Lý thuyết cung chứa góc

1. Các kiến thức cần nhớ 

Với đoạn thẳng \(AB\) và góc \(\alpha \) \(\left( {0^\circ  < \alpha  < 180^\circ } \right)\) cho trước thì quỹ tích các điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat {AMB} = \alpha \) là hai cung chứa góc \(\alpha \) dựng trên đoạn \(AB\).

Chú ý : Hai cung chứa góc \(\alpha \) nói trên là hai cung tròn đối xứng nhau qua \(AB\). Hai điểm \(A,B\) được coi là thuộc quỹ tích.

b. Cách vẽ cung chứa góc

Bài toán: Cho đoạn thẳng $AB$ và góc $\alpha \,({0^0} < \alpha  < {180^0}).$ Tìm tập hợp các điểm $M$ thoả mãn \(\widehat {AMB} = \alpha \) .

- Vẽ đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB\) ;

- Vẽ tia \(Ax\) tạo với \(AB\) một góc \(\alpha \);

- Vẽ đường thẳng \(Ay\) vuông góc với \(Ax\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(Ay\) với \(d\).

- Vẽ cung $\overparen{AmB}$ , tâm \(O\) , bán kính \(OA\) sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ \(AB\) không chứa tia \(A\,x\). Cung $\overparen{AmB}$ được vẽ như trên là một cung chứa góc \(\alpha \).

c. Cách giải bài toán quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm \(M\) thỏa mãn tính chất \(T\) là một hình \(H\) nào đó, ta phải chúng minh hai phần :

Phần thuận : Mọi điểm có tính chất \(T\) đều thuộc hình \(H\).

Phần đảo : Mọi điểm thuộc hình \(H\) đều có tính chất \(T\).

Từ đó đi đến kết luận quỹ tích các điểm \(M\) có tính chất \(T\) là hình \(H\).

(Thông thường với bài toán: “Tìm quỹ tích …” ta nên dự đoán hình $H$ trước khi chứng minh)

2. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1 : Quỹ tích là cung chứa góc \(\alpha \) .

Phương pháp :

- Tìm đoạn cố định trong hình vẽ.

- Nối điểm phải tìm với hai đầu đoạn thẳng cố định đó, xác định góc \(\alpha \) không đổi.

- Khẳng định điểm phải tìm quỹ tích thuộc cung chứa góc \(\alpha \)dựng trên đoạn cố định.

Dạng 2 : Chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn

Phương pháp :

Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là\(AB\)và cùng nhìn đoạn cố định \(AB\) dưới một góc không đổi.

Dạng 3 : Dựng cung chứa góc

Phương pháp :

Thực hiện quy trình dựng sau đây :

+ Vẽ đường trung trực \(d\) của đoạn thẳng \(AB\);

+ Vẽ tia \(A\,x\) tạo với \(AB\) một góc \(\alpha \);

+ Vẽ đường thẳng \(Ay\) vuông góc với \(A\,x\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(Ay\) với \(d\).

+ Vẽ cung \(AmB\) , tâm \(O\), bán kính \(OA\) sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ \(AB\) không chứa tia \(A\,x\). Cung $AmB$ được vẽ  như trên là một cung chứa góc \(\alpha \).