Kết quả của phép chia \(15{x^3}{y^4}:5{x^2}{y^2}\) là
-
A
\(3x{y^2}\).
-
B
\( - 3{x^2}y\).
-
C
\(5xy\).
-
D
\(15x{y^2}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức.
Muốn chia đơn thức \(A\) cho đơn thức \(B\) (trong trường hợp \(A\) chia hết cho \(B\) ) ta làm như sau:
+ Chia hệ số của đơn thức \(A\) cho hệ số của đơn thức \(B\)
+ Chia lũy thừa của từng biến trong \(A\) cho lũy thừa của cùng biến đó trong \(B\) .
+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
Ta có \(15{x^3}{y^4}:5{x^2}{y^2}\)\( = \left( {15:5} \right).\left( {{x^3}:{x^2}} \right).\left( {{y^4}:{y^2}} \right) = 3x{y^2}\) .
Chia đơn thức \({\left( { - 3x} \right)^5}\) cho đơn thức \({\left( { - 3x} \right)^2}\) ta được kết quả là
-
A
\( - 9{x^3}\).
-
B
\(9{x^3}\).
-
C
\(27{x^3}\).
-
D
\( - 27{x^3}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
* Sử dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức.
Muốn chia đơn thức \(A\) cho đơn thức \(B\) (trong trường hợp \(A\) chia hết cho \(B\) ) ta làm như sau:
+ Chia hệ số của đơn thức \(A\) cho hệ số của đơn thức \(B\)
+ Chia lũy thừa của từng biến trong \(A\) cho lũy thừa của cùng biến đó trong \(B\) .
+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
* Sử dụng công thức chia hai lũy thừa cùng cơ số
Ta có \({\left( { - 3x} \right)^5}:{\left( { - 3x} \right)^2} \)\(= {\left( { - 3x} \right)^3} \)\(= {\left( { - 3} \right)^3}.{x^3} = - 27{x^3}\).
Kết quả của phép chia \(\left( {2{x^3} - {x^2} + 10x} \right):x\) là
-
A
\({x^2} - x + 10\).
-
B
\(2{x^2} - x + 10\).
-
C
\(2{x^2} - x - 10\).
-
D
\(2{x^2} + x + 10\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức.
Muốn chia đa thức \(A\) cho đơn thức \(B\) ( trường hợp các hạng tử của đa thức \(A\) đều chia hết cho đơn thức \(B\)), ta chia mỗi hạng tử của \(A\) cho \(B\) rồi cộng kết quả với nhau.
Ta có \(\left( {2{x^3} - {x^2} + 10x} \right):x\)\( = \left( {2{x^3}:x} \right) - \left( {{x^2}:x} \right) + \left( {10x:x} \right) = 2{x^2} - x + 10\)
Chia đa thức \(\left( {3{x^5}{y^2} + 4{x^3}{y^2} - 8{x^2}{y^2}} \right)\) cho đơn thức \(2{x^2}{y^2}\) ta được kết quả là
-
A
\(\dfrac{3}{2}{x^3} + 2x\).
-
B
\(\dfrac{3}{2}{x^3} + 2x - 4\).
-
C
\({x^3} + 2x - 4\).
-
D
\(\dfrac{3}{2}{x^3}y + 2xy - 4\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức.
Muốn chia đa thức \(A\) cho đơn thức \(B\) ( trường hợp các hạng tử của đa thức \(A\) đều chia hết cho đơn thức \(B\)), ta chia mỗi hạng tử của \(A\) cho \(B\) rồi cộng kết quả với nhau.
Ta có \(\left( {3{x^5}{y^2} + 4{x^3}{y^2} - 8{x^2}{y^2}} \right):2{x^2}{y^2}\)\( = \left( {3{x^5}{y^2}:2{x^2}{y^2}} \right) + \left( {4{x^3}{y^2}:2{x^2}{y^2}} \right) - \left( {8{x^2}{y^2}:2{x^2}{y^2}} \right)\)
\( = \dfrac{3}{2}{x^3} + 2x - 4\) .
