Đề bài
Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là :\( - 2;0;2;4;6;....\)Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng ?
A. \({u_n} = - 2n\)
B. \({u_n} = ( - 2)(n + 1)\)
C. \({u_n} = ( - 2) + n\)
D. \({u_n} = ( - 2) + 2(n - 1)\)
Câu 2: Cho cấp số nhân \(({u_n})\)có công bội q. Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:
A. \({u_k} = \sqrt {{u_{k + 1}}.{u_{k + 2}}} \)
B. \({u_k} = \dfrac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\)
C. \({u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}}\)
D. \({u_k} = {u_1} + (k - 1)q\)
Câu 3: Cho cấp số cộng \(({u_n})\)có \({u_2} + {u_3} = 20,{u_5} + {u_7} = - 29\). Tìm \({u_1},d\)?
A. \({u_1} = 20;d = 7\)
B. \({u_1} = 20,5\,;d = - 7\)
C. \({u_1} = 20,5\,;d = 7\)
D.\({u_1} = - 20,5;d = - 7\)
Câu 4: Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1} = 1}\\{{u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3,\forall n \ge 2}\end{array}} \right.\). Viết năm số hạng đầu của dãy ?
A. 1;5;13;28;61
B. 1;5;13;29;61
C. 1;5;17;29;61
D. 1;5;14;29;61
Câu 5: Xét xem dãy số \(({u_n})\)với \({u_n} = 3n - 1\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định công bội.
A. \(q = 3\) B. \(q = 2\)
C. \(q = 4\) D. \(q = \emptyset \)
Câu 6: Cho dãy số\(\left( {{y_n}} \right)\) xác định bởi \({y_1} = {y_2} = 1\) và \({y_{n + 2}} = {y_{n + 1}} + {y_n},\,\,\forall n \in N*.\) Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó là:
A.\(1,1,2,4,7\) B.\(2,3,5,8,11\)
C.\(1,2,3,5,8\) D.\(1,1,2,3,5\)
Câu 7: Cho cấp số cộng \(({u_n})\) thỏa mãn :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right.\). Xác định công sai ?
A. d = 3 B. d = 5
C. d = 6 D. d = 4
Câu 8: Cho dãy số \(({u_n})\)có \({u_1} = \dfrac{1}{4};d = \dfrac{{ - 1}}{4}\). Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. \({S_5} = \dfrac{5}{4}\)
B. \({S_5} = \dfrac{4}{5}\)
C. \({S_5} = - \dfrac{5}{4}\)
D. \({S_5} = - \dfrac{4}{5}\)
Câu 9: Cho dãy số \(({u_n})\)với :\({u_n} = 7 - 2n\). Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. 3 số hạng đầu của dãy : \({u_1} = 5;{u_2} = 3;{u_3} = 1\)
B. Số hạng thứ \(n + 1:{u_{n + 1}} = 8 - 2n\)
C. Là cấp số cộng có d = - 2
D. Số hạng thứ 4: \({u_4} = - 1\)
Câu 10: Cho dãy số \( - 1;x;0,64\). Chọn \(x\) để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân
A. Không có giá trị nào của \(x\)
B. \(x = 0,008\)
C. \(x = - 0,008\)
D. \(x = 0,004\)
Câu 11: Xét tính tăng , giảm và bị chặn của dãy số \(({u_n})\) biết \({u_n} = \dfrac{{2n - 13}}{{3n - 2}}\)
A. Dãy số tăng, bị chặn
B. Dãy số giảm, bị chặn
C. Dãy số không tăng, không giảm, không bị chặn
D. Cả A, B, C đều sai
Câu 12: Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng ?
A. \({a^2} + {c^2} = 2ab + 2bc\)
B. \({a^2} - {c^2} = 2ab - 2bc\)
C. \({a^2} + {c^2} = 2ab - 2bc\)
D. \({a^2} - {c^2} = ab - bc\)
Câu 13: Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) có \({a_n} = - {n^2} + 4n + 11,\,\,\forall n \in N*\) .
