Phân tích đa thức \({x^2} - 6x + 8\) thành nhân tử ta được
-
A
\(\left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)\).
-
B
\(\left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right)\).
-
C
\(\left( {x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)\).
-
D
\(\left( {x - 4} \right)\left( {2 - x} \right)\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử.
Để phân tích tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c$ thành nhân tử, ta có thể thực hiện như sau
ta tách hạng tử $bx$ thành ${b_1}x + {b_2}x$ sao cho ${b_1}{b_2} = ac$ và ${b_1}+{b_2}=\dfrac{b}{a}.$
Phân tích: ta có \({x^2} - 6x + 8 = 0\) nên \(a = 1;\,b = - 6;\,c = 8 \)\(\Rightarrow a.c = 8 = \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right)\) và \( - 2 + \left( { - 4} \right) = - 6 = b\)
Ta có \({x^2} - 6x + 8 = {x^2} - 4x - 2x + 8 = x\left( {x - 4} \right) - 2\left( {x - 4} \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)\)
Đa thức \(25 - {a^2} + 2ab - {b^2}\) được phân tích thành
-
A
\(\left( {5 + a - b} \right)\left( {5 - a - b} \right)\).
-
B
\(\left( {5 + a + b} \right)\left( {5 - a - b} \right)\).
-
C
\(\left( {5 + a + b} \right)\left( {5 - a + b} \right)\).
-
D
\(\left( {5 + a - b} \right)\left( {5 - a + b} \right)\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử và hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ta có \(25 - {a^2} + 2ab - {b^2}\)\( = 25 - \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) \)\(= {5^2} - {\left( {a - b} \right)^2} \)\(= \left( {5 + a - b} \right)\left( {5 - a + b} \right)\) .
Phân tích đa thức \({x^4} + 64\) thành hiệu hai bình phương, ta được
-
A
\({\left( {{x^2} + 16} \right)^2} - {\left( {4x} \right)^2}\).
-
B
\({\left( {{x^2} + 8} \right)^2} - {\left( {16x} \right)^2}\).
-
C
\({\left( {{x^2} + 8} \right)^2} - {\left( {4x} \right)^2}\).
-
D
\({\left( {{x^2} + 4} \right)^2} - {\left( {4x} \right)^2}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Thêm bớt hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương.
Ta có \({x^4} + 64\)\( = {\left( {{x^2}} \right)^2} + 16{x^2} + 64 - 16{x^2} \)\( = {\left( {{x^2}} \right)^2} + 2.8.x + {8^2} - {\left( {4x} \right)^2}\)\(= {\left( {{x^2} + 8} \right)^2} - {\left( {4x} \right)^2}\)
Ta có \({x^2} - 7xy + 10{y^2} = \left( {x - 2y} \right)\left( {...} \right)\) . Biểu thức thích hợp điền vào dấu \(...\) là
-
A
\(x + 5y\).
-
B
\(x - 5y\).
-
C
\(5y - x\).
-
D
\(5y + 2x\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ta có \({x^2} - 7xy + 10{y^2} \)\(= {x^2} - 2xy - 5xy + 10{y^2}\)\( = \left( {{x^2} - 2xy} \right) - \left( {5xy - 10{y^2}} \right)\)\( = x\left( {x - 2y} \right) - 5y\left( {x - 2y} \right) = \left( {x - 2y} \right)\left( {x - 5y} \right)\)
Vậy ta cần điền \(x - 5y.\)
Chọn câu sai.
-
A
\(3{x^2} - 5x - 2 = \left( {x - 2} \right)\left( {3x + 1} \right)\).
-
B
\({x^2} + 5x + 4 = \left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\).
-
C
\({x^2} - 9x + 8 = \left( {x - 8} \right)\left( {x + 1} \right)\).
-
D
\({x^2} + x - 6 = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ta có \(3{x^2} - 5x - 2\)\(=3{x^2} + x - 6x - 2 \)\(= x\left( {3x + 1} \right) - 2\left( {3x + 1} \right) \)\(= \left( {x - 2} \right)\left( {3x + 1} \right)\) nên A đúng.
*) \({x^2} + 5x + 4 = \)\({x^2} + x + 4x + 4 \)\(= x\left( {x + 1} \right) + 4\left( {x + 1} \right) \)\(= \left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\) nên B đúng.
*) \({x^2} - 9x + 8 \)\(={x^2} - x - 8x + 8 \)\(= x\left( {x - 1} \right) - 8\left( {x - 1} \right) \)\(= \left( {x - 8} \right)\left( {x - 1} \right)\) nên C sai
*) \({x^2} + x - 6\)\( = {x^2} + 3x - 2x - 6 \)\(= x\left( {x + 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) \)\(= \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\) nên D đúng.
