Chọn câu đúng.
-
A
${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
-
B
${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + AB + {B^2}$
-
C
${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + {B^2}$
-
D
${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Ta có ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
Chọn câu sai.
-
A
${\left( {x + y} \right)^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)$.
-
B
${x^2} - {y^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)$.
-
C
${\left( { - x - y} \right)^2} = {\left( { - x} \right)^2} - 2\left( { - x} \right)y + {y^2}$.
-
D
$\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = {y^2} - {x^2}$.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng các công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\), \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) , \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
Ta có
$\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2} \ne {y^2} - {x^2}$ nên câu D sai.
Khai triển \(4{x^2} - 25{y^2}\) theo hằng đẳng thức ta được
-
A
$\left( {4x - 5y} \right)\left( {4x + 5y} \right)$
-
B
$\left( {4x - 25y} \right)\left( {4x + 25y} \right)$
-
C
$\left( {2x - 5y} \right)\left( {2x + 5y} \right)$
-
D
${\left( {2x - 5y} \right)^2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Ta có \(4{x^2} - 25{y^2} = {\left( {2x} \right)^2} - {\left( {5y} \right)^2} = \left( {2x - 5y} \right)\left( {2x + 5y} \right)\)
Khai triển \({\left( {3x - 4y} \right)^2}\) ta được
-
A
$9{x^2} - 24xy + 16{y^2}$
-
B
$9{x^2} - 12xy + 16{y^2}$
-
C
$9{x^2} - 24xy + 4{y^2}$
-
D
$9{x^2} - 6xy + 16{y^2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng công thức bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Ta có \({\left( {3x - 4y} \right)^2} \)\(= {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.4y + {\left( {4y} \right)^2} \)\(= 9{x^2} - 24xy + 16{y^2}\)
Biểu thức \(\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1\) bằng
-
A
${\left( {\dfrac{1}{4}xy + 1} \right)^2}$
-
B
${\left( {\dfrac{1}{2}xy + 1} \right)^2}$
-
C
${\left( {xy - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
-
D
${\left( {\dfrac{1}{2}xy - 1} \right)^2}$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Sử dụng công thức bình phương của một tổng \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
Ta có \(\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1 = {\left( {\dfrac{1}{2}xy} \right)^2} + 2.\dfrac{1}{2}xy + {1^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}xy + 1} \right)^2}\)
Chọn câu đúng.
-
A
${\left( {c + d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - a + b} \right)$.
-
B
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c - d + a + b} \right)\left( {c - d - a + b} \right)$.
-
C
$\left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b - c + d} \right) = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {c - d} \right)^2}$.
-
D
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - a - b} \right)$.
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng công thức hiệu hai bình phương \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
Ta có ${\left( {c + d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - \left( {a + b} \right)} \right) = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - a - b} \right)$ nên A sai.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c - d + a + b} \right)\left[ {c - d - \left( {a + b} \right)} \right] = \left( {c - d + a + b} \right)\left( {c - d - a - b} \right)$ nên B sai.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - \left( {a - b} \right)} \right) = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - a + b} \right)$ nên D sai.
$\left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b - c + d} \right) = \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {c - d} \right)} \right]\left[ {\left( {a + b} \right) - \left( {c - d} \right)} \right] = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {c - d} \right)^2}$
Nên C đúng.
Rút gọn biểu thức \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\) ta được
-
A
$ - 15x + 1$
-
B
$1$
-
C
$15x + 1$
-
D
$ - 1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng công thức bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn.
Ta có \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\)\( = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.1 + 1 - \left( {9x.x + 9x} \right) = 9{x^2} - 6x + 1 - 9{x^2} - 9x \)
\(= - 15x + 1\)
Rút gọn biểu thức $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$ ta được
-
A
$0$
-
B
$1$
-
C
$19$
-
D
$ - 19$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng công thức bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn.
Ta có $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$\( = 2{a^2} + 2a - 3a - 3 - \left( {{a^2} - 8a + 16} \right) - \left( {{a^2} + 7a} \right)\)
\( = 2{a^2} + 2a - 3a - 3 - {a^2} + 8a - 16 - {a^2} - 7a\) \( = - 19\)
Cho $C = \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}$ và \(D = \dfrac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\) . Tìm mối quan hệ giữa \(C\) và \(D\)
-
A
\(D = 14C + 1\)
-
B
\(D = 14C\)
-
C
\(D = 14C - 1\)
-
D
\(D = 14C - 2\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng các công thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) rồi rút gọn.
