Đề bài
Câu 1:Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số \(y = f(x)\) tại \({x_{0}}\)
A. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f(x + \Delta x) - f({x_0})} \over {\Delta x}}\)
B. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f(x) - f({x_0})} \over {x - {x_0}}}\)
C. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {{f(x) - f({x_0})} \over {x - {x_0}}}\)
D. \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{f({x_0} + \Delta x) - f(x)} \over {\Delta x}}\)
Câu 2: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{3 - \sqrt {4 - x} \,\,\,khi\,\,x \ne 0 \hfill \cr1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr} \right.\). Khi đó \(f'\left( 0 \right)\)là kết quả nào sau đây?
A. \({1 \over 4}\)
B. \({1 \over {16}}\)
C. \({1 \over 2}\)
D. 2
Câu 3: Đạo hàm của hàm số \(y = {({x^3} - 2{x^2})^{2016}}\)là
A. \(y' = 2016{({x^3} - 2{x^2})^{2015}}\)
B. \(y' = 2016{({x^3} - 2{x^2})^{2015}}(3{x^2} - 4x)\)
C. \(y' = 2016({x^3} - 2{x^2})(3{x^2} - 4x)\)
D. \(y' = 2016({x^3} - 2{x^2})(3{x^2} - 2x)\)
Câu 4: Cho hàm số \(f(x) = {{ - 4x - 3} \over {x + 5}}\) Đạo hàm của hàm số trên là
A. \(f'(x) = - {{17} \over {{{(x + 5)}^2}}}\)
B. \(f'(x) = - {{19} \over {{{(x + 5)}^2}}}\)
C. \(f'(x) = - {{23} \over {{{(x + 5)}^2}}}\)
D.\(f'(x) = {{17} \over {{{(x + 5)}^2}}}\)
Câu 5: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{\sqrt x } \over x}\,\,khi\,\,x \ne 0 \hfill \cr0\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr} \right.\) Xét hai mệnh đề sau:
(I) Hàm số liên tục tại \(x_0=0\)
(II) Hàm số không có đạo hàm tại \({x_0} = 0\)
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I)
B. Chỉ (II)
C. Cả 2 đều đúng
D. Cả 2 đều sai.
Câu 6: Cho hàm số \(f(x) = {1 \over 3}{x^3} - 2\sqrt 2 {x^2} + 8x - 1\) Tập hợp những giá trị của x để \(f'(x) = 0\) là
A. \(\left\{ { - 2\sqrt 2 } \right\}\)
B. \(\left\{ {2;\sqrt 2 } \right\}\)
C. \(\left\{ { - 4\sqrt 2 } \right\}\)
D. \(\left\{ {2\sqrt 2 } \right\}\)
Câu 7: Cho hàm số \(f(x) = - 2\sqrt x + 3x\) Để \(f'(x) > 0\) thì x nhận các giá trị nào?
A. \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)
B. \(\left( { - \infty ;{1 \over 9}} \right)\)
C. \(\left( {{1 \over 9}; + \infty } \right)\)
D. \(\emptyset \)
Câu 8: Tìm m để hàm số \(y = (m - 1){x^3} - 3(m + 2){x^2} - 6(m + 2)x + 1\) có \(y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
A. \(m \ge 1\)
B. \(-2\le m \le 0\)
C. \(m \in \emptyset\)
D. \(m > 1 \)
Câu 9: Cho hàm số \(y = {{\cos 2x} \over {1 - \sin x}}\) Tính \(y'\left( {{\pi \over 6}} \right)\)bằng
A.1
B. -1
C. \(\sqrt 3 \)
D. \(- \sqrt 3 \)
Câu 10: Hàm số \(y = \cot 3x - {1 \over 2}\tan 2x\)có đạo hàm là
A. \({{ - 3} \over {{{\sin }^2}3x}} + {1 \over {{{\cos }^2}2x}}\)
B. \({{ - 3} \over{{{\sin }^2}3x}} - {1 \over {{{\cos }^2}2x}}\)
C. \({{ - 3} \over {{{\sin}^2}3x}} - {x \over {{{\cos }^2}2x}}\)
