Câu hỏi 1 :

Phép chia đa thức \(2{x^4} - 3{x^3} + 3x - 2\) cho đa thức \({x^2} - 1\) được đa thức dư là:

  • A

    \(0\).

  • B

    \(1\).

  • C

    \(2\).

  • D

    \(10\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Lời giải chi tiết :

Vậy đa thức dư là \(R = 0\) .

Câu hỏi 2 :

Phép chia đa thức \(3{x^5} + 5{x^4} - 1\) cho đa thức \({x^2} + x + 1\) được đa thức thương là:

  • A

    \(3{x^3} - 2{x^2} - 5x + 3\).

  • B

    \(3{x^3} + 2{x^2} - 5x + 3\).

  • C

    \(3{x^3} - 2{x^2} - x + 3\).

  • D

    \(2x - 4\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Lời giải chi tiết :

Đa thức thương là $3{x^3} + 2{x^2} - 5x + 3$ .

Câu hỏi 3 :

Phần dư của phép chia đa thức \({x^4} - 2{x^3} + {x^2} - 3x + 1\) cho đa thức \({x^2} + 1\)  có hệ số tự do là

  • A

    \(2\).

  • B

    \(3\).

  • C

    \(1\).

  • D

    \(4\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Lời giải chi tiết :

Đa thức dư là \( - x + 1\) có hệ số tự do là \(1\) .

Câu hỏi 4 :

Biết phần dư của phép chia đa thức \(\left( {{x^5} + {x^3} + {x^2} + 2} \right)\) cho đa thức \(\left( {{x^3} + 1} \right)\) là số tự nhiên \(a\) . Chọn câu đúng.

  • A

    \(a < 2\).

  • B

    \(a > 1\).

  • C

    \(a < 0\).

  • D

    \(a \vdots 2\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Lời giải chi tiết :

Phần dư của phép chia là \(a = 1 < 2\)

Câu hỏi 5 :

Cho các khẳng định sau:

(I): Phép chia đa thức \(3{x^3} - 2{x^2} + 5\) cho đa thức \(3x - 2\) là phép chia hết.

(II): Phép chia đa thức \(\left( {2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 3} \right)\) cho đa thức \(\left( {2{x^2} - x + 1} \right)\) là phép chia hết

Chọn câu đúng.

  • A

    Cả (I) và (II) đều đúng.

  • B

    Cả (I) và (II) đều sai

  • C

    (I) đúng, (II) sai

  • D

    (I) sai, (II) đúng.

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Lời giải chi tiết :

Ta có

Vì phần dư \(R = 5 \ne 0\) nên phép chia đa thức \(3{x^3} - 2{x^2} + 5\) cho đa thức \(3x - 2\) là phép chia có dư. Do đó (I) sai.

Lại có

Nhận thấy phần dư \(R = 0\) nên phép chia đa thức \(\left( {2{x^3} + 5{x^2} - 2x + 3} \right)\) cho đa thức \(\left( {2{x^2} - x + 1} \right)\) là phép chia hết. Do đó (II) đúng.

Câu hỏi 6 :

Kết quả của phép chia \(\left( {2{a^3} + 7a{b^2} - 7{a^2}b - 2{b^3}} \right):\left( {2a - b} \right)\) là

  • A

    \(\left( {a - b} \right)(a-2b)\).

  • B

    \({\left( {a + b} \right)^2}\).

  • C

    \(\left( {a - b} \right)(b-2a)\).

  • D

    \(a - b\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử rồi thực hiện phép chia.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(2{a^3} + 7a{b^2} - 7{a^2}b - 2{b^3}\)\( = 2\left( {{a^3} - {b^3}} \right) - 7ab\left( {a - b} \right) \)\(= 2\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right) - 7ab\left( {a - b} \right)\)

\( = \left( {a - b} \right)\left( {2{a^2} - ab - 4ab + 2{b^2}} \right) = \left( {a - b} \right)\left[ {a\left( {2a - b} \right) - 2b\left( {2a - b} \right)} \right]\)

\( = \left( {a - b} \right)\left( {2a - b} \right)\left( {a - 2b} \right)\)

Nên \(\left( {2{a^3} + 7a{b^2} - 7{a^2}b - 2{b^3}} \right):\left( {2a - b} \right)\)\( = {\left( {a - b} \right)}.(2a-b).\left( {a - 2b} \right):\left( {2a - b} \right) = \left( {a - b} \right)(a-2b)\) .