Chọn câu đúng.
-
A
\(24{x^4}{y^3}:12{x^3}{y^3} = 2xy\).
-
B
\(18{x^6}{y^5}:\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right) = 2{x^3}{y^2}\).
-
C
\(40{x^5}{y^2}:\left( { - 2{x^4}{y^2}} \right) = - 20x\).
-
D
\(9{a^3}{b^4}{x^4}:3{a^2}{b^2}{x^2} = 3a{b^3}{x^2}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức.
Muốn chia đơn thức \(A\) cho đơn thức \(B\) (trong trường hợp \(A\) chia hết cho \(B\) ) ta làm như sau:
+ Chia hệ số của đơn thức \(A\) cho hệ số của đơn thức \(B\)
+ Chia lũy thừa của từng biến trong \(A\) cho lũy thừa của cùng biến đó trong \(B\) .
+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
Ta có: \(24{x^4}{y^3}:12{x^3}{y^3} \)\(= \left( {24:12} \right).\left( {{x^4}:{x^3}} \right).\left( {{y^3}:{y^3}} \right) \)\(= 2x\) nên A sai.
+ \(18{x^6}{y^5}:\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right) \)\(= \left( {18:\left( { - 9} \right)} \right).\left( {{x^6}:{x^3}} \right).\left( {{y^5}:{y^3}} \right) \)\(= - 2{x^3}{y^2}\) nên B sai.
+ \(40{x^5}{y^2}:\left( { - 2{x^4}{y^2}} \right) \)\(= \left( {40:\left( { - 2} \right)} \right).\left( {{x^5}:{x^4}} \right).\left( {{y^2}:{y^2}} \right) \)\(= - 20x\) nên C đúng.
+ \(9{a^3}{b^4}{x^4}:3{a^2}{b^2}{x^2} \)\( = \left( {9:3} \right).\left( {{a^3}:{a^2}} \right).\left( {{b^4}:{b^2}} \right).\left( {{x^4}:{x^2}} \right) \)\(= 3a{b^2}{x^2}\) nên D sai.
Chọn câu sai.
-
A
\({\left( {3x - y} \right)^7}:{\left( {y - 3x} \right)^2} = - {\left( {3x - y} \right)^5}\)
-
B
\({\left( {x - y} \right)^5}:{\left( {x - y} \right)^2} = {\left( {x - y} \right)^3}\)
-
C
\({\left( {2x - 3y} \right)^9}:{\left( {2x - 3y} \right)^6} = {\left( {2x - 3y} \right)^3}\)
-
D
\({\left( {x - 2y} \right)^{50}}:{\left( {x - 2y} \right)^{21}} = {\left( {x - 2y} \right)^{29}}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng quy tắc ${x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}$ với \(x \ne 0;\,m,n \in \mathbb{N};\,m \ge n\)
Chú ý: \({\left( {a - b} \right)^2} = {\left( {b - a} \right)^2};\,{\left( {a - b} \right)^3} = - {\left( {b - a} \right)^3}\)
Ta có: \({\left( {3x - y} \right)^7}:{\left( {y - 3x} \right)^2} = {\left( {3x - y} \right)^7}:{\left( {3x - y} \right)^2} = {\left( {3x - y} \right)^5}\) nên A sai.
+ \({\left( {x - y} \right)^5}:{\left( {x - y} \right)^2} = {\left( {x - y} \right)^{5 - 2}} = {\left( {x - y} \right)^3}\) nên B đúng.
+ \({\left( {2x - 3y} \right)^9}:{\left( {2x - 3y} \right)^6} = {\left( {2x - 3y} \right)^{9 - 6}} = {\left( {2x - 3y} \right)^3}\) nên C đúng.
