Đề bài

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, AC và BC. Gọi I là giao điểm của AP và MN. Chứng minh IA = IP; IM = IN.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:  

- Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.

- Định lí : Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

- Định lí : Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải chi tiết

Vì M, N lần lượt là trung điểm cạnh AB và AC nên MN là đường trung bình của \(\Delta ABC \Rightarrow MN//BC.\)

I là giao điểm của MN với AP nên \(MI//BC.\)

Xét tam giác ABP có M là trung điểm cạnh AC và \(MI//BP\) nên I là trung điểm cạnh AP. Suy ra \(IA=IP\)

Do đó MI là đường trung bình của \(\Delta ABP\)

\( \Rightarrow \)\(MI = \dfrac{1 }{ 2}BP.\)

Xét tam giác APC có N là trung điểm của AC và I là trung điểm AP nên IN là đường trung bình của tam giác APC.

\( \Rightarrow IN = \dfrac{1 }{ 2}PC\) mà \(PB = PC(gt) \Rightarrow IM = IN.\)

soanvan.me