Đề bài
Cho phương trình \({x^2} - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0\) (1) với x là ẩn số.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Tìm GTLN của \(A = 4{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2\) .
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh \(\Delta ' > 0\,\,\forall m\).
b) Tìm điều kiện để \(ac < 0\).
c) Áp dụng định lí Vi-ét, biểu diễn biểu thức A theo m, đưa biểu thức A về dạng \(A = - {f^2}\left( m \right) + k\), khi đó \(A \le k\,\,\forall m \Rightarrow {A_{\max }} = k\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 1\left( {2m - 5} \right) \)\(\,= {m^2} - 2m + 1 - 2m + 5 \)\(\,= {m^2} - 4m + 6\)
\( \Rightarrow \Delta ' = {m^2} - 4m + 4 + 2 \)\(\,= {\left( {m - 2} \right)^2} + 2\).
Ta có: \({\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m\)
\(\Rightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + 2 \ge 2 > 0\,\,\forall m\)
\(\Rightarrow \Delta ' > 0\,\,\forall m\).
Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
b) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
\( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow 1\left( {2m - 5} \right) < 0\)
\(\Leftrightarrow 2m < 5 \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{2}\).
c) Gọi \({x_1};{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình.
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = 2m - 5\end{array} \right.\).
Ta có:
\(A = 4{x_1}{x_2} - x_1^2 - x_2^2 \)
\(\;\;\;= 4{x_1}{x_2} - \left( {x_1^2 + x_2^2} \right)\)
\(\;\;\;= 6{x_1}{x_2} - \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) \)
\(\;\;\;= 6{x_1}{x_2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = 6\left( {2m - 5} \right) - 4{\left( {m - 1} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,A = 12m - 30 - 4{m^2} + 8m - 4\\\,\,\,\,\,\,A = - 4{m^2} + 20m - 34\\\,\,\,\,\,\,A = - \left( {4{m^2} - 20m} \right) - 34\\\,\,\,\,\,\,A = - \left[ {{{\left( {2m} \right)}^2} - 2.2m.5 + {5^2}} \right] + {5^2} - 34\\\,\,\,\,\,\,A = - {\left( {2m - 5} \right)^2} - 9\end{array}\)
Ta có \({\left( {2m - 5} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow - {\left( {2m - 5} \right)^2} \le 0\) \( \Rightarrow - {\left( {2m - 5} \right)^2} - 9 \le - 9\)
\( \Rightarrow A \le - 9 \Rightarrow {A_{\max }} = - 9\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{2}\).
soanvan.me