Câu hỏi 1 :

Phân tích đa thức \({x^3}{y^3} + 6{x^2}{y^2} + 12xy + 8\) thành nhân tử ta được

  • A

    \({\left( {xy + 2} \right)^3}\).

  • B

    \({\left( {xy + 8} \right)^3}\).

  • C

    \({x^3}{y^3} + 8\).

  • D

    \({\left( {{x^3}{y^3} + 2} \right)^3}\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức

\({\left( {A + B} \right)^3} \)\(= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có \({x^3}{y^3} + 6{x^2}{y^2} + 12xy + 8\)\( = {\left( {xy} \right)^3} + 3{\left( {xy} \right)^2}.2 + 3.xy{.2^2} + {2^3} = {\left( {xy + 2} \right)^3}\)

Câu hỏi 2 :

Chọn câu đúng.

  • A

    ${(5{\rm{x}} - 4)^2} - 49{{\rm{x}}^2} =  - 8\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)$.                               

  • B

    \({(5{\rm{x}} - 4)^2} - 49{{\rm{x}}^2} = \left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\).         

  • C

    \({(5{\rm{x}} - 4)^2} - 49{{\rm{x}}^2} =  - 8\left( {3x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\).

  • D

    \({(5{\rm{x}} - 4)^2} - 49{{\rm{x}}^2} =  - 8\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có \({(5x - 4)^2} - 49{x^2} \)\(= {\left( {5x - 4} \right)^2} - {\left( {7x} \right)^2} \)\(= \left( {5x - 4 + 7x} \right)\left( {5x - 4 - 7x} \right)\)\( = \left( {12x - 4} \right)\left( { - 2x - 4} \right) \)\(= 4.\left( {3x - 1} \right).\left( { - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \)\(=  - 8\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)

Câu hỏi 3 :

Chọn câu sai.

  • A

    $4{x^2} + 4x + 1 = {\left( {2x + 1} \right)^2}$.      

  • B

    \(9{x^2} - 24xy + 16{y^2} = {\left( {3x - 4y} \right)^2}\).

  • C

    $\dfrac{{{x^2}}}{4} + 2xy + 4{y^2} = {\left( {\dfrac{x}{2} + 2y} \right)^2}$.

  • D

    $\dfrac{{{x^2}}}{4} + 2xy + 4{y^2} = {\left( {\dfrac{x}{4} + 2y} \right)^2}$.

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} + 2AB + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2};\,{A^2} - 2AB + {B^2} = {\left( {A - B} \right)^2}\) để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

+) $4{x^2} + 4x + 1 = {\left( {2x} \right)^2} + 2.2x.1 + {1^2} = {\left( {2x + 1} \right)^2}$ nên A đúng.

+) \(9{x^2} - 24xy + 16{y^2} \)\(= {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.4y + {\left( {4y} \right)^2} \)\(= {\left( {3x - 4y} \right)^2}\) nên B đúng.

+) $\dfrac{{{x^2}}}{4} + 2xy + 4{y^2} $$= {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^2} + 2.\dfrac{x}{2}.y + {y^2} $$= {\left( {\dfrac{x}{2} + 2y} \right)^2}$ nên C đúng, D sai.

Câu hỏi 4 :

Cho \(8{x^3} - 64 = \left( {2x - 4} \right)\left( {...} \right)\) . Biểu thức thích hợp điền vào dấu \(...\) là

  • A

    \(2{x^2} + 8x + 8\).

  • B

     \(2{x^2} + 8x + 16\).

  • C

     \(4{x^2} - 8x + 16\).

  • D

    \(4{x^2} + 8x + 16\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(8{x^3} - 64 = {\left( {2x} \right)^3} - {4^3} = \left( {2x - 4} \right)\left( {4{x^2} + 8x + 16} \right)\)

Câu hỏi 5 :

Phân tích đa thức \(\dfrac{{{x^3}}}{8} + 8{y^3}\) thành nhân tử , ta được

  • A

    \(\left( {\dfrac{x}{2} + 2y} \right)\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + xy + 2{y^2}} \right)\).         

