5;$

${t_2} = \dfrac{{3 - \sqrt {49} }}{2} =  - 2\,\left( {TM} \right)$

+) Với $t = 5$ suy ra $\dfrac{x}{{x + 1}} = 5$

$\Rightarrow 5x + 5 = x \Leftrightarrow x =  - \dfrac{5}{4}$ (nhận)

+) Với $t =  - 2$ suy ra $\dfrac{x}{{x + 1}} =  - 2$

$\Rightarrow  - 2x - 2 = x \Leftrightarrow x =  - \dfrac{2}{3}$ (nhận)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1} =  - \dfrac{2}{3} > {x_2} =  - \dfrac{5}{4}$

Nên $3{x_1} + 4{x_2}$$ = 3.\left( {\dfrac{{ - 2}}{3}} \right) + 4.\left( {\dfrac{{ - 5}}{4}} \right) =  - 7$

Câu hỏi 9 :

Phương trình \({x^2} - 3x + 2 = \left( {1 - x} \right)\sqrt {3x - 2} \) có bao nhiêu nghiệm?

  • A

    $1$

  • B

    $3$

  • C

    $0$

  • D

    $2$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích và phương trình chứa căn thức

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $3x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{3}$

Ta có \({x^2} - 3x + 2 = \left( {1 - x} \right)\sqrt {3x - 2} \)$ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\sqrt {3x - 2}  = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2 + \sqrt {3x - 2} } \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 + \sqrt {3x - 2}  = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\left( {TM} \right)\\\sqrt {3x - 2}  = 2 - x\,\left( * \right)\end{array} \right.$

Xét phương trình (*):

$\sqrt {3x - 2}  = 2 - x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x \ge 0\\3x - 2 = {\left( {2 - x} \right)^2}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\{x^2} - 7x + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\,\\x = 6\,\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 1$ (TM)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$.

Câu hỏi 10 :

Phương trình \(\sqrt {{x^2} + x + 1}  = 3 - x\) có nghiệm là:

  • A

    $x =  - 1$

  • B

    $x = \dfrac{7}{8}$

  • C

    $x = 1$

  • D

    $x = \dfrac{8}{7}$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Giải phương trình chứa căn thức $\sqrt A  = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\sqrt {{x^2} + x + 1}  = 3 - x\)$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - x \ge 0\\{x^2} + x + 1 = {\left( {3 - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\7x = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x = \dfrac{8}{7}\end{array} \right. \Rightarrow x = \dfrac{8}{7}$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{8}{7}$.

Câu hỏi 11 :

Phương trình \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 5}  + \sqrt {12{x^2} - 12x + 19}  = 6\) có nghiệm là $\dfrac{a}{b}\,\left( {a,b > 0} \right)$. Tính $a - b$.

  • A

    $ - 1$

  • B

    $4$

  • C

    $ - 2$

  • D

    $2$

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\sqrt {4{x^2} - 4x + 5}  + \sqrt {12{x^2} - 12x + 19}  = 6\)$ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4}  + \sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 16}  = 6$

Nhận thấy $\sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4}  \ge 2;\sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + } 16 \ge 4$ nên $ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4}  + \sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 16}  \ge 6$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2} + 4}  = 2\\\sqrt {12{{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + 16}  = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 = 0\\x - \dfrac{1}{2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{1}{2}$.

Từ đó suy ra $a = 1;b = 2 \Rightarrow a - b =  - 1$.

Câu hỏi 12 :

Giải phương trình \(\sqrt {1 - \sqrt {{x^4} - {x^2}} }  = x - 1\)

  • A

    \(x = 0\)

  • B

    \(x = \dfrac{5}{4}\)

  • C

    \({x_1} = 0;\,\,{x_2} = \dfrac{5}{4}\)

  • D

    Đáp án khác

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Tìm điều kiện của phương trình. Bình phương hai vế của phương trình 2 lần để làm mất căn thức. Giải phương trình bậc hai. Kết hợp điều kiện xác định.

Lời giải chi tiết :

\(\sqrt {1 - \sqrt {{x^4} - {x^2}} }  = x - 1\)

Điều kiện: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

\(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow 1 - \sqrt {{x^4} - {x^2}}  = {(x - 1)^2}\\ \Leftrightarrow 1 - \sqrt {{x^4} - {x^2}}  = {x^2} - 2x + 1\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^4} - {x^2}}  = 2x - {x^2}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - {x^2} \ge 0\\{x^4} - {x^2} = 4{x^2} - 4{x^3} + {x^4}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\4{x^3} - 5{x^2} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\{x^2}(4x - 5) = 0\end{array} \right.\, \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\4x - 5 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{5}{4}\,\,\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện ban đầu \(x\ge 1\) ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{5}{4}\).

Câu hỏi 13 :

Giải phương trình \(\dfrac{1}{{x - 1 + \sqrt {{x^2} - 2x + 5} }} + \dfrac{1}{{x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2x + 5} }} = 1\)

  • A

    x = -2

  • B

    x = 0

  • C

    x = 1

  • D

    x = -1

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Biến đổi phương trình, đặt ẩn, quy đồng và rút gọn phân thức. Từ đó giải phương trình.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 1 + \sqrt {{x^2} - 2x + 5} }} + \dfrac{1}{{x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2x + 5} }} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 1 + \sqrt {{{(x - 1)}^2} + 4} }} + \dfrac{1}{{x - 1 - \sqrt {{{(x - 1)}^2} + 4} }} = 1\end{array}\)

Đặt  \(x – 1 = t\)

\(\begin{array}{l}PT \Leftrightarrow \dfrac{1}{{t + \sqrt {{t^2} + 4} }} + \dfrac{1}{{t - \sqrt {{t^2} + 4} }} = 1\\\Leftrightarrow \dfrac{{t - \sqrt {{t^2} + 4}  + t + \sqrt {{t^2} + 4} }}{{(t + \sqrt {{t^2} + 4} )(t - \sqrt {{t^2} + 4} )}} = 1\\\Leftrightarrow \dfrac{{2t}}{{{t^2} - {t^2} - 4}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2t}}{{ - 4}} = 1\\ \Leftrightarrow t =  - 2\\ \Rightarrow x - 1 =  - 2 \Leftrightarrow x =  - 1.\end{array}\)

Thử lại thấy \(x=-1\) thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = -1.\)