Đề bài
Câu 1 (4 điểm). Cho tam giác \(ABC\) cân (\(AB = AC\)) và đường tròn tâm \(O\) tiếp xúc với hai cạnh \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(B\) và \(C\). \(M\) là một điểm trên cung \(BC\) (\(M\) khác \(B\) và \(C\)). Kẻ \(MD, ME, MF\) lần lượt vuông góc với các đường thẳng \(BC, CA\) và \(AB\). Chứng minh:
a) (1 điểm). Tứ giác \(MDBF\) nội tiếp đường tròn
b) (1,5 điểm). Tam giác \(FBM\) và \(DCM\) đồng dạng
c) (1,5 điểm). \(M{D^2} = {\rm{ }}ME.MF\)
Câu 2 (3 điểm)
1. Hãy điền những từ còn thiếu trong các câu sau:
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) (1 điểm) Hai cung bằng nhau căng……….
b) (1 điểm) Hai dây bằng nhau căng….
2. (1 điểm) Cho đường tròn bán kính \(r\) nằm bên trong đường tròn bán kính \(R\)
Diện tích giới hạn bởi đường tròn lớn bằng \(\dfrac{a}{b}\) lần lượt bên ngoài đường tròn nhỏ và bên trong đường tròn lớn. Hãy chọn đúng tỉ số \(R : r\) sau:
a) \(\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\) b) \(\sqrt a :\sqrt {a - b} \)
c) \(\sqrt b :\sqrt {a:b} \) d) \(a:\sqrt {a - b} \)
Câu 3 (3 điểm). Trên hình 68, đường tròn tâm \(O\) có bán kính \(R = 2 cm\), \(\widehat {AOB} = {75^o}\)
a) (2 điểm) Tính độ dài hai cung \(AnB\) và \(AmB\)
b) (1 điểm) Tính diện tích hình quạt tròn \(OAnB\).
Lời giải chi tiết
Câu 1:
Phương pháp:
a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết: “Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp”
b) Sử dụng trường hợp đồng dạng góc góc
c) Chứng minh \(\Delta BDM \backsim \Delta CEM\)
Từ các tam giác đồng dạng ta suy ra tỉ lệ cạnh phù hợp để có hệ thức cần chứng minh.
Lời giải:
a) Xét
tứ giác \(DCEM\) có \(\widehat {MEC} = 90^\circ \) và \(\widehat {MDC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {MEC} + \widehat {MDC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(DCEM\) là tứ giác nội tiếp.
b) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {MCB} = \widehat {BMF}\) (góc nội tiếp chắn cung \(BM\) và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \(BM\))
Xét tam giác \(FBM\) và tam giác \(DCM\) có \(\widehat {CDM} = \widehat {BFM}\left( { = 90^\circ } \right)\) và \(\widehat {MCB} = \widehat {BMF}\) (cmt) nên \(\Delta DCM \backsim \Delta FBM\left( {g - g} \right)\) suy ra \(\dfrac{{BM}}{{CM}} = \dfrac{{FM}}{{DM}}\) (1)
c) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {MBC} = \widehat {ECM}\) (góc nội tiếp chắn cung \(CM\) và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \(CM\))
Xét tam giác \(ECM\) và tam giác \(BDM\) có \(\widehat {MDB} = \widehat {MEC}\left( { = 90^\circ } \right)\) và \(\widehat {MBD} = \widehat {MCE}\) (cmt) nên \(\Delta BDM \backsim \Delta CEM\left( {g - g} \right)\) suy ra \(\dfrac{{DM}}{{EM}} = \dfrac{{BM}}{{CM}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{{FM}}{{DM}} = \dfrac{{DM}}{{EM}}\) \( \Leftrightarrow M{D^2} = ME.MF\) (đpcm)
Câu 2:
Phương pháp:
1. Sử dụng lý thuyết về quan hệ giữa cung và dây cung trong đường tròn
2. Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn bán kính \(R\) là \(\pi {R^2}\) .
Lời giải:
1. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
2.
Diện tích hình tròn bán kính \(R\) là \(\pi {R^2}\) , diện tích hình tròn bán kính \(r\) là \(\pi {r^2}\)
Vì đường tròn bán kính \(r\) nằm bên trong đường tròn bán kính \(R\) nên diện tích giới hạn bởi phần bên tron đường tròn lớn và bên ngoài đường tròn nhỏ là \(S = \pi {R^2} - \pi {r^2}\)
Theo bài ra ta có \(\dfrac{{\pi {R^2}}}{{\pi {R^2} - \pi {r^2}}} = \dfrac{a}{b}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{R^2}}}{{{R^2} - {r^2}}} = \dfrac{a}{b} \)\(\Leftrightarrow b{R^2} = a\left( {{R^2} - {r^2}} \right)\)
\( \Leftrightarrow b{R^2} - a{R^2} = - a{r^2}\)\( \Leftrightarrow {R^2}\left( {a - b} \right) = a{r^2}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{R^2}}}{{{r^2}}} = \dfrac{a}{{a - b}} \Rightarrow \dfrac{R}{r} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {a - b} }}\)
Hay \(R:r = \sqrt a :\sqrt {a - b} \)
Chọn B.
Câu 3:
Phương pháp:
a) Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn bán kính \(R\) và có số đo \(n^\circ \) là \(l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\)
b) Sử dụng công thức tính diện tích quạt tròn bán kính \(R\) và có số đo \(n^\circ \) là \(S = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\)
Lời giải:
a) Vì \(\widehat {AOB} = 75^\circ \) nên số đo cung \(AnB\) là \(75^\circ \)
Độ dài cung \(AnB\) là \({l_1} = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}} = \dfrac{{\pi .2.75}}{{180}} = \dfrac{{5\pi }}{6}\) (cm)
Độ dài cung \(AmB\) là \({l_2} = C - {l_1} = 4\pi - \dfrac{{5\pi }}{6} = \dfrac{{19\pi }}{6}\) (cm)
b) Diện tích hình quạt tròn \(OAnB\) là \(S = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {{.2}^2}.75}}{{360}} = \dfrac{{5\pi }}{6}\left( {c{m^2}} \right)\)
soanvan.me