  • B

    \(\left( {\dfrac{x}{2} + 2y} \right)\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} - xy + 4{y^2}} \right)\).

  • C

    \(\left( {\dfrac{x}{2} + 2y} \right)\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - xy + 4{y^2}} \right)\).

  • D

    \(\left( {\dfrac{x}{2} + 2y} \right)\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} - 2xy + 4{y^2}} \right)\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức

\({A^3} + {B^3} \)\(= \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\dfrac{{{x^3}}}{8} + 8{y^3} = {\left( {\dfrac{x}{2}} \right)^3} + {\left( {2y} \right)^3} = \left( {\dfrac{x}{2} + 2y} \right)\left[ {{{\left( {\dfrac{x}{2}} \right)}^2} - \dfrac{x}{2}.2y + {{\left( {2y} \right)}^2}} \right]\)\( = \left( {\dfrac{x}{2} + 2y} \right)\left( {\dfrac{{{x^2}}}{4} - xy + 4{y^2}} \right)\)

Câu hỏi 6 :

Giá trị của \(x\) thỏa mãn \(5{x^2} - 10x + 5 = 0\) là

  • A

     \(x = 1\).

  • B

    \(x =  - 1\).

  • C

     \(x = 2\).

  • D

    \(x = 5\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

+ Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - 2AB + {B^2} = {\left( {A - B} \right)^2}\) để phân tích đa thức thành nhân tử.

+ Từ đó đưa về dạng \({A^2} = 0 \Leftrightarrow A = 0\)

Lời giải chi tiết :

Ta có  \(5{x^2} - 10x + 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow 5\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 5{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \)

\(\Leftrightarrow x - 1 = 0 \)

\(\Leftrightarrow x = 1\)

Vậy \(x = 1.\) 

Câu hỏi 7 :

Cho \({\left( {4{x^2} + 4x - 3} \right)^2} - {\left( {4{x^2} + 4x + 3} \right)^2} = m.x\left( {x + 1} \right)\)với \(m \in \mathbb{R}\)  . Chọn câu đúng về giá trị của \(m\) .

  • A

    \(m > 47\).

  • B

    \(m < 0\).

  • C

    \(m \vdots 9\).

  • D

    \(m\) là số nguyên tố.

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có \({\left( {4{x^2} + 4x - 3} \right)^2} - {\left( {4{x^2} + 4x + 3} \right)^2} = \left( {4{x^2} + 4x - 3 + 4{x^2} + 4x + 3} \right)\left( {4{x^2} + 4x - 3 - 4{x^2} - 4x - 3} \right)\)

\( = \left( {8{x^2} + 8x} \right).\left( { - 6} \right) \)\(= 8.x\left( {x + 1} \right).\left( { - 6} \right) \)

\(=  - 48x\left( {x + 1} \right)\) nên \(m =  - 48 < 0\)

Câu hỏi 8 :

Cho \({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} \)\(= A.y\left( {B{x^2} + C{y^2}} \right)\), biết $A,\,B,C$ là các số nguyên. Khi đó \(A + B + C\) bằng

  • A

    \(4\).

  • B

    \(5\).

  • C

     \(6\).

  • D

    \(7\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức

\({A^3} - {B^3} \)\(= \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.

Sau đó sử dụng các hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right);\,{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2},\) \(\,{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) để biến đổi.

Lời giải chi tiết :

Ta có \({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} \)\(= \left[ {x + y - \left( {x - y} \right)} \right]\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + {{\left( {x - y} \right)}^2}} \right]\)

\( = \left( {x + y - x + y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} + {x^2} - {y^2} + {x^2} - 2xy + {y^2}} \right)\)\( = 2y\left( {3{x^2} + {y^2}} \right) \Rightarrow A = 2;\,B = 3;\,C = 1\)

Suy ra \(A + B + C = 2 + 3 + 1 = 6\) .