Ta có $C = \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}$\( = \dfrac{{{x^2} + 2.x.5 + {5^2} + {x^2} - 2.x.5 + {5^2}}}{{{x^2} + 25}}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 10x + 25 + {x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} + 25}}\)
\( = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 25} \right)}}{{{x^2} + 25}} = 2\)
\(D = \dfrac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\)\( = \dfrac{{4{x^2} + 2.2x.5 + {5^2} + 25{x^2} - 2.5x.2 + {2^2}}}{{{x^2} + 1}}\)\( = \dfrac{{29{x^2} + 29}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{29\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 29\)
Vậy $D=29;C=2$ suy ra \(D = 14C + 1\) (do $29=14.2+1$).
Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {5x - 5} \right)^2} = 0\)
-
A
$0$
-
B
$1$
-
C
$2$
-
D
$3$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng công thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để đưa về dạng tìm \(x\) thường gặp
Ta có \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {5x - 5} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2x - 1 + 5x - 5} \right)\left( {2x - 1 - 5x + 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {7x - 6} \right)\left( {4 - 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x - 6 = 0\\4 - 3x = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{7}\\x = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)
Vậy có hai giá trị của \(x\) thỏa mãn yêu cầu.
Tìm \(x\) biết $\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9$.
-
A
$x = - 9$
-
B
$x = 9$
-
C
$x = 1$
-
D
$x = - 6$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) , \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\) để đưa về dạng tìm \(x\) đã biết.
Ta có $\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9$\( \Leftrightarrow {x^2} - 36 - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 9 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} - 36 - {x^2} - 6x - 9 - 9 = 0\)
\( \Leftrightarrow - 6x - 54 = 0\)\( \Leftrightarrow 6x = - 54 \)\(\Leftrightarrow x = - 9.\)
Vậy \(x = - 9.\)
So sánh \(A = 2016.2018.a\) và \(B = {2017^2}.a\) (với $a > 0$)
-
A
$A = B$
-
B
$A < B$
-
C
$A > B$
-
D
$A \ge B$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Biến đổi \(A\) để sử dụng công thức \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\)
Sau đó so sánh \(A\) và \(B\) .
Ta có \(A = 2016.2018.a\)\( = \left( {2017 - 1} \right)\left( {2017 + 1} \right)a = \left( {{{2017}^2} - 1} \right)a\)
Vì \({2017^2} - 1 < {2017^2}\) và \(a > 0\) nên \(\left( {{{2017}^2} - 1} \right)a < {2017^2}a\) hay $A < B$ .
So sánh \(M = {2^{32}}\) và \(N = \left( {2 + 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)
-
A
$M > N$
-
B
$M < N$
-
C
$M = N$
-
D
$M = N - 1$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Biến đổi \(N\) để sử dụng công thức \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\)
Sau đó so sánh \(M\) và \(N\) .
Ta có \(N = \left( {2 + 1} \right)\)\(\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\)\(\left( {{2^8} + 1} \right)\)\(\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)\( = 3\left( {{2^2} + 1} \right)\)\(\left( {{2^4} + 1} \right)\)\(\left( {{2^8} + 1} \right)\)\(\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)
\( = \left[ {\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)} \right]\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)\( = \left( {{2^4} - 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\)\(\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)\( = \left( {{2^8} - 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)
\( = \left( {{2^{16}} - 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right) = {\left( {{2^{16}}} \right)^2} - 1 = {2^{32}} - 1\) mà \({2^{32}} - 1 < {2^{32}} \Rightarrow N < M\)
Cho \(P = - 4{x^2} + 4x - 2\). Chọn khẳng định đúng.
