Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A. Một đường thẳng d cắt hai cạnh AB, AC theo thứ tự tại các điểm D và E. Gọi I, J, K, H lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DE, BE, BC, DC. Chứng minh IHKJ là hình bình chữ nhật.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Lời giải chi tiết
Vì I, J, K, H lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng DE, BE, BC, DC
Nên ta có IJ là đườngg trung bifnhh của \(\Delta BED\)
\( \Rightarrow IJ// BD\) và \({\rm{IJ}} = \dfrac{1 }{2}BD\) (1)
Và KH là đường trung bình của \(\Delta BCD\)
\( \Rightarrow HK//BD\) và \(HK = \dfrac{1}{2}BD\) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow IHKJ\) là hình bình hành (hai cạnh đối song song và bằng nhau).
Tương tự ta có IH và JK lần lượt là các đường trung bình của các tam giác CDE và CBE nên IH và JK \(\left( {//AC} \right).\)
Theo giả thiết \(AB \bot AC \Rightarrow {\rm{IJ}} \bot IH\) hay \(\widehat {JIH} = {90^ \circ }\)
Vậy IHKJ là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông).
soanvan.me