+ ${\left( {x - 2y} \right)^{50}}:{\left( {x - 2y} \right)^{21}} = {\left( {x - 2y} \right)^{50 - 21}} = {\left( {x - 2y} \right)^{29}}$ nên D đúng.
Chọn câu đúng.
-
A
Thương của phép chia đa thức \(\left( {{a^6}{x^3} + 2{a^3}{x^4} - 9a{x^5}} \right)\) cho đơn thức \(a{x^3}\) là \({a^5} + 2{a^2}x - 9{x^2}\)
-
B
Phép chia đa thức \(\left( {{a^6}{x^3} + 2{a^3}{x^4} - 9a{x^5}} \right)\) cho đơn thức \(a{x^3}y\) phép chia hết
-
C
Thương của phép chia đa thức \(\left( {{a^6}{x^3} + 2{a^3}{x^4} - 9a{x^5}} \right)\) cho đơn thức \(a{x^3}\) là \({a^5} - 2{a^2}x + 9{x^2}\)
-
D
Thương của phép chia đa thức \(\left( {{a^6}{x^3} + 2{a^3}{x^4} - 9a{x^5}} \right)\) cho đơn thức \(a{x^3}\) là \({a^5}x + 2{a^2}x - 9{x^2}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức và định nghĩa phép chia hết.
Muốn chia đa thức \(A\) cho đơn thức \(B\) ( trường hợp các hạng tử của đa thức \(A\) đều chia hết cho đơn thức \(B\)), ta chia mỗi hạng tử của \(A\) cho \(B\) rồi cộng kết quả với nhau.
+) Ta có \(\left( {{a^6}{x^3} + 2{a^3}{x^4} - 9a{x^5}} \right):a{x^3}\)\( = \left( {{a^6}{x^3}:a{x^3}} \right) + \left( {2{a^3}{x^4}:a{x^3}} \right) - \left( {9a{x^5}:a{x^3}} \right)\)
\( = {a^5} + 2{a^2}x - 9{x^2}\) .
nên A đúng, C, D sai.
+) Phép chia đa thức \(\left( {{a^6}{x^3} + 2{a^3}{x^4} - 9a{x^5}} \right)\) cho đơn thức \(a{x^3}y\) không là phép chia hết vì đa thức \(\left( {{a^6}{x^3} + 2{a^3}{x^4} - 9a{x^5}} \right)\) không có biến \(y\) nên B sai.
Cho \(A = {\left( {3{a^2}b} \right)^3}{\left( {a{b^3}} \right)^2}\) ; \(B = {\left( {{a^2}b} \right)^4}\) . Khi đó \(A:B\) bằng
-
A
\(27a{b^5}\).
-
B
\( - 27{b^5}\).
-
C
\(27{b^5}\).
-
D
\(9{b^5}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Rút gọn \(A\) . Chú ý công thức \({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\) .
+ Sử dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức
Ta có \(A = {\left( {3{a^2}b} \right)^3}{\left( {a{b^3}} \right)^2} \)\(= {3^3}.{\left( {{a^2}} \right)^3}.{b^3}.{a^2}.{\left( {{b^3}} \right)^2} \)\(= 27{a^6}.{b^3}.{a^2}.{b^6} \)\(= 27{a^8}{b^9};\) \(B = {\left( {{a^2}b} \right)^4} \)\(= {\left( {{a^2}} \right)^4}.{b^4} \)\(= {a^8}{b^4}\)
Khi đó \(A:B = 27{a^8}{b^9}:{a^8}{b^4} \)\(= 27{b^5}\)
Cho \(\left( {2x + {y^2}} \right).\left( {...} \right) = 8{x^3} + {y^6}\). Điền vào chỗ trống (…) đa thức thích hợp
-
A
\(2{x^2} - 2xy + {y^4}\).
\(2{x^2} - 2xy + {y^2}\).
-
B
\(2{x^2} - 2xy + {y^2}\).
