5. Đề thi học kì 1 môn toán lớp 11 năm 2019 - 2020 sở giáo dục Vĩnh Phúc

 I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: (3,0 điểm).

Câu 1. Tập xác định của hàm số \(y = \dfrac{1}{{\cos x}}\) là:

A. \(D = R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ,k \in Z} \right\}.\)

B. \(D = R.\)

C. \(D = R\backslash \left\{ {k\pi ,k \in Z} \right\}.\)

D. \(D = \left[ { - 1;1} \right].\)

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(M\left( {1;0} \right).\) Phép quay tâm \(O\) góc quay \(90^\circ \) biến điểm \(M\) thành điểm \(M'\) có tọa độ là

A.\(\left( { - 1;0} \right).\)                 B.\(\left( {0;1} \right).\)

C. \(\left( {1;1} \right).\)                    D. \(\left( {0; - 1} \right).\)

Câu 3. Chu kỳ tuần hoàn của hàm số \(y = \cot x\) là

A.\(\pi .\)                                 B.\(3\pi .\)

C. \(2\pi .\)                              D. \(\dfrac{\pi }{2}.\)

Câu 4. Cho các số tự nhiên \(n,k\) thỏa mãn \(0 \le k < n.\) Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ?

A. \(A_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!}}.\)

B. \({P_n} = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}.\)

C.\(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}.\)

D. \(C_{n + 1}^k = C_{n + 1}^{n - k}.\)

Câu 5. Tập nghiệm của phưng trình \(2\sin 2x + 1 = 0\) là

A.\(S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{6} + k\pi ,\dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in Z} \right\}.\)

B.\(S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ,\dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi ,k \in Z} \right\}.\)

C. \(S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ,\dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in Z} \right\}.\)

D. \(S = \left\{ { - \dfrac{\pi }{{12}} + k2\pi ,\dfrac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in Z} \right\}.\)

Câu 6. Có \(10\) chiếc bút khác nhau và \(8\) quyển sách giáo khoa khác nhau. Một bạn học sinh cần chọn \(1\) chiếc bút và \(1\) quyển sách. Hỏi bạn học sinh đó có bao nhiêu cách chọn ?

A.\(70.\)                         B.\(60.\)

C. \(90.\)                        D. \(80.\)

Câu 7. Từ các chữ số \(1,5,6,7\) lập được bao nhiêu số tự nhiên có \(4\) chữ số với các chữ số đôi một khác nhau ?

A.\(24.\)                      B.\(64.\)

C. \(256.\)                   D. \(12.\)

Câu 8. Gieo một con súc sắc ba lần liên tiếp. Xác suất để mặt hai chấm xuất hiện cả ba lần là

A.\(\dfrac{1}{{18}}.\)            B.\(\dfrac{1}{{20}}.\)

C.\(\dfrac{1}{{216}}.\)          D. \(\dfrac{1}{{172}}.\)

Câu 9. Phép tịnh tiến theo vec tơ \(\overrightarrow v \) biến điểm \(A\) thành điểm \(A'\) và biến điểm \(M\) thành điểm \(M'.\) Khi đó

A.\(\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {A'M'} .\)

B.\(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {A'M'} .\)

C. \(3\overrightarrow {AM}  = 2\overrightarrow {A'M'} .\)

D. \(\overrightarrow {AM}  =  - \overrightarrow {A'M'} .\)

Câu 10. Xét hàm số \(y = \sin x\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;0} \right].\) Câu khẳng định nào sau đây là đúng ?

A.Trên mỗi khoảng \(\left( { - \pi ; - \dfrac{\pi }{2}} \right);\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\) hàm số đồng biến.

B.Trên khoảng \(\left( { - \pi ; - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) hàm số đồng biến và trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\) hàm số nghịch biến.

C. Trên khoảng \(\left( { - \pi ; - \dfrac{\pi }{2}} \right)\) hàm số nghịch biến và trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\) hàm số đồng biến.

D. Trên mỗi khoảng \(\left( { - \pi ; - \dfrac{\pi }{2}} \right);\,\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\) hàm số nghịch biến.

Câu 11. Cho hình chóp\(S.ABCD,\) hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại điểm \(M,\) hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) cắt nhau tại điểm\(N.\) Giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây ?