D. \({{ - 1} \over {{{\sin }^2}x}} - {1 \over {{{\cos }^2}2x}}\)
Câu 11: Tìm vi phân của hàm số \(y = \sqrt {3x + 2} \)
A. \(dy = {3 \over {\sqrt {3x + 2} }}dx\)
B. \(dy = {1 \over {2\sqrt {3x + 2} }}dx\)
C. \(dy = {1 \over {\sqrt {3x + 2} }}dx\)
D. \(dy = {3 \over {2\sqrt {3x + 2} }}dx\)
Câu 12: Cho hàm số \(y = {{x + 3} \over {1 - 2x}}\) Vi phân của hàm số trên tại \(x = -3\) là
A. \(dy = {1 \over 7}dx\)
B. \(dy = 7dx\)
C. \(dy = {{ - 1} \over 7}dx\)
D. \(dy = - 7dx\)
Câu 13: Hàm số \(y = {x \over {x - 2}}\)có đạo hàm cấp hai là
A. \(y'' = 0\)
B. \(y'' = {1 \over {{{(x - 2)}^2}}}\)
C. \(y'' = - {4 \over {{{(x - 2)}^2}}}\)
D. \(y'' = {4 \over {{{(x - 2)}^3}}}\)
Câu 14: Cho hàm số \(y = f(x)\), có đồ thị (C) và điểm \({M_0}({x_0};f({x_0})) \in (C)\) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là
A. \(y = f'(x)(x - {x_0}) + {y_0}\)
B. \(y = f'({x_0})(x - {x_0})\)
C. \(y - {y_0} = f'({x_0})(x - {x_0})\)
D. \(y - {y_0} = f'({x_0})x\)
Câu 15: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {1 \over {\sqrt {2x} }}\)tại điểm \(A\left( {{1 \over 2};1} \right)\)có phương trình là
A. \(2x + 2y = - 3\)
B. \(2x - 2y = - 1\)
C. \(2x + 2y = 3\)
D. \(2x - 2y = 1\)
Câu 16: Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(y = {x^4} + x\) Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng \(d:x + 5y = 0\)có phương trình là
A. \(y = 5x - 3\)
B. \(y = 3x - 5\)
C. \(y = 2x - 3\)
D. \(y = x + 4\)
Câu 17: Cho hàm số \(y = {{2x + 2} \over {x - 1}}\)(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:y = - 4x + 1\)
A. \(y = - 4x - 2;y = - 4x + 14\)
B. \(y = - 4x + 21;y = - 4x + 14\)
C. \(y = - 4x + 2;y = - 4x + 1\)
D. \(y = - 4x + 12;y = - 4x + 14\)
Câu 18: Cho hàm số \(y = {x \over {\sqrt {4 - {x^2}} }}\) Khi đó \(y'(0)\) bằng
A. \({1 \over 2}\)
B. \({1 \over 3}\)
C. 1
D. 2
Câu 19: Đạo hàm của hàm số \(y = x\sqrt {{x^2} - 2x} \) là
A. \(y' = {{2x - 2} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}\)
B. \(y' = {{3{x^2} - 4x} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}\)
C. \(y' = {{2{x^2} - 3x} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}\)
D.\(y' = {{2{x^2} - 2x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x} }}\)
Câu 20: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định: \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1} \over x}\,\,khi\,\,x \ne 0 \hfill \cr0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr} \right.\) Giá trị của \(f'\left( 0 \right)\) bằng:
A. \({1 \over 2}\)
B. \(- {1 \over 2}\)
C. \(- 2\)
D. Không tồn tại.
Câu 21: Cho hàm số \(f\left( x \right) = {{{x^2} + \left| {x + 1} \right|} \over x}\) Tính đạo hàm của hàm số tại \({x_0} = - 1\)
A. 2
B. 1
C. 0
D. Không tồn tại.
Câu 22: Cho hàm số \(f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right)\) Tính \(f'\left( 0 \right)\)?