-
C
\(4{x^2} - 2x{y^2} + {y^4}\).
-
D
\(4{x^2} + 2x{y^2} + {y^4}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Phân tích vế phải thành hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\) từ đó suy ra đa thức cần tìm.
Ta có \(8{x^3} + {y^6} \)\(= {\left( {2x} \right)^3} + {\left( {{y^2}} \right)^3} \)\(= \left( {2x + {y^2}} \right)\left( {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2x.{y^2} + {{\left( {{y^2}} \right)}^2}} \right)\) \( = \left( {2x + y} \right)\left( {4{x^2} - 2x{y^2} + {y^4}} \right)\)
Vậy đa thức cần điền là \(4{x^2} - 2x{y^2} + {y^4}.\)
Cho \(\left( {27{x^3} + 27{x^2} + 9x + 1} \right):{\left( {3x + 1} \right)^2} = \left( {...} \right)\) Điền vào chỗ trống đa thức thích hợp
-
A
\({\left( {3x + 1} \right)^5}\).
-
B
\(3x + 1\).
-
C
\(3x - 1\).
-
D
\({\left( {3x + 1} \right)^3}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Đưa số bị chia thành hằng đẳng thức \({a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3}\)
+ Sử dụng quy tắc ${x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}$ với \(x \ne 0;\,m,n \in \mathbb{N};\,m \ge n\).
Ta có \(\left( {27{x^3} + 27{x^2} + 9x + 1} \right):{\left( {3x + 1} \right)^2} = {\left( {3x + 1} \right)^3}:{\left( {3x + 1} \right)^2} = 3x + 1\)
Giá trị số tự nhiên \(n\) để phép chia \({x^n}:{x^6}\) thực hiện được là:
-
A
\(n \in \mathbb{N},n < 6\)
-
B
\(n \in \mathbb{N},n \ge 6\)
-
C
\(n \in \mathbb{N},n > 6\)
-
D
\(n \in \mathbb{N},n \le 6\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng quy tắc ${x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}$ với \(x \ne 0;\,m,n \in \mathbb{N};\,m \ge n\).
Để phép chia \({x^n}:{x^6} = {x^{n - 6}}\) thực hiện được thì \(n \in \mathbb{N};\,n - 6 \ge 0 \Leftrightarrow \,n \ge 6;\,n \in \mathbb{N}\)
Giá trị số tự nhiên \(n\) thỏa mãn điều kiện gì để phép chia \({x^{n + 3}}{y^6}:{x^9}{y^n}\) là phép chia hết ?
-
A
\(n < 6\)
-
B
\(n=5\)
-
C
\(n > 6\)
-
D
\(n = 6\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng nhận xét: Đơn thức \(A\) chia hết cho đơn thức $B$ khi mỗi biến của $B$ đều là biến của $A$ với số mũ nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của nó trong $A$ .
Để phép chia \({x^{n + 3}}{y^6}:{x^9}{y^n}\) là phép chia hết thì \(\left\{ \begin{array}{l}9 \le n + 3\\n \le 6\\n \in \mathbb{N}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 6\\n \le 6\\n \in \mathbb{N}\end{array} \right. \Rightarrow n = 6\) .
Giá trị biểu thức \(A = 15{x^5}{y^4}{z^3}:\left( { - 3{x^4}{y^4}{z^2}} \right)\) với \(x = - 2,y = 2004,z = 10\) là:
-
A
\( - 100\)
-
B
\(100\)
-
C
\( - 200\)
-
D
\(120\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
+ Sử dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức để rút gọn \(A\) .
+ Thay giá trị của \(x,y,\,z\) vào biểu thức vừa rút gọn của \(A\) .
