1. Căn thức bậc hai
Căn bậc hai số học
Số dương a có đúng hai căn bậc hai là: $\sqrt a $ và $-\sqrt a $
Với số dương $a$, số $\sqrt a $ được gọi là căn bậc hai số học của $a$.
Số $0$ cũng được gọi là căn bậc hai số học của $0$.
+) $\sqrt a = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.$
+) So sánh hai căn bậc hai số học:
Với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a< \sqrt b $.
Căn thức bậc hai
Với $A$ là một biểu thức đại số, người ta gọi $\sqrt A $ là căn thức bậc hai của $A$. Khi đó, $A$ được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
$\sqrt A $ xác định hay có nghĩa khi $A$ lấy giá trị không âm.
Chú ý.:
Với \(a \ge 0,\) ta có:
+ Nếu \(x = \sqrt a \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\)
+ Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\) thì \(x = \sqrt a .\)
Ta viết \(x = \sqrt a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.\)
2. So sánh các căn bậc hai số học
ĐỊNH LÍ:
Với hai số \(a;b\) không âm ta có \(a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b \)
Ví dụ: So sánh 3 và \(\sqrt 7\)
Ta có: \(3 = \sqrt 9 \) mà \(9 > 7\) suy ra \(\sqrt 9 > \sqrt 7 \) hay \(3 > \sqrt 7 \)
Hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$
Với mọi số $a$, ta có $\sqrt {{a^2}} = \left| a \right|$.
Một cách tổng quát, với $A$ là một biểu thức ta có
$\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$ nghĩa là
$\sqrt {{A^2}} = A$ nếu $A \ge 0$ và $\sqrt {{A^2}} = - A$ nếu $A < 0$.
3. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm căn bậc hai số học và so sánh hai căn bậc hai.
Phương pháp:
Sử dụng kiến thức với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b $.
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai
Phương pháp:
Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$
Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai
Phương pháp:
- Đưa các biểu thức dưới dấu căn về hằng đẳng thức (thông thường là ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$, ${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$)
- Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}\,\,\,\,A\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A \ge 0\\ - A\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,A < 0\end{array} \right.$
Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức chứa căn bậc hai có nghĩa
Phương pháp:
Sử dụng kiến thức biểu thức $\sqrt A $ có nghĩa khi và chỉ khi $A \ge 0.$
Dạng 5: Giải phương trình chứa căn bậc hai
Phương pháp:
Ta chú ý một số phép biến đổi tương đương liên quan đến căn thức bậc hai sau đây:
\(\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = {B^2}\end{array} \right.\) ; \(\sqrt {{A^2}} = B \Leftrightarrow \left| A \right| = B\)
\(\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ge 0\left( { B \ge 0} \right)\\A = B\end{array} \right.\) ; \(\sqrt {{A^2}} = \sqrt {{B^2}} \Leftrightarrow \left| A \right| = \left| B \right| \Leftrightarrow A = \pm B\)