A.\(SN.\)                     B.\(SA.\)

C. \(MN.\)                   D. \(SM.\)

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(x + y - 2 = 0.\) Phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k =  - 2\) biến đường thẳng \(d\) thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau ?

A.\(2x + 2y = 0.\)

B.\(2x + 2y - 4 = 0.\)

C.\(x + y + 4 = 0.\)

D. \(x + y - 4 = 0\)

II. TỰ LUẬN (7đ).

Câu 13 (2,0 điểm).  Giải các  phương trình sau :

a) \(\cos 2x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

b) \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1.\)

Câu 14 (1,0 điểm).  Tính hệ số của \({x^8}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {3x - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{24}}.\)

Câu 15 (1,0 điểm). Một hộp đựng \(7\) viên bi màu trắng và\(3\) viên bi màu đen. Lấy ngẫu nhiên đồng thời \(3\) viên bi trong hộp đó. Tính xác suất để trong \(3\) viên bi được lấy ra có nhiều nhất một viên bi màu trắng.

Câu 16 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho hai điểm \(M\left( {4;6} \right)\) và \(M'\left( { - 3;5} \right).\) Phép vị tự tâm \(I\) tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\) biến điểm \(M\) thành điểm \(M'.\) Tìm tọa độ điểm \(I.\)

Câu 17 (1,5 điểm). Cho tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(2a.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AC\) và \(BC;\) \(P\) là trọng tâm của tam giác \(BCD.\)

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABP} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {ACD} \right).\)

b) Tính diện tích thiết diện của tứ diện \(ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right).\)

Câu 18: (0,5 điểm). Tìm \(m\) để phương trình \(2\sin x + m\cos x = 1 - m\) có nghiệm \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right].\) 

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn soanvan.me

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM

Câu 1 (TH)

Phương pháp:

Phân thức \(\dfrac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}}\) xác định khi \(B\left( x \right) \ne 0\)

Cách giải:

ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \)

TXD: \(D = R\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2} + k\pi ;k \in Z} \right\}\)

Chọn A

Câu 2 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép quay tâm \(O\) góc quay \(\alpha \) biến \(M\left( {x;y} \right)\) thành \(M'\left( {x';y'} \right)\) là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x' = x\cos \alpha  - y\sin \alpha \\y' = x\sin \alpha  + y\cos \alpha \end{array} \right.\)

Cách giải:

Ta có tọa độ của điểm \(M'\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 1.\cos {90^0} - 0.\sin {90^0} = 0\\y' = 1.\sin {90^0} + 0.\cos {90^0} = 1\end{array} \right.\) 

nên \(M'\left( {0;1} \right)\)

Chọn B

Câu 3 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về chu kì tuần hoàn

Cách giải:

Chu kì tuần hoàn của hàm số \(y = \cot x\) là \(T = \pi \)

Chọn A

Câu 4 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về tổ hợp, chỉnh hợp

Cách giải:

Ta có \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\) nên C đúng.

Chọn C

Câu 5 (TH)

Phương pháp:

Đưa về giải phương trình cơ bản \(\sin f\left( x \right) = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \alpha  + k2\pi \\f\left( x \right) = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\)

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}2\sin 2x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \sin 2x =  - \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \\2x = \pi  - \dfrac{{ - \pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \end{array} \right.,\,k \in Z\end{array}\)

Chọn B

Câu 6 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về tổ hợp

Cách giải:

Số cách chọn 1 chiếc bút là \(C_{10}^1 = 10\) cách

Số cách chọn 1 quyển sách là \(C_8^1 = 8\) cách

Vậy bạn đó có \(10.8 = 80\) cách chọn 1 chiếc bút và 1 quyển sách

Chọn D

Câu 7 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về chỉnh hợp

Cách giải:

Số các số thỏa mãn đề bài là \(A_4^4 = 24\) số

Chọn A

Câu 8 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\) với \(n\left( A \right)\) là số phần tử của biến cố A và \(n\left( \Omega  \right)\) là số phần tử của không gian mẫu

Cách giải:

Số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = {6^3} = 216\)

Gọi \(A\) là biến cố “mặt hai chấm xuất hiện cả ba lần”

Suy ra \(n\left( A \right) = 1.1.1 = 1\)

Xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{1}{{216}}\)

Chọn C

Câu 9 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng: Phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow v \) biến \(M\) thành \(M'\) thì \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow v \)