+ Ta có \(A = 15{x^5}{y^4}{z^3}:\left( { - 3{x^4}{y^4}{z^2}} \right)\)\( = \left( {15:\left( { - 3} \right)} \right).\left( {{x^5}:{x^4}} \right).\left( {{y^4}:{y^4}} \right).\left( {{z^3}:{z^2}} \right)\) \( = - 5xz\)
+ Thay \(x = - 2,y = 2004,z = 10\) vào \(A = - 5xz\) ta có
\(A = - 5.\left( { - 2} \right).10 = 100\) .
Thương của phép chia
\(\left( {9{x^4}{y^3} - 18{x^5}{y^4} - 81{x^6}{y^5}} \right):\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right)\) là đa thức có bậc là:
-
A
\(5\)
-
B
\(9\)
-
C
\(3\)
-
D
\(1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức.
+ Xác định bậc của đa thức là bậc cao nhất của các đơn thức trong đa thức.
Ta có \(\left( {9{x^4}{y^3} - 18{x^5}{y^4} - 81{x^6}{y^5}} \right):\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right)\)\( = \left[ {\left( {9{x^4}{y^3}} \right):\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right)} \right] - \left[ {18{x^5}{y^4}:\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right)} \right] - \left[ {81{x^6}{y^5}:\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right)} \right]\)
\( = - x + 2{x^2}y + 9{x^3}{y^2}\)
Đa thức \( - x + 2{x^2}y + 9{x^3}{y^2}\) có bậc \(3 + 2 = 5\) .
Chọn kết luận đúng về giá trị của biểu thức \(E = \dfrac{2}{3}{x^2}{y^3}:\left( {\dfrac{{ - 1}}{3}xy} \right) + \dfrac{{2x\left( {y - 1} \right){{\left( {y + 1} \right)}^2}}}{{\left( {y + 1} \right)}}\) (\(x \ne 0,\;y \ne 0;\)\(y\ne -1\))
-
A
Giá trị của biểu thức không phụ thuộc biến \(x\)
-
B
Giá trị của biểu thức không phụ thuộc biến \(y\)
-
C
Giá trị của biểu thức không phụ thuộc biến
-
D
Giá trị của biểu thức phụ thuộc vào cả hai biến \(x,y\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
- Kết hợp nhuần nhuyễn các phép tính nhân, chia, cộng, trừ các đơn thức và đa thức để rút gọn biểu thức.
- Biểu thức không phụ thuộc vào biến khi trong biểu thức rút gọn không còn biến.
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,E = \dfrac{2}{3}{x^2}{y^3}:\left( {\dfrac{{ - 1}}{3}xy} \right) + \dfrac{{2x\left( {y - 1} \right){{\left( {y + 1} \right)}^2}}}{{\left( {y + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow E = - 2x{y^2} + 2x\left( {y - 1} \right)\left( {y + 1} \right)\\ \Leftrightarrow E = - 2x{y^2} + 2x\left( {{y^2} - 1} \right)\\ \Leftrightarrow E = - 2x{y^2} + 2x{y^2} - 2x\\ \Leftrightarrow E = - 2x.\end{array}\)
Vậy giá trị của biểu thức E không phụ thuộc vào biến y.
Tìm \(x\) biết \(\left( {2{x^4} - 3{x^3} + {x^2}} \right):\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right) + 4{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\)
-
A
\(x = - 1\)
-
B
\(x = 2\)
-
C
\(x = 1\)
-
D
\(x = 0\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
+ Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức. Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
+ Rút gọn đưa về dạng tìm \(x\) thường gặp.