Chọn câu đúng.
-
A
\({x^4} + 4{x^2} - 5 = \left( {{x^2} + 5} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).
-
B
\({x^2} + 5x + 4 = \left( {{x^2} - 5} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).
-
C
\({x^2} - 9x + 8 = \left( {{x^2} + 5} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\).
-
D
\({x^2} + x - 6 = \left( {{x^2} - 5} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ta có \({x^4} + 4{x^2} - 5\)\(={x^4} - {x^2} + 5{x^2} - 5 \)\(= {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) + 5\left( {{x^2} - 1} \right) \)\(= \left( {{x^2} + 5} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) \)\(= \left( {{x^2} + 5} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\) nên A đúng.
+) \({x^2} + 5x + 4 = {x^2} + x + 4x + 4 \)\(= x\left( {x + 1} \right) + 4\left( {x + 1} \right) \)\(= \left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right)\) nên B sai
+) \({x^2} - 9x + 8 = {x^2} - x - 8x + 8 \)\(= x\left( {x - 1} \right) - 8\left( {x - 1} \right) \)\(= \left( {x - 1} \right)\left( {x - 8} \right)\) nên C sai.
+) \({x^2} + x - 6 = {x^2} - 2x + 3x - 6 \)\(= x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) \)\(= \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)\) nên D sai.
Cho \(\left( I \right):\,4{x^2} + 4x - 9{y^2} + 1 \)\(= \left( {2x + 1 + 3y} \right)\left( {2x + 1 - 3y} \right)\)
$\left( {II} \right):\,5{x^2} - 10xy + 5{y^2} - 20{z^2}= 5\left( {x + y + 2z} \right)\left( {x + y - 2z} \right).$ Chọn câu đúng.
-
A
\(\left( I \right)\) đúng, \(\left( {II} \right)\) sai.
-
B
\(\left( I \right)\) sai, \(\left( {II} \right)\) đúng.
-
C
\(\left( I \right)\), \(\left( {II} \right)\) đều sai.
-
D
\(\left( I \right)\), \(\left( {II} \right)\) đều đúng.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử và hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ta có \(\left( I \right):\,4{x^2} + 4x - 9{y^2} + 1 = \left( {4{x^2} + 4x + 1} \right) - 9{y^2} = {\left( {2x + 1} \right)^2} - {\left( {3y} \right)^2}\)\( = \left( {2x + 1 + 3y} \right)\left( {2x + 1 - 3y} \right)\)
Nên \(\left( I \right)\) đúng.
Và $\left( {II} \right):\,5{x^2} - 10xy + 5{y^2} - 20{z^2} = 5\left( {{x^2} - 2xy + {y^2} - 4{z^2}} \right)$\( = 5\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} - {{\left( {2z} \right)}^2}} \right] = 5\left( {x - y - 2z} \right)\left( {x - y + 2z} \right)\)
Nên \(\left( {II} \right)\) sai.
Cho \({({x^2} + x)^2} + 4{x^2} + 4x - 12 = \left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + ...} \right).\) Điền vào dấu \(...\) số hạng thích hợp
-
A
\( - 3\).
-
B
\(3\).
-
C
\( - 6\).
-
D
\(6\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ sau đó tách hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ta có \({\left( {{x^2} + x} \right)^2} + 4{x^2} + 4x - 12 = {\left( {{x^2} + x} \right)^2} + 4\left( {{x^2} + x} \right) - 12\)
Đặt \(t = {x^2} + x\) ta được \({t^2} + 4t - 12 = {t^2} + 6t - 2t - 12 = t\left( {t + 6} \right) - 2\left( {t + 6} \right) = \left( {t - 2} \right)\left( {t + 6} \right)\)\( = \left( {{x^2} + x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + 6} \right)\)
Vậy số cần điền là $6.$
Ta có \((x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = \left( {{x^2} + 7x + a} \right)\left( {{x^2} + 7x + b} \right)\) với \(a,\,b\) là các số nguyên và \(a < b\) . Khi đó \(a - b\) bằng
-
A
\(10\).
-
B
\(14\).
-
C
\( - 14\).
-
D
\( - 10\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ sau đó dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức vế trái thành nhân tử.