A. 14 B. 15
C. 13 D. 12
Câu 14: Cho dãy số \(({u_n})\)với :\({u_n} = \dfrac{{ - n}}{{n + 1}}\) . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Năm số hạng đầu của dãy là : \(\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 2}}{3};\dfrac{{ - 3}}{4};\dfrac{{ - 5}}{5};\dfrac{{ - 5}}{6};\)
B. Năm số hạng đầu của dãy là: \(\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 2}}{3};\dfrac{{ - 3}}{4};\dfrac{{ - 4}}{5};\dfrac{{ - 5}}{6};\)
C. Là dãy số tăng
D. Bị chặn trên bởi số 1
Câu 15: Cho dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) xác định bởi \({x_1} = 5\) và \({x_{n + 1}} = {x_n} + n,\,\,\forall n \in N*\). Số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) là:
A.\({x_n} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2}\)
B.\({x_n} = \dfrac{{5{n^2} - 5n}}{2}\)
C.\({x_n} = \dfrac{{{n^2} + n + 10}}{2}\)
D.\({x_n} = \dfrac{{{n^2} + 3n + 12}}{2}\)
Câu 16: Cho cấp số nhân \(({u_n})\)thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \dfrac{2}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right.\). Viết 5 số hạng đầu của cấp số
A. \({u_1} = 2;{u_2} = \dfrac{2}{5};{u_3} = \dfrac{2}{9};{u_4} = \dfrac{2}{{27}};{u_5} = \dfrac{2}{{81}}\) C. \({u_1} = 1;{u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = \dfrac{2}{9};{u_4} = \dfrac{2}{{27}};{u_5} = \dfrac{2}{{81}}\)
B. \({u_1} = 2;{u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = \dfrac{2}{9};{u_4} = \dfrac{2}{{27}};{u_5} = \dfrac{2}{{64}}\) D. \({u_1} = 2;{u_2} = \dfrac{2}{3};{u_3} = \dfrac{2}{9};{u_4} = \dfrac{2}{{27}};{u_5} = \dfrac{2}{{81}}\)
Câu 17: Xét tính bị chặn của dãy số sau: \({u_n} = 4 - 3n - {n^2}\)
A. Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 18: Xác định x để 3 số :\(1 - x;{x^2};1 + x\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng ?
A. Không có giá trị nào của x
B. \(x = \pm 2\)
C. \(x = \pm 1\)
D. \(x = 0\)
Câu 19: Cho cấp số nhân có \({u_1} = - 3;q = \dfrac{2}{3}\). Tính \({u_5}\)
A. \({u_5} = \dfrac{{ - 27}}{{16}}\)
B. \({u_5} = \dfrac{{ - 16}}{{27}}\)
C. \({u_5} = \dfrac{{16}}{{27}}\)
D. \({u_5} = \dfrac{{27}}{{16}}\)
Câu 20: Một cấp số cộng có 13 số hạng, số hạng đầu là 2 và tổng của 13 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng 260. Khi đó, giá trị của \({u_{13}}\)là bao nhiêu.
A. \({u_{13}} = 40\)
B. \({u_{13}} = 38\)
C. \({u_{13}} = 36\)
D. \({u_{13}} = 20\)
Câu 21: Cho một cấp số cộng có 20 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai ?
A. \({u_1} + {u_{20}} = {u_2} + {u_{19}}\)
B. \({u_1} + {u_{20}} = {u_5} + {u_{16}}\)
C. \({u_1} + {u_{20}} = {u_8} + {u_{13}}\)
D. \({u_1} + {u_{20}} = {u_9} + {u_{11}}\)
Câu 22: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3;9;27;81;…Khi đó \({u_n}\)có thể được tính theo biểu thức nào sau đây
A. \({u_n} = {3^{n - 1}}\)
B. \({u_n} = {3^n}\)
C. \({u_n} = {3^{n + 1}}\)
D. \({u_n} = 3 + {3^n}\)
Câu 23: Dân số của thành phố A hiện nay là \(3\) triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố A là \(2\% \). Dân số của thành phố A sau \(3\) năm nữa sẽ là:
A. 3183624
B. 2343625
C. 2343626
D. 2343627
Câu 24: Cho cấp số cộng \(({u_n})\) có công sai \(d > 0\); \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_{31}} + {u_{34}} = 11}\\{{u^2}_{31} + {u^2}_{34} = 101}\end{array}} \right.\). Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
A. \({u_n} = 3n - 9\)
B. \({u_n} = 3n - 2\)
C. \({u_n} = 3n - 92\)
D. \({u_n} = 3n - 66\)
Câu 25: Với \(n \in {N^*}\), ta xét các mệnh đề: P: “\({7^n} + 5\) chia hết cho \(2\)”; Q: “\({7^n} + 5\) chia hết cho 3” và R: “\({7^n} + 5\) chia hết cho \(6\)”. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. \(3\) B. \(0\)
C. \(1\) D. \(2\)
Lời giải chi tiết
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| D | C | B | B | D |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| D | A | C | B | A |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| A | B | B | B | A |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| D | C | C | B | B |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| D | B | A | C | A |
Lời giải chi tiết
Câu 1. Ta có dãy số trên là cấp số cộng với công với số hạng đầu u1 = -2 và công sai d = 2.