-
A
$P \le - 1$
-
B
$P > - 1$
-
C
$P > 0$
-
D
$P \le - 2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Biến đổi \(P\) về dạng \(m - {\left( {A - B} \right)^2}\) rồi đánh giá \(m - {\left( {A - B} \right)^2} \le m\)
Ta có \(P = - 4{x^2} + 4x - 2 \)\(= - 4{x^2} + 4x - 1 - 1 \)\(= - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) - 1\)\( = - 1 - {\left( {2x - 1} \right)^2}\)
Nhận thấy \( - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le 0\)\( \Rightarrow - 1 - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le - 1,\,\forall x\) hay \(P \le - 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = 8 - 8x - {x^2}\)
-
A
$8$
-
B
$11$
-
C
$ - 4$
-
D
$24$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Biến đổi \(Q\) về dạng \(m - {\left( {A + B} \right)^2}\) rồi đánh giá \(m - {\left( {A + B} \right)^2} \le m.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(A = - B\)
Giá trị lớn nhất của \(Q\) là \(m\) khi \(A = - B\)
Ta có \(Q = 8 - 8x - {x^2}\)\( = - {x^2} - 8x - 16 + 16 + 8 \)\(= - {\left( {x + 4} \right)^2} + 24 \) \(= 24 - {\left( {x + 4} \right)^2}\)
Nhận thấy \({\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0;\,\forall x \)\(\Rightarrow 24 - {\left( {x + 4} \right)^2} \le 24.\)
Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x + 4} \right)^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow x = - 4\)
Giá trị lớn nhất của \(Q\) là \(24\) khi \(x = - 4.\)
Biểu thức \(E = {x^2} - 20x + 101\) đạt giá trị nhỏ nhất khi
-
A
$x = 9$
-
B
$x = 10$
-
C
$x = 11$
-
D
$x = 12$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Biến đổi \(E\) về dạng \({\left( {A - B} \right)^2} + m\) rồi đánh giá \({\left( {A - B} \right)^2} + m \ge m\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\)
Giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \(m\) khi \(A = B\)
Ta có \(E = {x^2} - 20x + 101 = {x^2} - 2.x.10 + 100 + 1 = {\left( {x - 10} \right)^2} + 1\)
Vì \({\left( {x - 10} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\)\( \Rightarrow {\left( {x - 10} \right)^2} + 1 \ge 1.\)
Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x - 10} \right)^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow x - 10 = 0 \Leftrightarrow x = 10\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \(1\) khi \(x = 10.\)
Biểu thức \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\) có giá trị nhỏ nhất là
-
A
$6$
-
B
$1$
-
C
$ - 7$
-
D
$7$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Biến đổi \(K\) về dạng \({\left( {A - B} \right)^2} + {\left( {C - D} \right)^2} + m\) rồi đánh giá \({\left( {A - B} \right)^2} + {\left( {C - D} \right)^2} + m \ge m.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\) và \(C = D.\)
Giá trị nhỏ nhất của \(K\) là \(m\) khi \(A = B\) và \(C = D.\)
Ta có \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\)\( = {x^2} - 2.x.3 + 9 + {y^2} - 2.y.2 + 4 - 7\)\( = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7\)
Vì \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0;\,\forall x;\,y\) nên \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7 \ge - 7\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \( - 7\) khi \(x = 3;y = 2\) .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(I = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\) là
-
A
$4$
-
B
$5$
-
C
$3$
-
D
$2$
Đáp án của giáo viên lời giải hay : B
Biến đổi \(I\) về dạng \({\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m\) rồi đánh giá \({\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m \ge m.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(A = - B\) và \(C = - D\).
Giá trị nhỏ nhất của \(I\) là \(m\) khi \(A = - B\) và \(C = - D.\)
Ta có \(C = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\)\( = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5 + 1} \right) + 3\)\( = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) + 3\)
\( = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 4\)\( = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4\)
Ta có \({x^2} + 4x + 5 = {x^2} + 4x + 4 + 1 \)\(= {\left( {x + 2} \right)^2} + 1 \ge 1;\,\forall x\) nên \({\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} \ge 1;\,\forall x\)
Và \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\) nên \({\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4\)\( \ge 1 + 4\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4 \ge 5\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 5 = 1\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = - 2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(I\) là \(5\) khi \(x = - 2.\)
Biểu thức \({\left( {a + b + c} \right)^2}\) bằng
-
A
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\)
-
B
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + bc + ac + 2ab\)
-
C
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + ac + bc\)
-
D
\({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2\left( {ab + ac + bc} \right)\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : A
Sử dụng hẳng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2}\)\( = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^2}\)\( = {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right).c + {c^2}\)
\( = {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2}\) \( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\) .
Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\) tại \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
A
\(A = 36{x^2} + 4\) và \(A = 8\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
B
\(A = 36{x^2} + 4\) và \(A = 0\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
C
\(A = 18{x^2} - 4\) và \(A = \dfrac{1}{2}\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
D
\(A = 36{x^2} - 4\) và \(A = 0\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Sử dụng các hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2};{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) để rút gọn A
Thay \(x = - \dfrac{1}{3}\) vào biểu thức đã rút gọn để tính toán
Ta có \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\)
\( = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.2 + {2^2} + {\left( {3x} \right)^2} + 2.3x.2 + {2^2} + 18{x^2} - 12\)
\( = 9{x^2} - 12x + 4 + 9{x^2} + 12x + 4 + 18{x^2} - 12\)
\( = 36{x^2} - 4\)
Vậy \(A = 36{x^2} - 4\)
Thay \(x = - \dfrac{1}{3}\) vào \(A = 36{x^2} - 4\) ta được \(A = 36{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} - 4 = 36.\dfrac{1}{9} - 4 = 0\)
Cho \(M = {77^2} + {75^2} + {73^2} + ... + {3^2} + {1^2}\) và \(N = {76^2} + {74^2} + {72^2} + ... + {2^2}\)
Tính giá trị của biểu thức \(\dfrac{{M - N - 3}}{{3000}}\)
-
A
\(10\)
-
B
\(30\)
-
C
\(1\)
-
D
\(100\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Xét hiệu \(M - N\) rồi sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
Sử dụng tổng \(m\) số tự nhiên \(1,2,3,...,m\) là \(\dfrac{{\left( {m + 1} \right)m}}{2}\)
Xét \(M - N = {77^2} + {75^2} + {73^2} + ... + {3^2} + {1^2} - \left( {{{76}^2} + {{74}^2} + {{72}^2} + ... + {2^2}} \right)\)
\( = \left( {{{77}^2} - {{76}^2}} \right) + \left( {{{75}^2} - {{74}^2}} \right) + \left( {{{73}^2} - {{71}^2}} \right) + ... + \left( {{3^2} - {2^2}} \right) + {1^2}\)
\( = \left( {77 + 76} \right)\left( {77 - 76} \right) + \left( {75 + 74} \right)\left( {75 - 74} \right) + ... + \left( {3 + 2} \right)\left( {3 - 2} \right) + 1\)
\( = \left( {77 + 76} \right).1 + \left( {75 + 74} \right).1 + ... + \left( {3 + 2} \right).1 + 1\)
\( = 77 + 76 + 75 + 74 + 73 + ... + 3 + 2 + 1\)
\( = \dfrac{{77 + 1}}{2}.77 = 3003\)
Từ đó \(\dfrac{{M - N - 3}}{{3000}} = \dfrac{{3003 - 3}}{{3000}} = \dfrac{{3000}}{{3000}} = 1\)
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ac} \right)\). Khi đó
-
A
\(a = - b = - c\)
-
B
\(a = b = \dfrac{c}{2}\)
-
C
\(a = 2b = 3c\)
-
D
\(a = b = c\)
Đáp án của giáo viên lời giải hay : D
Biến đổi để sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc,\)\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Sử dụng \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,\forall a,b\) và \({A^2} + {B^2} \ge 0;\,\forall A,B\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = B = 0\)
Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ac} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc = 3ab + 3ac + 3bc\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {a^2}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} = 0\)
Lại thấy \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\)
Nên \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {a - c} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\a = c\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\)
Nhà bạn Minh và bạn An cùng trồng bắp cải trên hai mảnh vườn hình vuông khác nhau. Các cây bắp cải được cách đều nhau. Do vườn nhà bạn Minh lớn hơn nên số cây bắp cải trồng được lớn hơn vườn nhà bạn An là \(211\) cây. Hỏi nhà bạn Minh đã trồng bao nhiêu cây bắp cải?
-
A
\(106\) cây
-
B
\(11025\) cây
-
C
\(11236\) cây
-
D
\(105\) cây
Đáp án của giáo viên lời giải hay : C
Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\)
Và số nguyên tố là số có 2 ước là 1 và chính nó.
Gọi số cây bắp cải trồng trên mỗi cạnh của vườn hình vuông nhà bạn Minh là \(y\) cây \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Và số cây bắp cải trồng trên mỗi cạnh của vườn hình vuông nhà bạn An là \(x\) cây \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Suy ra số cây bắp cải trồng được trên vườn nhà Minh là \({y^2}\) cây
Số cây bắp cải trồng trên vườn nhà An là \({x^2}\) cây
Theo bài ra ta có \({y^2} - {x^2} = 211\) \( \Leftrightarrow \left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 211\)
Mà \(211\) là số nguyên tố và \(y - x < y + x\) nên ta có \(\left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 1.211\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 1\,\,\,\left( 1 \right)\\y + x = 211\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Từ (1) suy ra \(y = x + 1\), thay xuống (2) ta được \(x + 1 + x = 211 \Leftrightarrow 2x = 210 \Leftrightarrow x = 105\)
Suy ra \(y = 105 + 1 = 105 + 1 = 106\)
Vậy số cây bắp cải vườn nhà bạn Minh trồng là \({106^2} = 11236\) cây.