Cách giải:

Từ giả thiết ta có: \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow v \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {M'A'}  = \overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {M'A'}  + \overrightarrow v  = \overrightarrow v \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {M'A'}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {A'M'} \end{array}\)

Chọn B

Câu 10 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng kiến thức về hàm số \(y = \sin x\)

Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\)

Cách giải:

Hàm số \(y = \sin x\) đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ;\dfrac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\)

Nên trên đoạn \(\left[ { - \pi ;0} \right]\) thì hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \pi ;\dfrac{{ - \pi }}{2}} \right)\) và đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};0} \right)\)

Chọn C

Câu 11 (TH)

Phương pháp:

Nếu đường thẳng \(d\) đồng thời nằm trong  cả hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) thì \(d\) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\)

Cách giải:

Ta có \(N \in AB,\,N \in CD\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {SAB} \right)\\N \in \left( {SCD} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là \(SN.\)

Chọn A

Câu 12 (VD)

Phương pháp:

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm \(O\) tỉ số \(k\) biến \(M\) thành \(M'\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x' = kx\\y' = ky\end{array} \right.\)

Cách giải:

Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in d:x + y - 2 = 0\)

\({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\left( M \right) = M'\left( {x';y'} \right) \in d'\) là ảnh của \(d\) qua \({V_{\left( {O; - 2} \right)}}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - 2x\\y' =  - 2y\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{{x'}}{2}\\y = \dfrac{{ - y'}}{2}\end{array} \right. \\\Rightarrow M\left( {\dfrac{{ - x'}}{2};\dfrac{{ - y'}}{2}} \right)\)

Thay tọa độ \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{ - x'}}{2} + \dfrac{{ - y'}}{2} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x' + y' + 4 = 0\end{array}\)

Phương trình đường thẳng \(d':x + y + 4 = 0\)

Chọn C

PHẦN II: TỰ LUẬN

Câu 13 (VD)

Phương pháp:

a)  Giải phương trình \(\cos f\left( x \right) = \cos \alpha  \Leftrightarrow f\left( x \right) =  \pm \alpha  + k2\pi \)

b) Chia cả hai vế cho \(2\) rồi sử dụng công thức \(\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)

Đưa về \(\sin f\left( x \right) = \sin \alpha  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \alpha  + k2\pi \\f\left( x \right) = \pi  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\)

Cách giải:

a)  Ta có : \(\cos 2x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \dfrac{\pi }{6} \\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\2x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \\x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right).\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi \) và \(x = \dfrac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in Z.\)

b) Ta có \(\sin x + \sqrt 3 \cos x = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = \dfrac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \dfrac{\pi }{6}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{3} = \pi  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in Z} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \) và \(x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z.\)

Câu 14 (VD)

Phương pháp:

Sử dụng: \({\left( {a - b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)

Cách giải:

Ta có : \(P\left( x \right) = {\left( {3x - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{24}} = \sum\limits_{k = 0}^{24} {C_{24}^k{{\left( {3x} \right)}^{24 - k}}.{{\left( { - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)}^k}} \)

\( = \sum\limits_{k = 0}^{24} {{{\left( { - 1} \right)}^k}.C_{24}^k{{.3}^{24 - k}}.{x^{24 - 4k}}} \)

Hệ số của \({x^8}\) là \({\left( { - 1} \right)^k}.C_{24}^k{3^{24 - k}},\) ứng với \(24 - 4k = 8 \Leftrightarrow k = 4\,\left( {tm} \right)\)

Vậy hệ số của \({x^8}\) trong khai triểu \(P\left( x \right) = {\left( {3x - \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^{24}}\) là :

\({\left( { - 1} \right)^4}.C_{24}^4{3^{24 - 4}} = {3^{20}}.C_{24}^4\)

Câu 15 (VD)

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính xác suất \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}}\)

Với \(n\left( A \right)\) là số phần tử của biến cố A và \(n\left( \Omega  \right)\) là số phần tử của không gian mẫu

Cách giải:

Số phần tử của không gian mẫu : \(n\left( \Omega  \right) = C_{10}^3 = 120.\)

Gọi \(A\) là biến cố lấy được \(3\) viên bi, trong đó có nhiều nhất \(1\) viên bi trắng.