A. 10000!
B. 1000!
C. 1100!
D. 1110!
Câu 23: Hàm số \(y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3}\)có đạo hàm cấp ba là:
A. \(y''' = 12x\left( {{x^2} + 1} \right)\)
B. \(y''' = 24x\left( {{x^2} + 1} \right)\)
C. \(y''' = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)\)
D. \(y''' = - 12x\left( {{x^2} + 1} \right)\)
Câu 24: Giả sử \(h\left( x \right) = 5{\left( {x + 1} \right)^3} + 4\left( {x + 1} \right)\) Tập nghiệm của phương trình \(h''\left( x \right) = 0\) là:
A. \(\left[ { - 1;2} \right]\)
B. \(\left( { - \infty ;0} \right]\)
C. \(\left\{ { - 1} \right\}\)
D. \(\emptyset \)
Câu 25: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {{2x + 1} \over {x - 1}}\) tại điểm có hoành độ bằng \(2\) có hệ số góc \(k = ?\)
A. \(k = - 1\)
B. \(k = - 3\)
C. \(k = 3\)
D. \(k = 5\)
Lời giải chi tiết
Đáp án:
|
1C |
2A |
3B |
4A |
5B |
|
6D |
7C |
8C |
9D |
10B |
|
11D |
12A |
13D |
14C |
15C |
|
16A |
17A |
18A |
19C |
20A |
|
21D |
22B |
23C |
24C |
25B |
Câu 1: Đáp án C
Giới hạn (nếu tồn tại) dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \({x_{^0}}\)là: . \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)
Câu 2: Đáp án A
\(f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3 - \sqrt {4 - x} - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{x(2 + \sqrt {4 - x} )}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{2 + \sqrt {4 - x} }} = \dfrac{1}{4}\)
Câu 3: Đáp án B
y’ = 2016( x3 - 2x2)2015(x3 – 2x2)’ = 2016( x3 - 2x2)2015(3x2 -4x)
Câu 4: Đáp án A
\(f'(x) = \dfrac{{( - 4x - 3)'(x + 5) - (x + 5)'( - 4x - 3)}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} \)
\(\;\;\;= \dfrac{{ - 4(x + 5) - ( - 4x - 3)}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} \)
\(\;\;\;= \dfrac{{ - 4x - 20 + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 17}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}\)
Câu 5: Đáp án B
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt x }}{x}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty \)
Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\) nên hàm số không liên tục tại \({x_0} = 0\) nên (I) sai.
Do đó hàm số không có đạo hàm tại \({x_0} = 0\) nên (II) đúng.
Câu 6: Đáp án D
\(\begin{array}{l}f'(x) = {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - 2\sqrt 2 {x^2} + 8x - 1} \right)^\prime } \\= {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8\\f'(x) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4\sqrt 2 x + 8 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2\sqrt 2 } \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 \end{array}\)
Vậy \(f'(2\sqrt 2 ) = 0\)
Câu 7: Đáp án C
\(\begin{array}{l}f'(x) = ( - 2\sqrt x + 3x)' = \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }} + 3\\f'(x) > 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }} + 3 > 0 \\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{\sqrt x }} > - 3\\ \Leftrightarrow \sqrt x > \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{9}\end{array}\)
Vậy \(x \in \left( {\dfrac{1}{9}; + \infty } \right)\)
Câu 8: Đáp án C
\(\begin{array}{l}y' = \left[ {\left( {m - 1} \right){x^3} - 3\left( {m + 2} \right){x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x + 1} \right]'\\ = 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x - 6\left( {m + 2} \right)\\y' \ge 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow 3\left( {m - 1} \right){x^2} - 6\left( {m + 2} \right)x - 6\left( {m + 2} \right) \ge 0,\forall x \in R\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - 2\left( {m + 2} \right) \ge 0,\forall x \in R\end{array}\)
Với \(m = 1\) thì \(y' = - 18x - 18 \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 1\) nên không thỏa mãn bài toán.
Do đó
\(\begin{array}{l}y' \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\{\left( {m + 2} \right)^2} + 2\left( {m - 1} \right)\left( {m + 2} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left( {m + 2} \right)\left( {m + 2 + 2m - 2} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left( {m + 2} \right).3m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\ - 2 \le m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \end{array}\)
Do đó không có m thỏa mãn bài toán.