+ Nhân hai hạng tử $(x+2)(x+5)$; $(x+3)(x+4)$
+ Đặt \({x^2} + 7x + 11 = t\)
+ Phân tích biểu thức ẩn $t$ thu được
+ Thay trở lại \(t={x^2} + 7x + 11\) ta thu được tích các nhân tử cần tìm từ đó suy ra $a,b.$
Ta có \(T = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24\)\( = \left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right)} \right].\left[ {\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)} \right] - 24\)\( = \left( {{x^2} + 7x + 10} \right).\left( {{x^2} + 7x + 12} \right) - 24\)
Đặt \({x^2} + 7x + 11 = t\), ta được \(T = \left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) - 24 = {t^2} - 1 - 24 = {t^2} - 25 = \left( {t - 5} \right)\left( {t + 5} \right)\)
Thay \(t={x^2} + 7x + 11 \), ta được
\( T= \left( {t - 5} \right)\left( {t + 5} \right)= \left( {{x^2} + 7x + 11 - 5} \right)\left( {{x^2} + 7x + 11 + 5} \right)\)\( = \left( {{x^2} + 7x + 6} \right)\left( {{x^2} + 7x + 16} \right)\)
Suy ra \(a = 6;b = 16\, \Rightarrow a - b = - 10\)
Tìm \(x\) biết \(3{x^2} + 8x + 5 = 0\)
-
A
\(x = - \dfrac{5}{3};\,x = - 1\).
-
B
\(x = - \dfrac{5}{3};\,x = 1\).
-
C
\(x = \dfrac{5}{3};\,x = - 1\).
-
D
\(x = \dfrac{5}{3};\,x = 1\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử.
Từ đó đưa về dạng tìm \(x\) đã biết \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
Ta có \(3{x^2} + 8x + 5 = 0\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + 5x + 5 = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x + 1} \right) + 5\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3x + 5} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + 5 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{5}{3}\\x = - 1\end{array} \right.\)
Vậy \(x = - \dfrac{5}{3};\,x = - 1\) .
Có bao nhiêu giá trị $x$ thỏa mãn $4{(x-3)^2}-(2x-1)(2x + 1) = 10$.
-
A
\(0\).
-
B
\(2\).
-
C
\(1\).
-
D
\(3\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi về dạng tìm \(x\) thường gặp.
Ta có $4{(x-3)^2}-(2x-1)(2x + 1) = 10$\( \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) - \left( {4{x^2} - 1} \right) = 10 \Leftrightarrow 4{x^2} - 24x + 36 - 4{x^2} + 1 - 10 = 0\)
\( \Leftrightarrow - 24x + 27 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{8}\) .
Vậy có một giá trị $x$ thỏa mãn.
Gọi \({x_0}\) là hai giá trị thỏa mãn ${x^4}-4{x^3} + 8{x^2}-16x + 16 = 0$ . Chọn câu đúng.
-
A
\({x_0} > 2\).
-
B
\({x_0} < 3\).
-
C
\({x_0} < 1\).
-
D
\({x_0} > 4\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử thích hợp và hằng đẳng thức để biến đổi về dạng tìm \(x\) thường gặp.
Ta có ${x^4}-4{x^3} + 8{x^2}-16x + 16 = 0$\( \Leftrightarrow \left( {{x^4} + 8{x^2} + 16} \right) - \left( {4{x^3} + 16x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 4} \right)^2} - 4x\left( {{x^2} + 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 4} \right)\left( {{x^2} + 4 - 4x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 4} \right){\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 4 = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = - 4\,\,\left( L \right)\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 2\)
Vậy \({x_0} = 2\) .
Gọi \({x_1};{x_2}\) là hai giá trị thỏa mãn \(3{x^2} + 13x + 10 = 0\). Khi đó \(2{x_1}.{x_2}\) bằng
-
A
\( - \dfrac{{20}}{3}\).
-
B
\(\dfrac{{20}}{3}\).
-
C
\(\dfrac{{10}}{3}\).
-
D
\( - \dfrac{{10}}{3}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử.
Từ đó đưa về dạng tìm \(x\) đã biết \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
Ta có \(3{x^2} + 13x + 10 = 0\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 3x + 10x + 10 = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x + 1} \right) + 10\left( {x + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3x + 10} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\3x + 10 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow 2{x_1}{x_2} = 2.\left( { - 1} \right).\left( { - \dfrac{{10}}{3}} \right) = \dfrac{{20}}{3}\) .
Giá trị của biểu thức \(A = {x^2} - 4{y^2} + 4x + 4\) tại \(x = 62,\,y = - 18\) là
-
A
\(2800\).
-
B
\(1400\).
-
C
\( - 2800\).