Câu hỏi 9 :

Cho \({\left( {4{x^2} + 2x - 18} \right)^2} - {\left( {4{x^2} + 2x} \right)^2} = m.\left( {4{x^2} + 2x - 9} \right).\) Khi đó giá trị của \(m\) là

  • A

    \(m =  - 18\).

  • B

    \(m = 36\).

  • C

    \(m =  - 36\).

  • D

    \(m = 18\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có \({\left( {4{x^2} + 2x - 18} \right)^2} - {\left( {4{x^2} + 2x} \right)^2} = \left( {4{x^2} + 2x - 18 + 4{x^2} + 2x} \right)\left( {4{x^2} + 2x - 18 - 4{x^2} - 2x} \right)\)

\( = \left( {8{x^2} + 4x - 18} \right)\left( { - 18} \right) = 2\left( {4{x^2} + 2x - 9} \right)\left( { - 18} \right)\)\( = \left( { - 36} \right)\left( {4{x^2} + 2x - 18} \right) \)\(\Rightarrow m =  - 36\)

Câu hỏi 10 :

Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn \({\left( {2x - 5} \right)^2} - 4{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\) ?

  • A

    \(2\).

  • B

    \(1\).

  • C

    \(0\).

  • D

    \(4\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.

+ Từ đó đưa về dạng \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \({\left( {2x - 5} \right)^2} - 4{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {2x - 5} \right)^2} - {\left[ {2\left( {x - 2} \right)} \right]^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow {\left( {2x - 5} \right)^2} - {\left( {2x - 4} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x - 5 + 2x - 4} \right)\left( {2x - 5 - 2x + 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {4x - 9} \right).\left( { - 1} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow  - 4x + 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow 4x = 9 \)

\(\Leftrightarrow x = \dfrac{9}{4}\)

Vậy $x = \dfrac{9}{4}$ .

Câu hỏi 11 :

Gọi \({x_1};\,{x_2};{x_3}\) là các giá trị thỏa mãn \(4{\left( {3x - 5} \right)^2} - 9{\left( {9{x^2} - 25} \right)^2} = 0.\) Khi đó \({x_1} + {x_2} + {x_3}\) bằng

  • A

    \( - 3\).

  • B

    \( - \dfrac{3}{5}\).

  • C

    \( - \dfrac{5}{3}\).

  • D

    \( - \dfrac{5}{9}\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.

+ Từ đó đưa về dạng \(A.B.C = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\\C = 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(4{\left( {3x - 5} \right)^2} - 9{\left( {9{x^2} - 25} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow 4.{\left( {3x - 5} \right)^2} - 9{\left[ {{{\left( {3x} \right)}^2} - {5^2}} \right]^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 4{\left( {3x - 5} \right)^2} - 9{\left[ {\left( {3x - 5} \right)\left( {3x + 5} \right)} \right]^2} = 0\)\( \Leftrightarrow 4{\left( {3x - 5} \right)^2} - 9{\left( {3x - 5} \right)^2}{\left( {3x + 5} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3x - 5} \right)^2}\left[ {4 - 9{{\left( {3x + 5} \right)}^2}} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {3x - 5} \right)^2}\left[ {4 - {{\left( {3\left( {3x + 5} \right)} \right)}^2}} \right] = 0 \Leftrightarrow {\left( {3x - 5} \right)^2}\left( {{2^2} - {{\left( {9x + 15} \right)}^2}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3x - 5} \right)^2}\left( {2 + 9x + 15} \right)\left( {2 - 9x - 15} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {3x - 5} \right)^2}\left( {9x + 17} \right)\left( { - 9x - 13} \right) = 0\)

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - 5 = 0\\9x + 17 = 0\\ - 9x - 13 = 0\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{3}\\x =  - \dfrac{{17}}{9}\\x =  - \dfrac{{13}}{9}\end{array} \right.\) suy ra \({x_1} + {x_2} + {x_3} = \dfrac{5}{3} + \dfrac{{ - 17}}{9} + \dfrac{{ - 13}}{9} \)\(=  - \dfrac{5}{3}\) .