Câu 9: Đáp án D
\(y' = \left( {\dfrac{{\cos 2x}}{{1 - \sin x}}} \right)' \\\;\;\;= \dfrac{{\left( {\cos 2x} \right)'\left( {1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right) - \left( {1 - \sin x} \right){\rm{'cos}}2x}}{{{{\left( {1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)}^2}}} \\\;\;\;= \dfrac{{ - 2\sin 2x(1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}) + \cos x\cos 2x}}{{{{\left( {1 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)}^2}}}\)
\(y'\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{{ - 2\sin \dfrac{\pi }{3}\left( {1 - \sin \dfrac{\pi }{6}} \right) + \cos \dfrac{\pi }{6}\cos \dfrac{\pi }{3}}}{{{{\left( {1 - \sin \dfrac{\pi }{6}} \right)}^2}}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{ - 2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right) + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{2}}}{{{{\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right)}^2}}} \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{\dfrac{{ - \sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{1}{4}}} = - \sqrt 3 \)
Câu 10: Đáp án B
\(y' = \left( {\cot 3x - \dfrac{1}{2}\tan 2x} \right)' \)\(\;= \left( {\cot 3x} \right)' - \left( {\dfrac{1}{2}\tan 2x} \right)' \)\(\;= - \dfrac{3}{{{{\left( {\sin 3x} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {\cos 2x} \right)}^2}}}\)
Câu 11: Đáp án D
\(dy = d(\sqrt {3x + 2} ) = \left( {\sqrt {3x + 2} } \right)'dx \)\(\;= \dfrac{3}{{2\sqrt {3x + 2} }}dx\)
Câu 12: Đáp án A
\(\begin{array}{l}dy = d\left( {\dfrac{{x + 3}}{{1 - 2x}}} \right) \\\;\;\;= {\left( {\dfrac{{x + 3}}{{1 - 2x}}} \right)^\prime }dx \\\;\;\;= \dfrac{{(x + 3)'(1 - 2x) - {{\left( {1 - 2x} \right)}^\prime }(x + 3)}}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}dx\\\;\;\; = \dfrac{{1 - 2x + 2(x + 3)}}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}dx\\\;\;\; = \dfrac{7}{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}}}dx\end{array}\)
Tại x = -3 ta được \(dy = \dfrac{7}{{{{\left( {1 - 2.( - 3)} \right)}^2}}}dx = \dfrac{7}{{49}}dx = \dfrac{1}{7}dx\)
Câu 13: Đáp án D
\(y' = \left( {\dfrac{x}{{x - 2}}} \right)' \)
\(= \dfrac{{x'(x - 2) - \left( {x - 2} \right)'x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} \)\(\;= \dfrac{{x - 2 - x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
\(y'' = {\left( {\dfrac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right)^\prime } \)\( = - 2.\frac{{ - \left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \right]}^2}}} = - 2.\frac{{ - 2\left( {x - 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^4}}}\) \(= \dfrac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}\)
Câu 14: Đáp án C
Hàm số \(y = f(x)\), có đồ thị (C) và điểm \({M_0}({x_0};f({x_0})) \in (C)\). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là \(y = f'({x_0})(x - {x_0}) + {y_o}\)
Câu 15: Đáp án C
Ta có:
\(y' = \left( {\frac{1}{{\sqrt {2x} }}} \right)' = - \frac{{\left( {\sqrt {2x} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {2x} } \right)}^2}}} \) \(= - \frac{{\frac{2}{{2\sqrt x }}}}{{2x}} = - \frac{1}{{2x\sqrt {2x} }}\)
Suy ra \(y'\left( {\frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{{2.\frac{1}{2}\sqrt {2.\frac{1}{2}} }} = - 1\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{\sqrt {2x} }}\) tại điểm \(A\left( {\dfrac{1}{2};1} \right)\)là:
\(y = f'(\dfrac{1}{2}).(x - \dfrac{1}{2}) + 1 \) \(= - 1(x - \dfrac{1}{2}) + 1 = - x + \dfrac{3}{2}\) hay \(2x + 2y = 3\)
Câu 16: Đáp án A
(C): y = x4 + x
d: x + 5y=0
Ta có: y’ = 4x3 + 1
Đường thẳng x + 5y = 0\( \Leftrightarrow y = - \frac{1}{5}x\) có hệ số góc k1 = \( - \dfrac{1}{5}\)
Vì tiếp tuyến của (C) vuông góc với d nên có hệ số góc k = 5
Ta có: f’(x0) = 5 \( \Leftrightarrow \)4x03 + 1 = 5 \( \Rightarrow \)x0 = 1
Suy ra y0 = x04 + x0 = 1 + 1 = 2
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) là: y = 5(x – 1) + 2 hay y = 5x – 3
Câu 17: Đáp án A
(C): \(y = \dfrac{{2x + 2}}{{x - 1}}\)
\(d:y = - 4x + 1\)
Ta có \(y' = \dfrac{{ - 4}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)
Đường thẳng \(y = - 4x + 1\) có hệ số góc k = -4
Vì tiếp tuyến của (C) song song với d nên có hệ số góc k = -4
Ta có: f’(x0) = -4 \( \Leftrightarrow \)\(\dfrac{{ - 4}}{{{{({x_0} - 1)}^2}}} = - 4 \Leftrightarrow {({x_0} - 1)^2} = 1 \Leftrightarrow {x_0} = 0\)hoặc \({x_0} = 2\)
Với \({x_0} = 0\) thì y0 = -2
Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = -4x – 2