Vậy số hạng tổng quát của dãy là:
\({u_n} = {u_1} + (n - 1)d = ( - 2) + 2(n - 1)\)
Chọn D.
Câu 3. Áp dụng công thức số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\)
\(\begin{array}{c} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_2} + {u_3} = 20\\{u_5} + {u_7} = - 29\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d + {u_1} + 2d = 20\\{u_1} + 4d + {u_1} + 6d = - 29\end{array} \right.\\ = \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 3d = 20\\2{u_1} + 10d = - 29\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 20,5\\d = - 7\end{array} \right.\end{array}\)
Chọn B.
Câu 4. Ta có
\({u_2} = 2.1 + 3 = 5;\)
\({u_3} = 2.5 + 3 = 13;\)
\({u_4} = 2.13 + 3 = 29;\)
\({u_2} = 2.29 + 3 = 61;\)
Chọn B.
Câu 5. Ta có
\(\left. \begin{array}{l}{u_1} = 3.1 - 1 = 2\\{u_2} = 3.2 - 1 = 5\\{u_3} = 3.3 - 1 = 8\end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{5}{2} \ne \dfrac{8}{2}\)
Vậy \(({u_n})\) không phải là cấp số nhân nên không tồn tại q.
Chọn D.
Câu 6:
\(\begin{array}{l}{y_1} = {y_2} = 1\\{y_3} = {y_2} + {y_1} = 1 + 1 = 2\\{y_4} = {y_3} + {y_2} = 2 + 1 = 3\\{y_5} = {y_4} + {y_3} = 3 + 2 = 5\end{array}\)
Chọn D
Câu 7.Ta có
\(\begin{array}{c}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_2} - {u_3} + {u_5} = 10}\\{{u_4} + {u_6} = 26}\end{array}} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + d - {u_1} - 2d + {u_1} + 4d = 10\\{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\2{u_1} + 8d = 26\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\end{array}\)
Chọn A.
Câu 8. Ta có
\({S_5} = n{u_1} + \dfrac{{n(n - 1)}}{2}d = 5.\dfrac{1}{4} + \dfrac{{5.4}}{2}.\left( { - \dfrac{1}{4}} \right) = - \dfrac{5}{4}\)
Chọn C.
Câu 10. \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1.q\\0,64 = x.q\end{array} \right. \Rightarrow 0,64 = - {x^2}\)(vô lí)
Chọn A.
Câu 11. \(\forall n \in {N^*},{u_{n + 1}} - {u_n} = \dfrac{{2(n + 1) - 3}}{{3(n + 1) - 2}} - \dfrac{{2n - 3}}{{3n - 2}} \)\(\,= \dfrac{{35}}{{(3n + 1)(3n - 2)}} > 0.\)
Và \({u_n} = \dfrac{{2n - 13}}{{3n - 2}} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{{35}}{{3(3n - 2)}} \le \dfrac{2}{3}\)
Chọn A.
Câu 12. Ta có
\(\begin{array}{l}b = \dfrac{{a + c}}{2}\\ \Leftrightarrow c = 2b - a \\\Leftrightarrow {a^2} - {c^2} = 4ab - 4{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - {c^2} = 4ab - 2b(a + c)\\ \Leftrightarrow {a^2} - {c^2} = 2ab - 2bc\end{array}\)
Chọn B.
Câu 13.
\({a_n} = - {n^2} + 4n + 11\)\(\, = - {n^2} + 4n - 4 + 15 = - {\left( {n - 2} \right)^2} + 15 \le 15\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(n - 2 = 0 \Leftrightarrow n = 2\)
Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng 15.
Chọn B.
Câu 14. Ta có
\({u_1} = \dfrac{{ - 1}}{{1 + 1}} = \dfrac{{ - 1}}{2}\);
\({u_2} = \dfrac{{ - 2}}{{2 + 1}} = \dfrac{{ - 2}}{3}\);
\({u_3} = \dfrac{{ - 3}}{{3 + 1}} = \dfrac{{ - 3}}{4}\);
\({u_4} = \dfrac{{ - 4}}{{4 + 1}} = \dfrac{{ - 4}}{5}\);
\({u_5} = \dfrac{{ - 5}}{{5 + 1}} = \dfrac{{ - 5}}{6}\).