Ta có \(\left( {2{x^4} - 3{x^3} + {x^2}} \right):\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right) + 4{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{x^4}:\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right) - 3{x^3}:\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right) + {x^2}:\left( { - \dfrac{1}{2}{x^2}} \right) + 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 4{x^2} + 6x - 2 + 4{x^2} - 8x + 4 = 0\\ \Leftrightarrow - 2x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)
Vậy \(x = 1.\)
Cho \(A = {x^5}{y^n} - 12{x^{n + 1}}{y^4}\) ; \(B = 24{x^{n - 1}}{y^3}\) . Tìm số tự nhiên \(n > 0\) để \(A\,\, \vdots \,\,B\)
-
A
\(n \in \left\{ {3;4;5;6} \right\}\)
-
B
\(n \in \left\{ {4;5;6} \right\}\)
-
C
\(n \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\)
-
D
\(n \in \left\{ {4;5} \right\}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
- Thực hiện phép chia đa thức cho đơn thức \(\left( {A + B + C} \right):D = A:D + B:D + C:D\)
- Thực hiện phép chia đơn thức, 2 đơn thức chia hết cho nhau khi lũy thừa của từng biến trong đơn thức thứ nhất chia hết cho lũy thừa cùng biến trong đơn thức thứ hai.
- Khi đó, số mũ của lũy thừa của từng biến trong đơn thức thứ nhất lớn hơn hoặc bằng số mũ của lũy thừa cùng biến trong đơn thức thứ hai. Ta so sánh để rút ra giá trị n cần tìm.
Ta có: \(A:B = \left( {{x^5}{y^n} - 12{x^{n + 1}}{y^4}} \right):\left( {24{x^{n - 1}}{y^3}} \right)\)\( = \left( {{x^5}{y^n}} \right):\left( {24{x^{n - 1}}{y^3}} \right) - \left( {12{x^{n + 1}}{y^4}} \right):\left( {24{x^{n - 1}}{y^3}} \right)\)
\( = \dfrac{1}{{24}}{x^{6 - n}}{y^{n - 3}} - \dfrac{1}{2}{x^2}y\)
Để \(A\,\, \vdots \,\,B\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}6 - n \ge 0\\n - 3 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \le 6\\n \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le n \le 6\)
Mà \(n \in {\mathbb{N}^*}\) nên \(n \in \left\{ {3;4;5;6} \right\}\)
Cho \(M = \left( {{x^4}{y^{n + 1}} - \dfrac{1}{2}{x^3}{y^{n + 2}}} \right):\left( {\dfrac{1}{2}{x^3}{y^n}} \right) - 20{x^4}y:5{x^2}y\,\,\,\left( {n \in \mathbb{N};x;y \ne 0} \right)\) . Chọn câu đúng.
-
A
Giá trị của \(M\) luôn là số âm
-
B
Giá trị của \(M\) luôn là số dương
-
C
Giá trị của \(M\) luôn bằng \(0\)
-
D
Giá trị của \(M\) luôn bằng \(1\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
+ Sử dụng chia đa thức cho đơn thức \(\left( {A + B} \right):C = A:C + B + C\)
+ Sử dụng công thức \({a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\,\,\left( {a \ne 0;m \ge n} \right)\)
+ Sử dụng đánh giá \( - {A^2} < 0;\,\forall A \ne 0\)
Ta có \(M = \left( {{x^4}{y^{n + 1}} - \dfrac{1}{2}{x^3}{y^{n + 2}}} \right):\left( {\dfrac{1}{2}{x^3}{y^n}} \right) - 20{x^4}y:\left( {5{x^2}y} \right)\,\,\)
\( = \left( {{x^4}{y^{n + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{2}{x^3}{y^n}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2}{x^3}{y^{n + 2}}} \right):\left( {\dfrac{1}{2}{x^3}{y^n}} \right) - 4{x^2}\)
\( = 2{x^{4 - 1}}{y^{n + 1 - n}} - {x^{3 - 3}}{y^{n + 2 - n}} - 4{x^2}\)
\( = 2xy - {y^2} - 4{x^2}\)\( = - \left( {{y^2} - 2xy + {x^2} + 3{x^2}} \right) = - \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 3{x^2}} \right]\)
Vì với \(x,y \ne 0\) thì \({\left( {x - y} \right)^2} + 3{x^2} > 0\) nên \( - \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 3{x^2}} \right] < 0;\,\forall x;y \ne 0\)
Hay giá trị của \(M\) luôn là số âm.