Câu hỏi 12 :

Cho \(x + n = 2\left( {y - m} \right),\)

khi đó  giá trị của biểu thức \(A = {x^2} - 4xy + 4{y^2} - 4{m^2} - 4mn - {n^2}\) bằng

  • A

    \(A = 1\).

  • B

    \(A = 0\).

  • C

    \(A = 2\).

  • D

    Chưa đủ dữ kiện để tính.

Đáp án của giáo viên lời giải hay : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng các hằng đẳng thức \({A^2} - 2AB + {B^2} = {\left( {A - B} \right)^2}\); \({A^2} + 2AB + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2}\)để biến đổi.

+ Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.

+ Sử dụng giả thiết \(x + n = 2\left( {y - m} \right)\) để tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(A = {x^2} - 4xy + 4{y^2} - 4{m^2} - 4mn - {n^2}\)\( = {x^2} - 2x.2y + {\left( {2y} \right)^2} - \left( {4{m^2} + 4mn + {n^2}} \right)\)

\( = {\left( {x - 2y} \right)^2} - {\left( {2m + n} \right)^2}\)\( = \left( {x - 2y + 2m + n} \right)\left( {x - 2y - 2m - n} \right)\)

Ta có \(x + n = 2\left( {y - m} \right) \)\(\Leftrightarrow x + n = 2y - 2m \)\(\Leftrightarrow x - 2y + n + 2m = 0\)

Thay \(x - 2y + n + 2m = 0\) vào \(A\) ta được \(A = 0.\left( {x - 2y - 2m - n} \right) = 0\) .

Vậy \(A = 0\) .

Câu hỏi 13 :

Cho \(9{a^2} - {\left( {a - 3b} \right)^2} \)\(= \left( {m.a + n.b} \right)\left( {4a - 3b} \right)\) với \(m,\,n \in \mathbb{R}\) . Khi đó, giá trị của \(m\) và \(n\) là

  • A

    \(m =  - 2;\,n =  - 3\).

  • B

    \(m = 3;\,n = 2\).

  • C

    \(m = 3;\,n =  - 4\).    

  • D

    \(m = 2;\,n = 3\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : D

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(9{a^2} - {\left( {a - 3b} \right)^2} = {\left( {3a} \right)^2} - {\left( {a - 3b} \right)^2} = \left( {3a + a - 3b} \right)\left( {3a - a + 3b} \right) = \left( {4a - 3b} \right)\left( {2a + 3b} \right)\)

Suy ra \(m = 2;\,n = 3\) .

Câu hỏi 14 :

Đa thức \(4{b^2}{c^2} - {\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)^2}\)  được phân tích thành

  • A

    \(\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {a - b + c} \right).\)                        

  • B

    \(\left( {b + c + a} \right)\left( {b - c - a} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {a - b + c} \right)\).

  • C

    \(\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right){\left( {a + b - c} \right)^2}\).

  • D

    \(\left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {a - b - c} \right)\).

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(4{b^2}{c^2} - {\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)^2}\)\( = {\left( {2bc} \right)^2} - {\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)^2}\)\( = \left( {2bc + {c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)\left( {2bc - {c^2} - {b^2} + {a^2}} \right)\)

\( = \left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{a^2} - \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)} \right]\)\( = \left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{a^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]\)

\( = \left( {b + c + a} \right)\left( {b + c - a} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {a - b + c} \right).\)

Câu hỏi 15 :

Tính giá trị biểu thức \(P = {x^3} - 3{x^2} + 3x\) với \(x = 101\).

  • A

    \({100^3} + 1\)

  • B

    \({100^3} - 1\)

  • C

    \({100^3}\)

  • D

    \({101^3}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Thêm bớt để xuất hiện hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)

Từ đó thay \(x = 101\) vào \(P\)  để tính toán.