Với \({x_0} = 2\) thì y0 = 6
Ta được phương trình tiếp tuyến là: y = -4(x – 2) + 6 \( \Leftrightarrow \)y = -4x +14
Vậy tìm được 2 pttt của (C) thỏa mãn bài toán là: y = -4x – 2 và y = -4x + 14
Câu 18: Đáp án A
\(\begin{array}{l}y' = {\left( {\dfrac{x}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}} \right)^\prime } \\\;\;\;= \dfrac{{\sqrt {4 - {x^2}} + \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}}}{{4 - {x^2}}} \\\;\;\;= \dfrac{{4 - {x^2} + {x^2}}}{{\sqrt {{{(4 - {x^2})}^3}} }}\\\;\;\; = \dfrac{4}{{\sqrt {{{(4 - {x^2})}^3}} }}\\y'(0) = \dfrac{4}{{\sqrt {{4^3}} }} = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Câu 19: Đáp án C
\(y' = (x\sqrt {{x^2} - 2x} )'\)
\(\;\;\;= \sqrt {{x^2} - 2x} + \dfrac{{(x - 1)x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }} \)
\(\;\;\;= \dfrac{{{x^2} - 2x + {x^2} - x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}\)
\(\;\;\;= \dfrac{{2{x^2} - 3x}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }}\)
Câu 20: Đáp án A
\(\begin{array}{l}f'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{{x - 0}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{x}}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}{{{x^2}}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{(\sqrt {{x^2} + 1} - 1)(\sqrt {{x^2} + 1} + 1)}}{{{x^2}(\sqrt {{x^2} + 1} + 1)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}(\sqrt {{x^2} + 1} + 1)}} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}} = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Câu 21: Đáp án D
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ - } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ - } \dfrac{{{x^2} + 1 - x}}{x}\\ = - 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ + } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ + } \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{x} = - 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ - } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to \mathop { - 1}\nolimits^ + } \dfrac{{{x^2} + \left| {x + 1} \right|}}{x}\end{array}\)
Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x0 = -1
Câu 22: Đáp án B
\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right)\\\end{array}\)
Đặt \(g(x) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)...\left( {x - 1000} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f(x) = x.g(x)\\f'(x) = g(x) - x.g'(x)\\ \Rightarrow f'(0) = g(0)\\= ( - 1).( - 2)...( - 1000) \\= 1.2.....1000 = 1000!\end{array}\)
Câu 23: Đáp án C
\(\begin{array}{l}
y = {\left( {{x^2} + 1} \right)^3}\\
= {x^6} + 3{x^4} + 3{x^2} + 1\\
y' = 6{x^5} + 12{x^3} + 6x\\
y'' = 30{x^4} + 36{x^2} + 6\\
y''' = 120{x^3} + 72x = 24x\left( {5{x^2} + 3} \right)
\end{array}\)
Cách khác:
\(\begin{array}{l}y' = {\left( {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} \right)^\prime } \\= 3{\left( {{x^2} + 1} \right)^\prime }{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 6x{\left( {{x^2} + 1} \right)^2}\\y'' = {\left( {6x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)^\prime }\\\;\;\; = 6{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + 6x{\left( {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}} \right)^\prime } \\\;\;\;= \left( {6{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} + 24{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right)\\y''' = \left( {6{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} + 24{x^2}\left( {{x^2} + 1} \right)} \right)' \\\;\;\;= 24x\left( {{x^2} + 1} \right) + 48x\left( {{x^2} + 1} \right) + 48{x^3} \\\;\;\;= 24x({x^2} + 1 + 2\left( {{x^2} + 1} \right) + 2{x^2})\\ \;\;\;= 24x(5{x^2} + 3)\end{array}\)
Câu 24: Đáp án C
\(\begin{array}{l}h'\left( x \right) = {\left[ {5{{\left( {x + 1} \right)}^3} + 4\left( {x + 1} \right)} \right]^\prime }\\ = 15{\left( {x + 1} \right)^2} + 4\\h''(x) = {\left[ {15{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 4} \right]^\prime } = 30\left( {x + 1} \right)\\h''(x) = 0 \Leftrightarrow 30\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = - 1\end{array}\)
Câu 25: Đáp án B
\(y' = {\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}} \right)^\prime } \)
\(= \dfrac{{2(x - 1) - (2x + 1)}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \dfrac{{ - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)
\(y'(2) = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = - 3\)
soanvan.me