-
D
\( - 1400\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử thích hợp và hằng đẳng thức để phân tích \(A\) thành nhân tử.
Từ đó thay giá trị của \(x,\,y\) vào biểu thức vừa tính được.
Ta có \(A = {x^2} - 4{y^2} + 4x + 4\)\( = \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - 4{y^2} \)\(= {\left( {x + 2} \right)^2} - {\left( {2y} \right)^2} \)\(= \left( {x + 2 - 2y} \right)\left( {x + 2 + 2y} \right)\)
Thay \(x = 62,\,y = - 18\) ta được
\(A = \left( {62 + 2 - 2.\left( { - 18} \right)}\right)\left( {62 + 2 + 2.\left( { - 18} \right)} \right) \)\(= 100.28 = 2800.\)
Giá trị nhỏ nhất của \(x\) thỏa mãn $6{x^3} + {x^2} = 2x$ là
-
A
\(x = 1\).
-
B
\(x = 0\).
-
C
\(x = - 1\).
-
D
\(x = - \dfrac{2}{3}\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử thích hợp và tách hạng tử để đưa về dạng tìm \(x\) thường gặp \(A.B.C = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\\C = 0\end{array} \right.\) .
Ta có $6{x^3} + {x^2}-2x = 0$$ \Leftrightarrow x\left( {6{x^2} + x-2} \right) = 0$
\( \Leftrightarrow \)$x\left( {6{x^2} + 4x-3x-2} \right) = 0$
\( \Leftrightarrow \) $x\left[ {2x\left( {3x + 2} \right)-\left( {3x + 2} \right)} \right] = 0$
\( \Leftrightarrow \) $x\left( {3x + 2} \right)\left( {2x-1} \right) = 0$
\( \Rightarrow \) $x = 0$ hoặc $3x + 2 = 0$ hoặc $2x-1 = 0$
suy ra $x = 0;x = - \dfrac{2}{3};x = \dfrac{1}{2}$
Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là \(x = - \dfrac{2}{3}\) .
Cho biểu thức $C = xyz-\left( {xy + yz + zx} \right) + x + y + z-1.$ Phân tích \(C\) thành nhân tử và tính giá trị của \(C\) khi $x = 9;y = 10;z = 101$.
-
A
$C = \left( {z-1} \right)\left( {xy-y-x + 1} \right);\,C = 720$.
-
B
$C = \left( {z-1} \right)(y-1)(x+1);\,C = 7200$.
-
C
$C = \left( {z-1} \right)(y-1)(x-1)$;$C = 7200$.
-
D
$C = \left( {z + 1} \right)(y-1)(x-1);$$C = 7200$.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
- Phân tích \(C\) thành nhân tử bằng cách nhóm hạng tử thích hợp.
- Thay $x = 9;y = 10;z = 101$ để tính giá trị của $D$ .
Ta có: $C = xyz-xy-yz-zx + x + y + z-1$
$ = \left( {xyz-xy} \right)-\left( {yz-y} \right)-\left( {zx-x} \right) + \left( {z-1} \right)$ $ = xy\left( {z-1} \right)-y\left( {z-1} \right)-x\left( {z-1} \right) + \left( {z-1} \right)$$ = \left( {z-1} \right)\left( {xy-y-x + 1} \right)$ $=(z-1).[y(x-1)-(x-1)]$$=(z-1)(y-1)(x-1)$
Với $x = 9;y = 10;z = 101$ ,ta có:
$C = \left( {101-1} \right)\left( {10-1} \right)(9-1) $$= 100.9.8= 7200$
Giá trị của biểu thức $D = {x^3}-{x^2}y-x{y^2} + {y^3}$ khi \(x = y\) là
-
A
\(3\).
-
B
\(2\).
-
C
\(1\).
-
D
\(0\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
- Phân tích \(D\) thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức và nhóm hạng tử thích hợp.
- Sử dụng giả thiết \(x = y\) để tính giá trị của $D$ .
$D = \left( {{x^3} + {y^3}} \right)-xy\left( {x + y} \right) $$= \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - xy\left( {x + y} \right) $$= \left( {x + y} \right)\left( {{x^2}-xy + {y^2}-xy} \right)$$ = \left( {x + y} \right)[\left( {x\left( {x-y} \right)-y\left( {x-y} \right)} \right] $$= \left( {x + y} \right){\left( {x-y} \right)^2}$
Vì \(x = y\)\( \Leftrightarrow x - y = 0\) nên \(D = \left( {x + y} \right){\left( {x - y} \right)^2} = 0\) .
