Đề bài
Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm dối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.
a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
b) Chứng minh HG = GK = KE.
Lời giải chi tiết
a) Tứ giác AHCE có hai đường chéo AC và HE cắt nhau tại I (gt)
I là trung điểm của AC (gt);
Và I là trung điểm của HE (E đối xứng với H qua I)
Do đó tứ giác AHCE là hình bình hành.
Mà \(\widehat {AHC} = {90^0}\) (AH là đường cao của tam giác ABC)
Vậy tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
b) \(MAHC\) có: HI là đường trung tuyến (I là trung điểm của AC)
Và AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của HC)
Mà HI cắt AM tại G (gt)
Do đó G là trọng tâm của tam giác AHC \( \Rightarrow HG = {2 \over 3}HI\) và \(GI = {1 \over 3}HI\,\,\left( 1 \right)\)
\(\Delta AEC\) có hai đường trung tuyến AN và EI cắt nhau tại K.
\( \Rightarrow K\) là trọng tâm của tam giác AEC \( \Rightarrow KE = {2 \over 3}IE\) và \(KI = {1 \over 3}IE\,\,\left( 2 \right)\)
\(HI = IE\) (E đối xứng với H qua I) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(HG = KE = {2 \over 3}IE\).
Ta có: \(GK = GI + IK = {1 \over 3}IE + {1 \over 3}IE = {2 \over 3}IE \Rightarrow HG = KE = GK\left( { = {2 \over 3}IE} \right)\)
soanvan.me