Câu hỏi 7 :

Tìm đa thức bị chia biết đa thức chia là \(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\), thương là \(\left( {x + 3} \right)\), dư là \(x - 2\):

  • A

    \({x^3} + 4{x^2} + 5x + 1\)   

  • B

    \({x^3} - 4{x^2} + 5x + 1\)

  • C

    \({x^3} - 4{x^2} - 5x + 1\)

  • D

    \({x^3} + 4{x^2} - 5x + 1\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

- Ta nhân đa thức thương với đa thức chia rồi cộng với số dư, ta thu được đa thức bị chia cần tìm.

Lời giải chi tiết :

Đa thức bị chia cần tìm là:

\(\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) + x - 2 = {x^2}.x + 3{x^2} + x.x + 3x + x + 3 + x - 2 = {x^3} + 4{x^2} + 5x + 1\)

Câu hỏi 8 :

Rút gọn và tính  giá trị biểu thức \(A = \left( {4{x^3} + 3{x^2} - 2x} \right):\left( {{x^2} + \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2}} \right)\) tại \(x = 3\) 

  • A

    \(A = 4x;A = 7\)

  • B

    \(A = 3x;A = 9\)         

  • C

    \(A = 4x;A = 8\)

  • D

    \(A = 4x;A = 12\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

- Đặt phép chia.

- Ta thu được biểu thức rút gọn, ta thay giá trị biến đã biết vào biểu thức rút gọn để tìm được giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Tại \(x = 3\) , ta có: \(A = 4x = 4.3 = 12\)

Câu hỏi 9 :

Xác định \(a\) để đa thức \(27{x^2} + a\) chia hết cho \(3x + 2\)

  • A

    \(a = 6\).

  • B

    \(a = 12\).

  • C

    \(a =  - 12\).

  • D

    \(a = 9\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.

+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết.

Lời giải chi tiết :

Ta có

Suy ra \(27{x^2} + a = \left( {3x + 2} \right)\left( {9x - 6} \right) + a + 12\). Để phép chia trên là phép chia hết thì \(R = a + 12 = 0 \Leftrightarrow a =  - 12\) .

Câu hỏi 10 :

Để đa thức \({x^4} + a{x^2} + 1\) chia hết cho \({x^2} + 2x + 1\) thì giá trị của \(a\) là

  • A

    \(a =  - 2\).

  • B

    \(a = 1\).

  • C

    \(a =  - 1\).

  • D

    \(a = 0\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.

+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết.

Chú ý: \(Ax + B = 0\) với \(\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) .

Lời giải chi tiết :

Ta có

Phần dư của phép chia đa thức \({x^4} + a{x^2} + 1\) chia hết cho\({x^2} + 2x + 1\)  là \(R = \left( { - 2a - 4} \right)x - a - 2\) .

Để phép chia trên là phép chia hết thì \(R = 0 \Leftrightarrow \left( { - 2a - 4} \right)x - a - 2 = 0\) với mọi $x$

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4 = 0\\ - a - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a =  - 2\) .

Câu hỏi 11 :

Có bao nhiêu giá trị của \(a\) để đa thức ${a^2}{x^3} + 3a{x^2}-6x-2a$ chia hết cho đa thức $x + 1$ .

  • A

    \(1\).

  • B

    \(2\).

  • C

     \(0\).

  • D

    Vô số

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.

+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết.

Lời giải chi tiết :

Ta có

Phần dư của phép chia trên là \(R =  - {a^2} + a + 6\) . Để phép chia trên là phép chia hết thì \(R = 0 \Leftrightarrow  - {a^2} + a + 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow  - {a^2} - 2a + 3a + 6 = 0 \)\(\Leftrightarrow  - a\left( {a + 2} \right) + 3\left( {a + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right)\left( { - a + 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 2\\a = 3\end{array} \right.\)

Vậy có hai giá trị của $a$ thỏa mãn điều kiện đề bài $a =  - 2;a = 3$ .

Câu hỏi 12 :

Tìm \(a\) và \(b\) để đa thức \(f\left( x \right) = {x^4} - 9{x^3} + 21{x^2} + ax + b\) chia hết cho đa thức \(g\left( x \right) = {x^2} - x - 2\)

  • A

    \(a =  - 1;\,b = 30\).

