Đề bài
Cho hình bình hành \(ABCD\) và đường thẳng \(xy\) không có điểm chung với hình bình hành. Gọi \(AA’, BB’, CC’,\) \(DD’\) là đường vuông góc kẻ từ \(A, B, C, D\) đến đường thẳng \(xy.\) Tìm mối liên hệ độ dài giữa \(AA’, BB’, CC’, DD’.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng kiến thức:
+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
+) Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Lời giải chi tiết
Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)
Vì ABCD là hình bình hành nên \(OA=OC, OB=OD\) (tính chất hình bình hành)
Kẻ \(OO’ ⊥ xy\)
\(AA’ ⊥ xy\;\; (gt)\)
\( CC’ ⊥ xy (gt) \)
Suy ra: \(AA’// OO’ // CC’\)
Tứ giác \(ACC'A’\) là hình thang có: \(OA = OC\) (chứng minh trên)
\(OO’ // AA’\) nên \(O'\) là trung điểm của \(A'C'\)
Suy ra \(OO’\) là đường trung bình của hình thang \(ACC’A’.\)
\(⇒ OO’ = \displaystyle {{{\rm{AA'}} + CC'} \over 2}\) (tính chất đường trung bình của hình thang) \((1)\)
\(BB’ ⊥ xy \;\;(gt)\)
\(DD’ ⊥ xy\;\; (gt)\)
\(OO’ ⊥ xy\) (theo cách vẽ)
Suy ra: \(BB’ // OO’ // DD’\)
Tứ giác \(BDD’B’\) là hình thang có: \( OB = OD\) (chứng minh trên)
\(OO’ // BB’ \) nên \(O'\) là trung điểm của \(B'D'\)
Suy ra \(OO’\) là đường trung bình của hình thang BDD’B’
\(⇒ OO’ = \displaystyle {{BB' + {\rm{DD}}'} \over 2}\) (tính chất đường trung bình của hình thang) \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(AA’ + CC’ = BB’ + DD’\)
soanvan.me