Ta có các trường hợp :

TH1: Ba viên bi được chọn đều màu đen (không có bi trắng)

 Số cách chọn là : \(C_3^3.\)

TH2: Ba viên bi được chọn có \(2\) viên bi màu đen, \(1\) viên bi màu trắng.

Số cách chọn là : \(C_3^2C_7^1\)

Như vậy: Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_3^3 + C_3^2C_7^1 = 22.\)

Vậy xác suất cần tìm là : \(P\left( A \right) = \dfrac{{22}}{{120}} = \dfrac{{11}}{{60}}.\)

Câu 16 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm \(I\left( {a;b} \right)\) tỉ số \(k\) biến \(M\) thành \(M'\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}x' = kx + \left( {1 - k} \right)a\\y' = ky + \left( {1 - k} \right)b\end{array} \right.\)

Hoặc sử dụng \(\overrightarrow {IM'}  = k\overrightarrow {IM} \)

Cách giải:

Đặt tọa độ tâm \(I\) là \(I\left( {x;y} \right).\) Khi đó \(\overrightarrow {IM}  = \left( {4 - x;6 - y} \right);\,\\\overrightarrow {IM'}  = \left( { - 3 - x;5 - y} \right)\)

Theo định nghĩa của phép vị tự tâm \(I,\) ta có : \(\overrightarrow {IM'}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {IM} \left( * \right)\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - x = \dfrac{1}{2}\left( {4 - x} \right)\\5 - y = \dfrac{1}{2}\left( {6 - y} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 10\\y = 4\end{array} \right.\)

Vậy \(I\left( { - 10;4} \right).\)

Câu 17 (VD)

Phương pháp:

a) Gọi \(Q = BP \cap CD.\) Từ đó suy ra giao tuyến

b) Xác định thiết diện rồi tính diện tích tam giác theo công thức \(S = \dfrac{1}{2}ah\) với \(a\) là cạnh đáy và \(h\) là chiều cao tương ứng.

Cách giải:

Cho tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(2a.\) Gọi  \(M,N\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AC\) và \(BC\); \(P\) là trọng tâm của tam giác \(BCD.\)

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABP} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {ACD} \right).\)

Trong mặt phẳng \(\left( {BCD} \right),\) gọi \(Q = BP \cap CD.\)

Khi đó \(\left( {ABP} \right) \cap \left( {ACD} \right) = AQ.\)

b) Tính diện tích thiết diện của tứ diện \(ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right).\)

Ta có : \(N,P,D\) thẳng hàng suy ra \(\left( {MNP} \right) \equiv \left( {MDN} \right)\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {MND} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\\\left( {MND} \right) \cap \left( {ABD} \right) = MD\\\left( {MND} \right) \cap \left( {DBC} \right) = DN\end{array} \right.\)

Vậy thiết diện là tam giác \(MND.\)

Xét ta giác \(MND,\) ta có \(MN = \dfrac{{AB}}{2} = a;\) \(DM = DN = \dfrac{{AD\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

Tam giác \(MND\) cân tại \(D.\)

Gọi \(H\) là trung điểm \(MN\) suy ra \(DH \bot MN.\)

Diện tích tam giác \({S_{\Delta MND}} = \dfrac{1}{2}MN.DH \\= \dfrac{1}{2}MN.\sqrt {D{M^2} - M{H^2}}  = \dfrac{{{a^2}\sqrt {11} }}{4}.\)

Câu 18 (VDC):

Phương pháp:

Đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2},\) khi đó \(\sin x = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}};\cos x = \dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\)

Biện luận phương trình theo ẩn \(t.\)

Cách giải:

Đặt \(t = \tan \dfrac{x}{2},\) khi \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) thì \(t \in \left[ { - 1;1} \right].\)

Phương trình trở thành \(2\dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}} + m\dfrac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = 1 - m\) \( \Leftrightarrow 4t + m - m{t^2} = 1 - m + \left( {1 - m} \right){t^2}\)

\( \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 1 = 2m\left( 2 \right)\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\) khi \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(t \in \left[ { - 1;1} \right].\)

Xét hàm số \(y = {t^2} - 4t + 1\) trên \(\left[ { - 1;1} \right].\) Ta có bảng biến thiên

Từ BBT ta có : \( - 2 \le 2m \le 6 \Leftrightarrow  - 1 \le m \le 3.\)

Vậy \( - 1 \le m \le 3.\)

soanvan.me