Đề bài
Cho đường tròn đường kính \(AB\) cố định. \(M\) là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(I\) sao cho \(MI = 2MB.\)
a) Chứng minh \(\widehat{AIB}\) không đổi.
b) Tìm tập hợp các điểm \(I\) nói trên.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Sử dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn
b) Chứng minh theo hai phần: Phần thuận và phần đảo.
Lập luận để có quỹ tích là cung chứa góc \(AIB\) dựng trên đoạn BC.
Chú ý đến giới hạn của quỹ tích.
Lời giải chi tiết
a) Gọi \(O\) là trung điểm \(AB\). Xét đường tròn tâm \(O\) có \(\widehat {AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(AM \bot MB\)
Xét tam giác vuông \(MBI\) có \(MI = 2MB \Rightarrow \tan \widehat {MIB} = \dfrac{{MB}}{{MI}} = \dfrac{{MB}}{{2MB}} = \dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \widehat {AIB} = \alpha =26^{0}34'\) không đổi
b) Phần thuận:
Khi điểm M thay đổi trên đường tròn đường kính AB thì điểm I thay đổi và luôn nhìn cạnh AB dưới một góc \(\widehat {AIB} = \alpha =26^{0}34'\) không đổi
Vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc \(\alpha=26^{0}34' \) dựng trên đoạn AB.
Nhưng tiếp tuyến PQ với đường tròn đường kính AB tại A là vị trí giới hạn của AM. Do đó điểm I thuộc hai cung \(PmB,Qm'B\).
Hai điểm P, Q là các điểm giới hạn của quỹ tích, điểm B là điểm đặc biệt của quỹ tích
Phần đảo:
Lấy điểm \(I'\) bất kỳ thuộc cung \(Qm'B\) (hoặc cung \(PmB\)). Nối \(AI'\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại \(M'.\) Ta chứng minh \(M'I' = 2M'B.\)
Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AM'B}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {AM'B} = 90^\circ \Rightarrow AM' \bot BM' \Rightarrow \widehat {BM'I'} = 90^\circ \)
Xét tam giác \(BM'I'\) vuông ở \(M'\) có \(\widehat {BI'M'} = \alpha \) (do \(I'\) bất kỳ thuộc cung \(Qm'B\) là cung chứa góc \(\alpha \) dựng trên đoạn AB) nên \(\tan \widehat {BI'M'} = \tan \alpha = \dfrac{1}{2}\) mà \(\tan \widehat {BI'M'} = \dfrac{{BM'}}{{M'I'}} \Rightarrow \dfrac{{BM'}}{{M'I'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow M'I' = 2BM'\)
Kết luận: Quỹ tích các điểm I là hai cung \(PmB,Qm'B\).