Chọn B.
Câu 15.
\(\begin{array}{l}{x_1} = 5\\{x_2} = {x_1} + 1 = 5 + 1\\{x_3} = {x_2} + 2 = 5 + 1 + 2\\{x_4} = {x_3} + 3 = 5 + 1 + 2 + 3\\...\end{array}\)
Dự đoán \({x_n} = 5 + 1 + 2 + 3 + ... + n - 1 \)\(\,= 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\,\,\,\left( * \right)\,\,\forall n \in N*\)
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
(*) đúng với n = 1.
Giả sử (*) đúng đến n = k, tức là \({x_k} = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\,,\) ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({x_{k + 1}} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}\).
Ta có: \({x_{k + 1}} = {x_k} + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right)}}{2}\, + k = 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1} \right) + 2k}}{2} \)\(\,= 5 + \dfrac{{k\left( {k - 1 + 2} \right)}}{2} = 5 + \dfrac{{\left( {k + 1} \right)k}}{2}\).
Vậy (*) đúng với mọi \(n \in N*\).
Vậy \({x_n} = 5 + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = \dfrac{{{n^2} - n + 10}}{2}\,\,\,\,\,\forall n \in N*\)
Chọn A.
Câu 16. Ta có
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_4} = \dfrac{2}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}.{q^3} = \dfrac{2}{{27}}\\{u_1}.{q^2} = 243{u_1}.{q^7}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \dfrac{2}{{27.{q^3}}}\\\dfrac{1}{{{q^5}}} = 243\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\q = \dfrac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow {u_n} = 2.{\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\end{array}\)
\({u_2} = \dfrac{2}{{{3^1}}} = \dfrac{2}{3}\);
\({u_3} = \dfrac{2}{{{3^2}}} = \dfrac{2}{9}\);
\({u_4} = \dfrac{2}{{{3^3}}} = \dfrac{2}{{27}}\);
\({u_5} = \dfrac{2}{{{3^4}}} = \dfrac{2}{{81}}\).
Chọn D.
Câu 17. Ta có \({u_n} = 4 - 3n - {n^2} = - {\left( {n - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{25}}{4} \le \dfrac{{25}}{4}\)
Chọn C.
Câu 18. Ta có 3 số này lập thành một cấp số cộng, do đó:
\({x^2} = \dfrac{{1 - x + 1 + x}}{2} \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Chọn C.
Câu 19. Ta có \({u_5} = ( - 3).{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^4} = - \dfrac{{16}}{{27}}\)
Chọn B.
Câu 20. Ta có \(\begin{array}{c}{S_{13}} = n{u_1} + \dfrac{{n(n - 1)}}{2}d = 13.2 + \dfrac{{13.12}}{2}.d\\ \Leftrightarrow d = 3 \Leftrightarrow {u_{13}} = 2 + 13.3 = 38\end{array}\)
Chọn B.
Câu 21. Ta có \(\begin{array}{l}{u_1} + {u_{20}} = {u_1} + {u_1} + 19d = {u_1} + d + {u_1} + 18d\\ = {u_2} + {u_{19}} = {u_5} + {u_{16}} = {u_8} + {u_{13}}\end{array}\)
Chọn D.
Câu 22. Ta có cấp số nhân với công bôi q = 3 nên \({u_n} = {3.3^{n - 1}} = {3^n}\)
Chọn B.
Câu 23. Dân số của thành phố A sau 3 năm là: \({u_3} = 3 000 000. {(1 + 2\% )^3} = 3183624\)
Chọn A.
Câu 24. Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_{31}} + {u_{34}} = 11}\\{{u^2}_{31} + {u^2}_{34} = 101}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_{34}} = 11 - {u_{31}}\\{u^2}_{31} + {(11 - {u_{31}})^2} = 101\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_{31}} = 1\\{u_{34}} = 10\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_{31}} = 10\\{u_{34}} = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 89\\d = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 100\\d = - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 89\\d = 3\end{array} \right.(d > 0)\end{array}\)
\({u_n} = - 89 + (n - 1)3 = 3n - 92\)
Chọn C.
soanvan.me