  • B

    \(a = 1;\,b = 30\).

  • C

    \(a =  - 1;\,b =  - 30\).

  • D

    \(a = 1;\,b =  - 30\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.

+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết.

Chú ý: \(Ax + B = 0\) với \(\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) .

Lời giải chi tiết :

Ta có

Phần dư của phép chia \(f\left( x \right)\) cho \(g\left( x \right)\) là \(R = \left( {a - 1} \right)x + b + 30\)

Để phép chia trên là phép chia hết thì \(R = 0\) với \(\forall x\) \( \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)x + b + 30 = 0\) với \(\forall x\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\b + 30 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 30\end{array} \right.\) . Vậy \(a = 1;\,b =  - 30\).

Câu hỏi 13 :

Biết đa thức ${x^4} + a{x^2} + b$ chia hết cho ${x^2}-x + 1$ . Khi đó, khẳng định nào sau đây là đúng.

  • A

    \(a < b\)

  • B

    \(a > b\)

  • C

    \(a = b\)

  • D

    \(a = 2b\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.

+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết.

Chú ý: \(Ax + B = 0\) với \(\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) .

Lời giải chi tiết :

Ta có

Phần dư của phép chia là \(R = \left( {a - 1} \right)x + b - a\) . Để phép chia trên là phép chia hết thì $R = 0,\,\forall x \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)x + b - a = 0,\,\forall x$ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\b - a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b\) .

Câu hỏi 14 :

Cho đa thức \(f(x) = {x^4} - 3{{\rm{x}}^3} + 3{{\rm{x}}^2} + {\rm{ax}} + b\) và đa thức \(g(x) = {x^2} - 3{\rm{x}} + 4\). Biết \(f\left( x \right)\) chia hết cho \(g\left( x \right)\) . Khi đó tích \(a.b\) bằng

  • A

    \( - 12\)

  • B

    \(12\)

  • C

    \( - 6\)

  • D

    \( - 8\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.

+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết.

Chú ý: \(Ax + B = 0\) với \(\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) .

Lời giải chi tiết :

Ta có

Phần dư của phép chia $f\left( x \right)$ cho \(g\left( x \right)\) là \(R = \left( {a - 3} \right)x + b + 4\) . Để phép chia trên là phép chia hết thì \(R = 0,\forall x \Leftrightarrow \left( {a - 3} \right)x + b + 4 = 0,\,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3 = 0\\b + 4 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow ab =  - 12\) .

Câu hỏi 15 :

Xác định a để \(\left( {6{x^3} - 7{x^2} - x + a} \right):\left( {2x + 1} \right)\) dư \(2\)

  • A

    \( - 4\)

  • B

    \(2\)     

  • C

    \( - 2\)

  • D

    \(4\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

- Đặt phép chia.

- Để phép chia hết thì số dư cuối cùng phải bằng \(0\), từ đó ta tìm ra \(a\) và \(b\).

Lời giải chi tiết :

Để \(6{x^3} - 7{x^2} - x + a\) chia \(2x + 1\) dư \(2\)  thì \(a - 2 = 2 \Leftrightarrow a = 4\).

Câu hỏi 16 :

Tìm các hằng số \(a\) và \(b\) sao cho \(\left( {{x^3} + ax + b} \right):\left( {x + 1} \right)\) dư 7 và \(\left( {{x^3} + ax + b} \right):\left( {x - 3} \right)\) dư \(\left( { - 5} \right)\)

  • A

    \(a = 10,b = 2\)           

  • B

    \(a = 10,b =  - 2\)        

  • C

    \(a =  - 10,b =  - 2\)

  • D

    \(a =  - 10,b = 2\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

- Đặt phép chia.

- Để phép chia có dư theo điều kiện đề bài thì số dư cuối cùng phải bằng số dư đề bài cho. Từ đó ta được phương trình thứ nhất.

- Thực hiện tương tự, được phương trình thứ hai. Lập hệ phương trình, giải hệ thu được giá trị của a và b.

Lời giải chi tiết :

Để \({x^3} + ax + b\) chia cho \(x + 1\) dư \(7\) thì \(b - a - 1 = 7 \Leftrightarrow  - a + b = 8\;(1)\)

Để \({x^3} + ax + b\) chia cho \(x - 3\) dư \( - 5\) thì \(b + 3a + 27 = -5 \Leftrightarrow 3a + b =  - 32\;(2)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - a + b = 8\\3a + b =  - 32\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 10\\b =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy \(a =  - 10,b =  - 2\).