Đa thức $ab\left( {a-b} \right) + bc\left( {b-c} \right) + ca\left( {c-a} \right)$ được phân tích thành
-
A
$\left( {a-b} \right)\left( {a-c} \right)\left( {b-c} \right)$.
-
B
$\left( {a + b} \right)\left( {a-c} \right)\left( {b-c} \right)$
-
C
$\left( {a + b} \right)\left( {a-c} \right)\left( {b + c} \right)$.
-
D
$\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)$.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng thêm bớt hạng tử để xuất hiện nhân tử chung.
Từ đó nhóm các hạng tử thích hợp để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ta có $ab\left( {a-b} \right) + bc\left( {b-c} \right) + ca\left( {c-a} \right)$ $ = ab\left( {a-b} \right) + bc\left[ {b-a + a-c} \right] + ac\left( {c-a} \right)$
$ = ab\left( {a-b} \right)-bc\left( {a-b} \right) + bc\left( {a-c} \right)-ac\left( {a-c} \right)$$ = \left( {a-b} \right)\left( {a--bc} \right) + \left( {a-c} \right)\left( {bc-ac} \right)$ $ = b\left( {a-b} \right)\left( {a-c} \right) - c\left( {a-c} \right)\left( {a-b} \right)$$ = \left( {a-b} \right)\left( {a-c} \right)\left( {b-c} \right)$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\)
-
A
\(17\).
-
B
\(0\)
-
C
\( - 17\).
-
D
\( - 10\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử một cách thích hợp để tách biểu thức đã cho thành dạng C = a2 + b2 + c.
- Khi đó, \(A \ge c\) với mọi x.
- Suy ra, giá trị nhỏ nhất của A.
\(A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\)
\(\Leftrightarrow A = {x^2} + {y^2} + 1 - 2xy + 2x - 2y + {y^2} - 8y + 16 - 17\)
\( \Leftrightarrow A = \left( {{x^2} + {y^2} + {1^2} - 2.x.y + 2.x.1 - 2.y.1} \right) + \left( {{y^2} - 2.4.y + {4^2}} \right) - 17\)
\( \Leftrightarrow A = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 17.\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\) với mọi \(x,y\) nên \(A \ge - 17\) với mọi \(x,y.\)
\( \Rightarrow A = - 17 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\)
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là \(A = - 17\) tại \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\).
Phân tích đa thức \(A = ab\left( {a + b} \right) - bc\left( {b + c} \right) - ac\left( {c - a} \right)\) thành nhân tử ta được
-
A
\(\left( {a + b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)\).
-
B
\(\left( {a + b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b + c} \right)\)
-
C
\(\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)\).
-
D
\(\left( {a + b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b + c} \right)\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
- Ta viết \(b + c = \left( {a + b} \right) + \left( {c - a} \right)\) từ đó nhóm các hạng tử thích hợp
Ta có \(b + c = \left( {a + b} \right) + \left( {c - a} \right)\) nên \(A = ab\left( {a + b} \right) - bc\left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {c - a} \right)} \right] - ac\left( {c - a} \right)\)
\( = ab\left( {a + b} \right) - bc\left( {a + b} \right) - bc\left( {c - a} \right) - ac\left( {c - a} \right)\)
\( = b\left( {a + b} \right)\left( {a - c} \right) - c\left( {c - a} \right)\left( {b + a} \right)\)
\( = \left( {a + b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b + c} \right)\)
Phân tích đa thức \({x^7} - {x^2} - 1\) thành nhân tử ta được
-
A
\(\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^5} + {x^4} - {x^3} - {x^2} + 1} \right)\).
-
B
\(\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^5} + {x^4} - {x^3} - {x^2} - 1} \right)\)
-
C
\(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^5} + {x^4} - {x^3} - {x^2} - 1} \right)\).
-
D
\(\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^5} - {x^4} - {x^3} - {x^2} - 1} \right)\).
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
- Thêm bớt \(x\) từ đó nhóm các hạng tử thích hợp
Ta có \({x^7} - {x^2} - 1 = {x^7} - x - {x^2} + x - 1\)\( = x\left( {{x^6} - 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)\)
\( = x\left( {{x^3} - 1} \right)\left( {{x^3} + 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)\)
\( = x\left( {{x^3} - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)\)
\( = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left[ {x\left( {{x^3} - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - 1} \right]\)\( = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left[ {\left( {{x^2} + x} \right)\left( {{x^3} - x} \right) - 1} \right]\)
\( = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^5} + {x^4} - {x^3} - {x^2} - 1} \right)\)