Lời giải chi tiết :

Ta có \(P = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 1 = {\left( {x - 1} \right)^3} + 1\)

Thay \(x = 101\) vào \(P\) ta được \(P = {\left( {101 - 1} \right)^3} + 1 = {100^3} + 1\)

Câu hỏi 16 :

Hiệu bình phương hai số lẻ liên tiếp thì luôn chia hết cho

  • A

    \(8\)

  • B

    \(9\)     

  • C

    \(10\)

  • D

    Cả A, B, C đều sai

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Sử dụng  hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2};\,{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

Lời giải chi tiết :

Gọi hai số lẻ liên tiếp là \(2k - 1;2k + 1\,\,\,\left( {k \in {N^*}} \right)\)

Theo bài ra ta có \({\left( {2k + 1} \right)^2} - {\left( {2k - 1} \right)^2} = 4{k^2} + 4k + 1 - 4{k^2} + 4k - 1 = 8k\, \vdots \,\,8\)

Câu hỏi 17 :

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({x^2} + 102 = {y^2}.\)

  • A

    \(0\)

  • B

    \(1\)     

  • C

    \(2\)

  • D

    \(3\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : A

Phương pháp giải :

Sử dụng  hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2};\,{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \({x^2} + 102 = {y^2} \Leftrightarrow {y^2} - {x^2} = 102\)

Nhận thấy hiệu hai bình phương là một số chẵn nên \(x,y\) cùng là số chẵn hoặc cùng là số lẻ.

Suy ra \(y - x;y + x\) luôn là số chẵn.

Lại có \({y^2} - {x^2} = 102 \Leftrightarrow \left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 102\) mà \(\left( {y - x} \right)\) và \(\left( {y + x} \right)\) cùng là số chẵn.

Suy ra \(\left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right)\) chia hết cho \(4\) mà \(102\) không chia hết cho \(4\) nên không tồn tại cặp số \(x;y\) thỏa mãn đề bài.

Câu hỏi 18 :

Cho \(x + y = a + b;\,{x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2}.\) Với \(n \in {\mathbb{N}^*}\), chọn câu đúng.

  • A

    \({x^n} + {y^n} = {a^n} - {b^n}\)

  • B

    \({x^n} + {y^n} = 2\left( {{a^n} + {b^n}} \right)\)

  • C

    \({x^n} + {y^n} = {a^n} + {b^n}\)

  • D

    \({x^n} + {y^n} = \dfrac{{{a^n} + {b^n}}}{2}\)

Đáp án của giáo viên lời giải hay : C

Phương pháp giải :

Dùng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để biến đổi giả thiết và lập luận để có \(x = a;y = b\) hoặc \(x = b;y = a\). Từ đó suy ra hệ thức đúng.

Lời giải chi tiết :

Ta có \({x^2} + {y^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow {x^2} - {a^2} = {b^2} - {y^2}\)\( \Leftrightarrow \left( {x - a} \right)\left( {x + a} \right) = \left( {b - y} \right)\left( {b + y} \right)\)

Mà \(x + y = a + b \Leftrightarrow x - a = b - y\) nên ta có \(\left( {x - a} \right)\left( {x + a} \right) = \left( {x - a} \right)\left( {b + y} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - a} \right)\left( {x + a} \right) - \left( {x - a} \right)\left( {b + y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - a} \right)\left( {x + a - b - y} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - a = 0\\x + a - b - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a\\x - y = b - a\end{array} \right.\end{array}\)

+ Với \(x = a\) mà \(x + y = a + b \Rightarrow a + y = a + b \Rightarrow y = b\). Từ đó ta có \({x^n} + {y^n} = {a^n} + {b^n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

+ Với \(x - y = b - a\), lại có \(x + y = a + b\)  nên cộng vế với vế ta được \(2x = 2b \Leftrightarrow x = b \Rightarrow y = a\)

Từ đó ta có \({x^n} + {y^n} = {a^n} + {b^n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy \({x^n} + {y^n} = {a^n} + {b^n}\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).