Câu hỏi 17 :

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) để giá trị của đa thức \(A = 2{x^3} - 3{x^2} + 2x + 2\) chia hết cho giá trị của đa thức \(B = {x^2} + 1\)

  • A

    \(3\)

  • B

    \(4\)

  • C

    \(2\)

  • D

    \(1\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

- Đặt phép chia.

- Để thỏa mãn điều kiện của đề bài thì số dư cuối cùng phải chia hết cho số chia. Suy ra, số chia là ước của số dư cuối cùng.

- Lập bảng thử chọn để chọn ra giá trị của \(n\) thỏa mãn.

Lời giải chi tiết :

Ta có  \(A:B\)

Để giá trị của đa thức \(A = 2{x^3} - 3{x^2} + 2x + 2\) chia hết cho giá trị của đa thức \(B = {x^2} + 1\)  thì \(5\,\, \vdots \,\,\left( {{x^2} + 1} \right)\)

Hay \(\left( {{x^2} + 1} \right) \in U\left( 5 \right) = \left\{ { - 1;1; - 5;5} \right\}\)

+) \({x^2} + 1 =  - 1 \Leftrightarrow {x^2} =  - 2\left( {VL} \right)\)

+) \({x^2} + 1 = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)\)

+) \({x^2} + 1 =  - 5 \Leftrightarrow {x^2} =  - 6\left( {VL} \right)\)

+) \({x^2} + 1 = 5 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x =  \pm 2\left( {tm} \right)\)

Vậy có 3 giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài là \(x = 0;x =  - 2;x = 2.\)

Câu hỏi 18 :

Phần dư của phép chia đa thức \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^5} + {\left( {{x^2} - 4x - 4} \right)^5} - 1\) cho đa thức \(x + 1\) là

  • A

    \(3\)

  • B

    \(2\)

  • C

    \(0\)

  • D

    \(1\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Sử dụng \(P\left( x \right) = Q\left( x \right).\left( {x + 1} \right) + R\)

Thay \(x =  - 1\) vào biểu thức trên ta nhận được phần dư \(r.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có đa thức chia \(\left( {x + 1} \right)\) nên phần dư là một hằng số

Gọi thương là \(Q\left( x \right)\) và dư \(r\). Khi đó với mọi \(x\) ta có \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^5} + {\left( {{x^2} - 4x - 4} \right)^5} - 1 = Q\left( x \right)\left( {x + 1} \right) + r\)      (1)

Thay  \(x =  - 1\) vào  (1) ta được \({\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 3.\left( { - 1} \right) + 2} \right)^5} + {\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} - 4\left( { - 1} \right) - 4} \right)^5} - 1 = Q\left( x \right).\left( { - 1 + 1} \right) + r\)

\(r = {0^5} + {1^5} - 1 \Leftrightarrow r = 0\)

Vậy phần dư của phép chia là \(r = 0.\)

Câu hỏi 19 :

\(P = \dfrac{{2{n^3} - 3{n^2} + 3n - 1}}{{n - 1}}\). Tìm \(n \in Z\) để \(P \in Z\).

  • A

    \(n \in \left\{ {0,2} \right\}\)   

  • B

    \(n \in \left\{ { - 1,1} \right\}\)

  • C

    \(n \in \left\{ { - 1;2} \right\}\)

  • D

    \(n \in \left\{ { - 2,0} \right\}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

- Đặt phép chia.

- Để thỏa mãn điều kiện của đề bài thì số dư cuối cùng phải chia hết cho số chia. Suy ra, số chia là ước của số dư cuối cùng.

- Lập bảng thử chọn để chọn ra giá trị của \(n\)thỏa mãn.

Lời giải chi tiết :

\(2{n^3} - 3{n^2} + 3n - 1 = \left( {2{n^2} - n + 2} \right)\left( {n - 1} \right) + 1\)

Để \(2{n^3} - 3{n^2} + 3n - 1\) chia hết cho \(n - 1\) thì \(1\)  chia hết cho \(n - 1\).

\( \Rightarrow \left( {n - 1} \right) \in \left\{ {1, - 1} \right\}\)

Vậy \(n \in \left\{ {0,2} \right\}\) để \(P \in Z\).